Tính đạo hàm của hàm số lượng giác - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số:

Trong đó hàm số y = f (x) có đạo hàm tại các điểm mà hàm số xác định.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số y = sin (2x + 8)?

A. 2 cos (2x + 8)

B. cos (2x + 8)

C. –cos (2x + 8)

D. -2cos (2x + 8)

Bài giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:

y' = cos⁡ (2x + 8). (2x + 8)' = 2cos (2x + 8)

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số: y = cos (x² + 7x - 9)?

A. - sin (x² + 7x- 9)

B. - sin (x²+ 7x – 9)( x²+ 7x- 9)

C. – (2x+7). sin (x² + 7x- 9)

D. sin (x²+ 7x- 9)( 2x+7)

Bài giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:

y' = -sin⁡ (x²+7x-9). (x²+7x-9)' = - sin (x²+ 7x- 9). (2x+ 7).

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số: y = sin 8x + cos 2x

A. cos8x – sin2x

B. 8 cos8x – 2sin 2x

C. 8. cos8x + 2sin2x

D. – cos8x + sin 2x

Bài giải:

Ta có: y'= (sin8x)'+ (cos2x)'=8 cos⁡8x-2 sin⁡2x

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 4. Tính đạo hàm của hàm số: y = 2 sin⁡ (√ (x²+4x)-1)?

Bài giải:

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm số y = tan (4x+ 1) – cot 2x?

Bài giải:

Ví dụ 6. Tính đạo hàm của hàm số: y = tan⁡ (√ (x²+2x))

Bài giải:

Ví dụ 7. Tính đạo hàm của hàm số: y = sin (x²- 3x) – tan (x²- 1)?

Bài giải:

Ví dụ 8. Tính đạo hàm của hàm số: y = sin⁴ ( 6x-2)?

A. 4. sin³ (6x-2)

B. 4. sin³ (6x-2).cos⁡ (6x-2)

C. 24. sin³ (6x-2).cos⁡ (6x-2)

D. -24. sin³ (6x-2).cos⁡ (6x-2)

Bài giải:

Ta có: y' = 4. sin³ (6x-2). [sin⁡ (6x-2)]'

⇔ y' = 4. sin³ (6x-2).cos⁡ (6x-2). (6x-2)'

⇔ y' = 24. sin³ (6x-2).cos⁡ (6x-2)

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 9. Tính đạo hàm của hàm số y= xsin (x+ 1)?

A. sin (x+ 1) + x. cos (x+ 1)

B. cos (x+ 1) – x. sin (x+1)

C. – sin (x+ 1) + x. cos (x+ 1)

D. sin (x+ 1) – x. cos (x+ 1)

Bài giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của một tích ta có:

y'= (x').sin⁡ (x+1)+ x. [sin⁡ (x+1)]'

⇔ y'=1. sin⁡ (x+1)+x. cos⁡ (x+1) (x+1)'

⇔ y'=sin⁡ (x+1)+x. cos⁡ (x+1).

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 10. Tính đạo hàm của hàm số y = (1 + tanx)⁴

Bài giải:

Ví dụ 11. Tính đạo hàm của hàm số y= √ (sin⁡4x)

Bài giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp y= √u với u= sin4x ta có:

Ví dụ 12. Tính đạo hàm của hàm số y = √ (cos⁡ (x³- x²+2))?

Bài giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp y =√u với u= cos⁡ (x³- x²+2) ta có

Ví dụ 13. Tính đạo hàm của hàm số y = sin (tanx)?

Bài giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm số lượng giác ta có;

Ví dụ 14. Tính đạo hàm của hàm số y= sin²x. cosx

A. 2cos²x – sin²x. cosx B. - sinx. cos²x + sin³x

C. 2sinx. cos²x + sin³x D. 2sinx. cos²x – sin³x

Bài giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lượng giác và đạo hàm của một tích ta có:

y'= (sin² x)'. cosx+ sin² x (cosx)'

⇔ y'=2sinx. ( sinx)'. cosx+ sin²x. (-sinx)

⇔ y'=2sinx. cosx. cosx- sin³ x = 2sinx. cos²x – sin³x

Chon D

Ví dụ 15. Tính đạo hàm của hàm số y= x/cosx

Bài giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của một thương ta có:

Ví dụ 16. Tính đạo hàm của hàm số y = (x²+ 2x).cos x

A. ( 2x+2).cosx+ (x²+2x).sinx

B. ( 2x+2).cosx- (x²+2x)

C. ( 2x+2).cosx- (x²+2x).sinx

D. Đáp án khác

Bài giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của một tích ta có:

y'= (x²+2x)'. cosx+ (x²+2x). (cosx)'

⇔ y'= (2x+2).cosx- (x²+2x).sinx

Chọn C.

Ví dụ 17. Tính đạo hàm của hàm số y= (1- cos 2x) (2- sin3x)

A. y'=-2sin2x. ( 2-sin3x)+3cos 3x (1- cos2x)

B. y'=2sin2x. ( 2-sin3x)-3cos 3x (1- cos2x)

C. y'=2sin2x. ( 2-sin3x)+3cos 3x (1- cos2x)

D. Đáp án khác

Bài giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của một tích ta có

y'= (1-cos2x)'. ( 2-sin3x)+ (1-cos2x). (2-sin3x)'

⇔ y'=sin⁡2x. ( 2x)'. ( 2-sin3x)+ (1-cos2x). (-cos3x). (3x)'

⇔ y'=2sin2x. ( 2-sin3x)-3cos 3x (1- cos2x)

Chọn B.

Ví dụ 18. Tính đạo hàm của hàm số:

Bài giải:

Ví dụ 19. Tính đạo hàm của hàm số sau:

Bài giải:

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số y = sin (x²+ 4x- 20)?x

A. ( 2x- 4) cos (x²+ 4x – 20)

B. (x²+ 4x- 20). cos (x² +4x- 20)

C. (2x+ 4).cos (x²+ 4x- 20)

D. -2cos (x²+4x- 20)

Hiển thị lời giải

+ Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có;

y'=cos⁡ (x²+ 4x-20). (x²+4x-20)' = cos (x²+ 4x- 20). (2x+ 4)

Chọn C

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số: y= cos (x²+√x - 2)?

A. - sin (x²+ √x - 2). (2x+ 1/ (2√x)).

B. - sin (x²+√x – 2)( x²+√x- 2)

C. – (2x+√x). sin (x² + √x- 2)

D. sin (x²+ 7x- 2)( 2x+ √x)

Hiển thị lời giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:

y'= -sin⁡ (x²+√x-2). (x²+√x-2)' = - sin (x²+ √x - 2). (2x+ 1/ (2√x)).

Chọn A.

Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số: y= 3sin 2x - 4cos 6x

A. - 6 cos2x + 24 sin6x

B. 6cos2x + 24sin 6x

C. 6. cos2x + 2sin6x

D. 3cos2x + 4sin x

Hiển thị lời giải

Ta có: y'= (3sin2x)'- (4cos6x)'=3.2 cos⁡2x+4.6 sin⁡6x

Hay y'=6cos2x+24. sin⁡6x

Chọn B.

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số: y=4 sin⁡ (√ (2x+3)-x²+2x)?

Hiển thị lời giải

Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số y= 3tan (x² - 1) – 4cot 4x?

Hiển thị lời giải

Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số: y=tan⁡ (√ (2x²+x))+x -10

Hiển thị lời giải

Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số: y= sin [(x- 1)( x+ 2) + 10] – tan (x³- x²)?

Hiển thị lời giải

Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số: y = sin³ ( √ (4x+2))?

Hiển thị lời giải

Câu 9: Tính đạo hàm của hàm số y = (2x+ 2). sin (2x - 3)?

A. sin⁡ (2x-3)+2 (2x+2).cos⁡ (2x-3).

B. 2sin⁡ (2x-3)+ (2x+2).cos⁡ (2x-3).

C. 2sin⁡ (2x-3)-2 (2x+2).cos⁡ (2x-3).

D. 2sin⁡ (2x-3)+2 (2x+2).cos⁡ (2x-3).

Hiển thị lời giải

Áp dụng công thức đạo hàm của một tích ta có:

y'= (2x+2)'. sin⁡ (2x-3)+ (2x+2). [sin⁡ (2x-3)]'

⇔ y'=2. sin⁡ (2x-3)+ (2x+2).cos⁡ (2x-3) (2x-3)'

⇔ y'=2sin⁡ (2x-3)+2 (2x+2).cos⁡ (2x-3).

Chọn D.

Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số y= (-cotx+ tanx)³

Hiển thị lời giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hơp y= un với u= -cotx+ tanx ta được”

y'=3. (-cot⁡x+tanx)². (-cotx+tanx)'

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số y= √ (sin⁡ (x³+ x²-x))

Hiển thị lời giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp y= √u với u= sin⁡ (x³+ x²-x) ta có:

Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số y= √ (cos³ ( 2x+2))?

Hiển thị lời giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp y =√u với u= cos³ (2x+2) ta có

Câu 13: Tính đạo hàm của hàm số y= 2cos (3cot 2x)?

Hiển thị lời giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm số lượng giác ta có;

y'=-2 sin⁡ (3cot2x). (3. cot2x)'

Câu 14: Tính đạo hàm của hàm số y= sin (2x- 3).cos (8- 4x)

A. 2 cos⁡ (2x-3).cos⁡ (8-4x)+2 sin⁡ (2x-3).sin⁡ (8-4x)

B. - 2 cos⁡ (2x-3).cos⁡ (8-4x)-8 sin⁡ (2x-3).sin⁡ (8-4x)

C. - 2 cos⁡ (2x-3).cos⁡ (8-4x)-4 sin⁡ (2x-3).sin (8-4x)

D. 2 cos⁡ (2x-3).cos⁡ (8-4x)+4 sin⁡ (2x-3).sin (8-4x)

Hiển thị lời giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lượng giác và đạo hàm của một tích ta có:

y^'= [sin⁡ (2x-3)]'. cos⁡ (8-4x)+sin⁡ (2x-3). [cos⁡ (8-4x)]'

⇔ y'=cos⁡ (2x-3). (2x-3)'. cos⁡ (8-4x)

+sin (2x-3). (-sin⁡ (8-4x)). (8-4x)'

⇔ y'=2 cos⁡ (2x-3).cos⁡ (8-4x)+4 sin⁡ (2x-3).sin (8-4x)

Chọn D.

Câu 15: Tính đạo hàm của hàm số

Hiển thị lời giải

Áp dụng công thức đạo hàm của một thương ta có:

Câu 16: Tính đạo hàm của hàm số y= √ (2x³+ x²-1). sinx

Hiển thị lời giải

Áp dụng công thức đạo hàm của một tích ta có:

Câu 17: Tính đạo hàm của hàm số y= (2x +cos x) (cos2x- sin3x)?

A. ( 2- sin⁡x). (cos2x-sin3x)+ (2x+cosx). (2sin2x-3cos3x)

B. ( 2+ sin⁡x). (cos2x-sin3x)+ (2x+cosx). (- 2sin2x-3cos3x)

C. ( 2- sin⁡x). (cos2x-sin3x)+ (2x+cosx). (- 2sin2x-3cos3x)

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Áp dụng công thức đạo hàm của một tích ta có

y'= (2x+ cosx)'. (cos2x-sin3x)+ (2x+ cosx). (cos2x-sin3x)'

⇔ y'= (2- sin⁡x). (cos2x-sin3x)+ (2x+cosx). (- 2sin2x-3cos3x)

Chọn C.

Câu 18: Tính đạo hàm của hàm số

Hiển thị lời giải

Áp dụng công thức đạo hàm của một thương

Câu 19: Tính đạo hàm của hàm số y= 1/cot⁡ (x²+2x)?

Hiển thị lời giải

Câu 20: Tính đạo hàm của hàm số:

Hiển thị lời giải

Câu 21: Tính đạo hàm của hàm số sau: y=sin⁡ (x+1)/ (x-2)

Bài giải:

Bài trước: Tính đạo hàm tại 1 điểm - Chuyên đề Toán 11 Bài tiếp: Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác - Chuyên đề Toán 11