Trang chủ > Lớp 11 > Chuyên đề Toán 11 (có đáp án) > Ý nghĩa vật lí của đạo hàm - Chuyên đề Toán 11

Ý nghĩa vật lí của đạo hàm - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

+ Cho một vật chuyển động có phương trình: s = s (t). Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 được xác đinh bởi: v (t0) = s' (t0)

+ Cho một vật chuyển động có phương trình vận tốc: v = v (t). Gia tốc tức thời tại thời điểm t0 được xác định bởi: a (t0) = v' (t0)

+ Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q (t) tại thời điểm t0 là: I (t0)=Q' (t0)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một xe máy chuyển động theo phương trình: s (t) = t2 + 6t + 10. Trong đó: t đơn vị là giây; s là quãng đường đi được theo đơn vị m. Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t = 3

A. 12 m/ s

B. 36 km/h

C. 6 m/s

D. 24 m/s

Bài giải:

Phương trình vận tốc của xe là:

v (t) = s' (t) = 2t + 6 (m/s)

⇒ Vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t = 3 là:

V (3) = 2.3 + 6 = 12 (m/s)

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 2. Một vật chuyển động có phương trình vận tốc là: v =4 t + 10 (m/s). Tính gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 10s?

A. 2

B. 4

C. 3

D. 50

Bài giải:

Phương trình gia tốc của chuyển động là: a (t) = v' (t) = 4 (m/s2).

⇒ Gia tốc của vật trong quá trình chuyển động là 4m/s2- không thay đổi.

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 3. Cho một vật chuyển động theo phương trình s (t) = t2 - 40t + 10. Trong đó: s là quãng đường vật đi được (m) và t thời gian chuyển động (s). Hỏi tại thời điểm nào vật dừng lại?

A. 40 s

B. 60 s

C. 80 s

D. 20 s

Bài giải:

Phương trình vận tốc của chuyển động là:

v (t) = s' (t) = 2t - 40 (m/s)

Khi vật dừng lại thì vận tốc của chuyển động = 0.

Khi đó, ta có phương trình: 2t – 40 = 0

⇔ t = 20 (s).

Vậy sau 20s kể từ khi khởi hành vật sẽ dừng lại.

Đáp án đúng là: D.

Ví dụ 4. Một vật chuyển động theo phương trình s (t) = - 2t2 + 20 t + 100. Trong đó: s là quãng đường vật đi được (m) và t là thời gian vật chuyển động (s). Hỏi tại thời điểm nào vật có vận tốc tức thời là 4m/s?

A. 3

B. 5

C. 4

D. 6

Bài giải:

Phương trình vận tốc của chuyển động là:

v (t) = s' (t) = -4t + 20 (m/s)

Để vận tốc tức thời của vật là 4m/s thì – 4t + 20 = 4 ⇔ t = 4 (s)

Như vậy sau 4s kể từ lúc xuất phát thì vận tốc tức thời của vật là 4m/s.

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 5. Một chất điểm chuyển động theo phương trình s (t) = t3- 2t2 – 1 (m) là quãng đường vật đi được. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời của vật là 56 (m/s2)?

A. 10 s

B. 12 s

C. 8 s

D. 6s

Bài giải:

Phương trình vận tốc của chuyển động là:

v (t) = s' (t) = 3t2 - 4t (m/s)

Phương trình gia tốc của chuyển động là:

a (t) = v' (t) = 6t - 4 (m/s2)

Để gia tốc tức thời của chuyển động là 56m/s2 thì:

6t - 4 = 56

⇔ t = 10 (s)

Như vậy sau 10 s kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời của vật là 56m/ s2

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 6. Cho vật chuyển động theo phương trình: s (t) = t3 - 3t2 + 6t (m). Tính vận tốc của vật tại thời điêm gia tốc bị triệt tiêu?

A. 1m/s

B. 2m/s

C. 4 m/s

D. 3 m/s

Bài giải:

Phương trình vận tốc của chuyển động:

v (t) = s' (t) = 3t2 - 6t + 6 (m/s)

Phương trình gia tốc của chuyển động là:

a (t) = v' (t) = 6t - 6 (m/s2).

Gia tốc bị triệt tiêu < => 6t - 6 = 0 ⇔ t = 1 (s).

Tại thời điểm t = 1 (s) vận tốc của chuyển động là: v (1) = 3 (m/s)

Đáp án đúng là: D.

Ví dụ 7. Cho một vật chuyển động theo phương trình s (t) = t2 + mt + 10 (m). Xác định m biết tại thời điểm t = 3 thì vận tốc tức thời của vật là 8m/s.

A. m = 2

B. m = 4

C. m = -2

D. m = 1

Bài giải:

Phương trình vận tốc của chuyển động là: v (t) = s' (t) = 2t + m (m/s)

Tại thời điểm t = 3 thì vận tốc tức thời của vật là 8m/s nên ta có:

2.3 + m = 8

⇔ m = 2

Vậy m = 2

Đáp án đúng là: A

Ví dụ 8. Cho chất điểm chuyển động theo phương trình: s (t) = mt2 + 4t +10 (s). Xác định m biết rằng tại thời điểm t = 3 thì gia tốc tức thời của vật là a = 4 (m/s2)

A. m = 1

B. m = 2

C. m =- 2

D. m = 4

Bài giải:

Phương trình vận tốc tức thời của chuyển động: v (t) = s' (t) = 2mt + 4 (m/s)

Phương trình gia tốc tức thời của chuyển động là:

a (t) = v' (t) = 2m (m/ s2)

Tại thời điểm t = 3 thì gia tốc tức thời của vật là a = 4 (m/s2) nên ta có:

2m = 4

⇔ m= 2

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 9. Cho vật chuyển động theo phương trình: s (t) = t3 + mt2 – t + 2 (m). Biết rằng tại thời điểm t = 1/3 (s) vận tốc của chuyển động bị triệt tiêu. Tìm gia tốc của chuyển động tại thời điểm t =1 s?

A. 4

B. 6

C. 8

D. Đáp án khác

Bài giải:

Phường trình vận tốc của chuyển động là:

v (t) = s' (t) = 3t2 + 2mt - 1 (m/s)

Vận tốc của chuyển động bị triệt tiêu khi và chỉ khi: 3t2 + 2mt – 1 = 0

Theo giả thiết vận tốc bị triệt tiêu tại t = 1/3 s nên ta có:

3. ( 1/3)2 + 2m. 1/3 - 1 = 0

⇔ m = 1.

⇒ Phương trình vận tốc của chuyển đông là: v (t) = 3t2 + 2t - 1 (m/s)

⇒ Phương trình gia tốc của chuyển động là: a (t) = 6t + 2 (m/s2)

=> Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 1 là a (1) = 8 (m/s2)

Đáp án đúng là: C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Một xe máy chuyển động theo phương trình: s (t) = 2t2 - 2t - 8. Trong đó, t là thời gian được tính bằng đơn vị giây; s là quãng đường đi được, đơn vị là m. Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t = 2.

A. 12 m/ s

B. 6 m/h

C. 6 m/s

D. 24 m/s

Phương trình vận tốc của xe là v (t)=s' (t)=4t-2 (m/s)

⇒ vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 2 là:

V (2)= 4.2- 2= 6 (m/s)

Chọn C.

Câu 2: Một vật chuyển động có phương trình vận tốc là: v= -10x- 6 (m/s). Tính gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 20s?

A. -6

B. -10

C. 10

D. 6

Phương trình gia tốc của chuyển động là: a (t)=v' (t)= -10 (m/s2)

⇒ Gia tốc của vật trong quá trình chuyển động là -10m/s2- không thay đổi.

Chọn B.

Câu 3: Cho một vật chuyển động theo phương trình s (t) = 2t2 - 100t + 2– trong đó s là quãng đường vật đi được (m) và t thời gian chuyển động (s). Hỏi tại thời điểm nào vật dừng lại?

A. 25 s

B. 36 s

C. 8 s

D. 20 s

Phương trình vận tốc của chuyển động là:

v (t)=s' (t)= 4t-100 (m/s)

Khi vật dừng lại thì vận tốc của chuyển động bằng 0. Khi đó; ta có phương trình:

4t- 100= 0 ⇔ t= 25 (s).

Vậy sau 25s kể từ khi khởi hành vật sẽ dừng lại.

Chọn A.

Câu 4: Một vật chuyển động theo phương trình s (t)= - t2 + 40 t+ 10. Trong đó; s là quãng đường vật đi được (m) và t là thời gian vật chuyển động (s). Hỏi tại thời điểm nào vật có vận tốc tức thời là 16 m/s?

A. 10

B. 15

C. 12

D. 9

Phương trình vận tốc của chuyển động là:

v (t)=s' (t)= -2t+40 (m/s)

Để vận tốc tức thời của vật là 16 m/s thì – 2t+ 40= 16 ⇔ t= 12 (s)

Như vậy sau 4s kể từ lúc xuất phát thì vận tốc tức thời của vật là 12 m/s.

Chọn C.

Câu 5: Một chất điểm chuyển động theo phương trình: s (t)=2t3 + t2 + 2t (m) là quãng đường vật đi được. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời của vật là 38 (m/s2)?

A. 5s

B. 4s

C. 3 s

D. 6s

Phương trình vận tốc của chuyển động là:

v (t)=s' (t)=6t2+2t+2 (m/s)

Phương trình gia tốc của chuyển động là:

a (t)=v' (t)=12t+2 (m/s2)

Để gia tốc tức thời của chuyển động là 38m/s2 thì:

12t + 2 =38 ⇔ t= 3 (s)

Vậy sau 3 s kể từ lúc xuất phát gia tốc tức thời của vật là 38m/ s2

Chọn C.

Câu 6: Cho vật chuyển động theo phương trình: s (t)= - t3 + 30t2 + t- 10 (m). Tính vận tốc của vật tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu?

A. 101m/s

B. 200m/s

C. 400 m/s

D. 301 m/s

Phương trình vận tốc của chuyển động:

v (t)=s' (t)=-3t2+60t+1 (m/s)

Phương trình gia tốc của chuyển động là:

a (t)=v' (t)=-6t+60 (m/s2).

Gia tốc bị triệt tiêu khi và chỉ khi: - 6t+ 60 = 0 ⇔ t= 10 (s).

Tại thời điểm t=10 (s) vận tốc của chuyển động là: v (10)= 301 (m/s)

Chọn D.

Câu 7: Cho một vật chuyển động theo phương trình s (t) = - 2t2+ mt+ 8 (m). Xác định m biết tại thời điểm t= 2 thì vận tốc tức thời của vật là 12 m/s.

A. m= 16

B. m= 24

C. m= 20

D. m= 10

Phương trình vận tốc của chuyển động là:

v (t)=s' (t)=-4t+m (m/s)

Tại thời điểm t= 2 thì vận tốc tức thời của vật là 12m/s nên ta có:

- 4.2 + m= 12 ⇔ m= 20

Vậy m= 20

Chọn C

Câu 8: Cho chất điểm chuyển động theo phương trình: s (t)= mt2 - 8t + 2 (s). Xác định m biết rằng tại thời điểm t= 10 thì gia tốc tức thời của vật là a= - 6 (m/s2)

A. m= 3

B. m = 2

C. m = - 3

D. m= 4

Phương trình vận tốc tức thời của chuyển động: v (t)=s' (t)=2mt-8 (m/s)

Phương trình gia tốc tức thời của chuyển động là:

a (t)=v' (t)=2m (m/ s2)

Tại thời điểm t= 10 thì gia tốc tức thời của vật là a= - 6 (m/s2) nên ta có;

2m= -6 ⇔ m= -3

Chọn C.

Câu 9: Cho vật chuyển động theo phương trình: s (t)= t3+ mt2 + 2 (m). Biết rằng tại thời điểm t = 10 (s) vận tốc của chuyển động bị triệt tiêu. Tìm gia tốc của chuyển động tại thời điểm t =1 s?

A. - 24 B. 12 C. 8 D. Đáp án khác

Phường trình vận tốc của chuyển động là:

v (t)=s' (t)=3t2+2mt (m/s)

Vận tốc của chuyển động bị triệt tiêu khi và chỉ khi: 3t2 + 2mt = 0

Theo giả thiết vận tốc bị triệt tiêu tại t= 10 s nên ta có:

3.102+2m. 10=0 ⇔ m= - 15

⇒ phương trình vận tốc của chuyển đông là: v (t) = 3t2-30t (m/s)

⇒ Phương trình gia tốc của chuyển động là: a (t) = 6t - 30 (m/s2)

Do đó; gia tốc của chuyển động tại thời điểm t= 1 là a (1)= - 24 (m/s2)