Ý nghĩa vật lí của đạo hàm - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
+ Cho một vật chuyển động có phương trình: s = s (t). Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 được xác đinh bởi: v (t0) = s' (t0)
+ Cho một vật chuyển động có phương trình vận tốc: v = v (t). Gia tốc tức thời tại thời điểm t0 được xác định bởi: a (t0) = v' (t0)
+ Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q (t) tại thời điểm t0 là: I (t0)=Q' (t0)
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Một xe máy chuyển động theo phương trình: s (t) = t2 + 6t + 10. Trong đó: t đơn vị là giây; s là quãng đường đi được theo đơn vị m. Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t = 3
A. 12 m/ s
B. 36 km/h
C. 6 m/s
D. 24 m/s
Bài giải:
Phương trình vận tốc của xe là:
v (t) = s' (t) = 2t + 6 (m/s)
⇒ Vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t = 3 là:
V (3) = 2.3 + 6 = 12 (m/s)
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 2. Một vật chuyển động có phương trình vận tốc là: v =4 t + 10 (m/s). Tính gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 10s?
A. 2
B. 4
C. 3
D. 50
Bài giải:
Phương trình gia tốc của chuyển động là: a (t) = v' (t) = 4 (m/s2).
⇒ Gia tốc của vật trong quá trình chuyển động là 4m/s2- không thay đổi.
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 3. Cho một vật chuyển động theo phương trình s (t) = t2 - 40t + 10. Trong đó: s là quãng đường vật đi được (m) và t thời gian chuyển động (s). Hỏi tại thời điểm nào vật dừng lại?
A. 40 s
B. 60 s
C. 80 s
D. 20 s
Bài giải:
Phương trình vận tốc của chuyển động là:
v (t) = s' (t) = 2t - 40 (m/s)
Khi vật dừng lại thì vận tốc của chuyển động = 0.
Khi đó, ta có phương trình: 2t – 40 = 0
⇔ t = 20 (s).
Vậy sau 20s kể từ khi khởi hành vật sẽ dừng lại.
Đáp án đúng là: D.
Ví dụ 4. Một vật chuyển động theo phương trình s (t) = - 2t2 + 20 t + 100. Trong đó: s là quãng đường vật đi được (m) và t là thời gian vật chuyển động (s). Hỏi tại thời điểm nào vật có vận tốc tức thời là 4m/s?
A. 3
B. 5
C. 4
D. 6
Bài giải:
Phương trình vận tốc của chuyển động là:
v (t) = s' (t) = -4t + 20 (m/s)
Để vận tốc tức thời của vật là 4m/s thì – 4t + 20 = 4 ⇔ t = 4 (s)
Như vậy sau 4s kể từ lúc xuất phát thì vận tốc tức thời của vật là 4m/s.
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 5. Một chất điểm chuyển động theo phương trình s (t) = t3- 2t2 – 1 (m) là quãng đường vật đi được. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời của vật là 56 (m/s2)?
A. 10 s
B. 12 s
C. 8 s
D. 6s
Bài giải:
Phương trình vận tốc của chuyển động là:
v (t) = s' (t) = 3t2 - 4t (m/s)
Phương trình gia tốc của chuyển động là:
a (t) = v' (t) = 6t - 4 (m/s2)
Để gia tốc tức thời của chuyển động là 56m/s2 thì:
6t - 4 = 56
⇔ t = 10 (s)
Như vậy sau 10 s kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời của vật là 56m/ s2
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 6. Cho vật chuyển động theo phương trình: s (t) = t3 - 3t2 + 6t (m). Tính vận tốc của vật tại thời điêm gia tốc bị triệt tiêu?
A. 1m/s
B. 2m/s
C. 4 m/s
D. 3 m/s
Bài giải:
Phương trình vận tốc của chuyển động:
v (t) = s' (t) = 3t2 - 6t + 6 (m/s)
Phương trình gia tốc của chuyển động là:
a (t) = v' (t) = 6t - 6 (m/s2).
Gia tốc bị triệt tiêu < => 6t - 6 = 0 ⇔ t = 1 (s).
Tại thời điểm t = 1 (s) vận tốc của chuyển động là: v (1) = 3 (m/s)
Đáp án đúng là: D.
Ví dụ 7. Cho một vật chuyển động theo phương trình s (t) = t2 + mt + 10 (m). Xác định m biết tại thời điểm t = 3 thì vận tốc tức thời của vật là 8m/s.
A. m = 2
B. m = 4
C. m = -2
D. m = 1
Bài giải:
Phương trình vận tốc của chuyển động là: v (t) = s' (t) = 2t + m (m/s)
Tại thời điểm t = 3 thì vận tốc tức thời của vật là 8m/s nên ta có:
2.3 + m = 8
⇔ m = 2
Vậy m = 2
Đáp án đúng là: A
Ví dụ 8. Cho chất điểm chuyển động theo phương trình: s (t) = mt2 + 4t +10 (s). Xác định m biết rằng tại thời điểm t = 3 thì gia tốc tức thời của vật là a = 4 (m/s2)
A. m = 1
B. m = 2
C. m =- 2
D. m = 4
Bài giải:
Phương trình vận tốc tức thời của chuyển động: v (t) = s' (t) = 2mt + 4 (m/s)
Phương trình gia tốc tức thời của chuyển động là:
a (t) = v' (t) = 2m (m/ s2)
Tại thời điểm t = 3 thì gia tốc tức thời của vật là a = 4 (m/s2) nên ta có:
2m = 4
⇔ m= 2
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 9. Cho vật chuyển động theo phương trình: s (t) = t3 + mt2 – t + 2 (m). Biết rằng tại thời điểm t = 1/3 (s) vận tốc của chuyển động bị triệt tiêu. Tìm gia tốc của chuyển động tại thời điểm t =1 s?
A. 4
B. 6
C. 8
D. Đáp án khác
Bài giải:
Phường trình vận tốc của chuyển động là:
v (t) = s' (t) = 3t2 + 2mt - 1 (m/s)
Vận tốc của chuyển động bị triệt tiêu khi và chỉ khi: 3t2 + 2mt – 1 = 0
Theo giả thiết vận tốc bị triệt tiêu tại t = 1/3 s nên ta có:
3. ( 1/3)2 + 2m. 1/3 - 1 = 0
⇔ m = 1.
⇒ Phương trình vận tốc của chuyển đông là: v (t) = 3t2 + 2t - 1 (m/s)
⇒ Phương trình gia tốc của chuyển động là: a (t) = 6t + 2 (m/s2)
=> Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 1 là a (1) = 8 (m/s2)
Đáp án đúng là: C.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Một xe máy chuyển động theo phương trình: s (t) = 2t2 - 2t - 8. Trong đó, t là thời gian được tính bằng đơn vị giây; s là quãng đường đi được, đơn vị là m. Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t = 2.
A. 12 m/ s
B. 6 m/h
C. 6 m/s
D. 24 m/s
Phương trình vận tốc của xe là v (t)=s' (t)=4t-2 (m/s)
⇒ vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 2 là:
V (2)= 4.2- 2= 6 (m/s)
Chọn C.
Câu 2: Một vật chuyển động có phương trình vận tốc là: v= -10x- 6 (m/s). Tính gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 20s?
A. -6
B. -10
C. 10
D. 6
Phương trình gia tốc của chuyển động là: a (t)=v' (t)= -10 (m/s2)
⇒ Gia tốc của vật trong quá trình chuyển động là -10m/s2- không thay đổi.
Chọn B.
Câu 3: Cho một vật chuyển động theo phương trình s (t) = 2t2 - 100t + 2– trong đó s là quãng đường vật đi được (m) và t thời gian chuyển động (s). Hỏi tại thời điểm nào vật dừng lại?
A. 25 s
B. 36 s
C. 8 s
D. 20 s
Phương trình vận tốc của chuyển động là:
v (t)=s' (t)= 4t-100 (m/s)
Khi vật dừng lại thì vận tốc của chuyển động bằng 0. Khi đó; ta có phương trình:
4t- 100= 0 ⇔ t= 25 (s).
Vậy sau 25s kể từ khi khởi hành vật sẽ dừng lại.
Chọn A.
Câu 4: Một vật chuyển động theo phương trình s (t)= - t2 + 40 t+ 10. Trong đó; s là quãng đường vật đi được (m) và t là thời gian vật chuyển động (s). Hỏi tại thời điểm nào vật có vận tốc tức thời là 16 m/s?
A. 10
B. 15
C. 12
D. 9
Phương trình vận tốc của chuyển động là:
v (t)=s' (t)= -2t+40 (m/s)
Để vận tốc tức thời của vật là 16 m/s thì – 2t+ 40= 16 ⇔ t= 12 (s)
Như vậy sau 4s kể từ lúc xuất phát thì vận tốc tức thời của vật là 12 m/s.
Chọn C.
Câu 5: Một chất điểm chuyển động theo phương trình: s (t)=2t3 + t2 + 2t (m) là quãng đường vật đi được. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời của vật là 38 (m/s2)?
A. 5s
B. 4s
C. 3 s
D. 6s
Phương trình vận tốc của chuyển động là:
v (t)=s' (t)=6t2+2t+2 (m/s)
Phương trình gia tốc của chuyển động là:
a (t)=v' (t)=12t+2 (m/s2)
Để gia tốc tức thời của chuyển động là 38m/s2 thì:
12t + 2 =38 ⇔ t= 3 (s)
Vậy sau 3 s kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời của vật là 38m/ s2
Chọn C.
Câu 6: Cho vật chuyển động theo phương trình: s (t)= - t3 + 30t2 + t- 10 (m). Tính vận tốc của vật tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu?
A. 101m/s
B. 200m/s
C. 400 m/s
D. 301 m/s
Phương trình vận tốc của chuyển động:
v (t)=s' (t)=-3t2+60t+1 (m/s)
Phương trình gia tốc của chuyển động là:
a (t)=v' (t)=-6t+60 (m/s2).
Gia tốc bị triệt tiêu khi và chỉ khi: - 6t+ 60 = 0 ⇔ t= 10 (s).
Tại thời điểm t=10 (s) vận tốc của chuyển động là: v (10)= 301 (m/s)
Chọn D.
Câu 7: Cho một vật chuyển động theo phương trình s (t) = - 2t2+ mt+ 8 (m). Xác định m biết tại thời điểm t= 2 thì vận tốc tức thời của vật là 12 m/s.
A. m= 16
B. m= 24
C. m= 20
D. m= 10
Phương trình vận tốc của chuyển động là:
v (t)=s' (t)=-4t+m (m/s)
Tại thời điểm t= 2 thì vận tốc tức thời của vật là 12m/s nên ta có:
- 4.2 + m= 12 ⇔ m= 20
Vậy m= 20
Chọn C
Câu 8: Cho chất điểm chuyển động theo phương trình: s (t)= mt2 - 8t + 2 (s). Xác định m biết rằng tại thời điểm t= 10 thì gia tốc tức thời của vật là a= - 6 (m/s2)
A. m= 3
B. m = 2
C. m = - 3
D. m= 4
Phương trình vận tốc tức thời của chuyển động: v (t)=s' (t)=2mt-8 (m/s)
Phương trình gia tốc tức thời của chuyển động là:
a (t)=v' (t)=2m (m/ s2)
Tại thời điểm t= 10 thì gia tốc tức thời của vật là a= - 6 (m/s2) nên ta có;
2m= -6 ⇔ m= -3
Chọn C.
Câu 9: Cho vật chuyển động theo phương trình: s (t)= t3+ mt2 + 2 (m). Biết rằng tại thời điểm t = 10 (s) vận tốc của chuyển động bị triệt tiêu. Tìm gia tốc của chuyển động tại thời điểm t =1 s?
A. - 24 B. 12 C. 8 D. Đáp án khác
Phường trình vận tốc của chuyển động là:
v (t)=s' (t)=3t2+2mt (m/s)
Vận tốc của chuyển động bị triệt tiêu khi và chỉ khi: 3t2 + 2mt = 0
Theo giả thiết vận tốc bị triệt tiêu tại t= 10 s nên ta có:
3.102+2m. 10=0 ⇔ m= - 15
⇒ phương trình vận tốc của chuyển đông là: v (t) = 3t2-30t (m/s)
⇒ Phương trình gia tốc của chuyển động là: a (t) = 6t - 30 (m/s2)
Do đó; gia tốc của chuyển động tại thời điểm t= 1 là a (1)= - 24 (m/s2)