Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm - Chuyên đề Toán 11
* Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0(x0; f (x0)).
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 là:
y – y0 = f' (x0). (x – x0)
Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M (x0; f (x0)).
- Tính đạo hàm của hàm số y = f (x) ⇒ f’ (x0).
-Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại M (x0;y0) là: y - y0 = f’ (x0) (x- x0)
Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) biết hoành độ tiếp điểm x = x0.
+ Tính y0 = f (x0).
+ Tính đạo hàm của hàm số ⇒ f' (x0)
⇒ Phương trình tiếp tuyến: y - y0 = f’ (x0) (x - x0)
Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) biết tung độ tiếp điểm bằng y0.
+ Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm
+ Giải phương trình f (x) = y0 ta tìm được các nghiệm x0.
+ Tính đạo hàm của hàm số ⇒ f' (x0)
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 - 2x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M (0; 1)
A. y = 2x + 3
B. y = -2x + 1
C. y = 4x + 1
D. y = - 4x + 1
Bài giải:
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y' = 3x2 - 2
⇒ y' (0) = -2
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M (0; 1) là:
y - 1 = -2 (x - 0) hay y = -2x + 1
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = x2 + 2x - 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 1?
A. y = 2x + 1
B. y = - 6x + 1
C. y = 4x - 7
D. y = 3x-
Bài giải:
+ Ta có: y (1) = 12+ 2.1 – 6 = -3
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’ (x)= 2x + 2
⇒ y’ (1) = 2.1 + 2 = 4
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 1 là:
y + 3 = 4 (x - 1) hay y = 4x - 7
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 3. Cho hàm số y = x3 + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2?
A. y = 4x + 2
B. y = - 2x + 1
C. y = 3x + 1
D. y = 6x + 1
Bài giải:
+ Xét phương trình: x3 + 4x + 2 = 2
⇔ x3 + 4x = 0
⇔ x = 0
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’ = 3x2 + 4
⇒ y’ (0) = 4
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2:
y - 2 = 4 (x – 0) hay y = 4x + 2
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 4. Cho hàm số y = - x3 + 2x2 + 2x + 1 có đồ thị (C). Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A?
A. y = - 2x + 1
B. y = 3x - 2
C. y = 4x + 1
D. y = 2x + 1
Bài giải:
+ Do A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung nên tọa độ điểm A (0; 1).
+ Đạo hàm y’ = - 3x2 + 4x + 2
⇒ y’ (0) = 2
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là: y - 1 = 2 (x - 0) hay y = 2x + 1
Đáp án đúng là: D.
Ví dụ 5. Cho hàm số y = x2 - 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành?
A. y = -x + 1 và y = x - 2
B. y = x + 1 và y = - x + 3
C. y = - 2x + 1 và y = x - 2
D. Đáp án khác
Bài giải:
+ Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là nghiệm phương trình:
x2 - 3x + 2 = 0
Vậy đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại hai điểm là A (1; 0) và B (2; 0).
+ Đạo hàm của hàm số đã cho: y’ = 2x - 3
+ Tại điểm A (1; 0) ta có: y’ (1) = - 1
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A là:
y - 0 = -1 (x - 1) hay y = - x + 1
+ Tại điểm B (2; 0) ta có y’ (2) = 1
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B là:
y - 0 = 1 (x - 2) hay y = x - 2
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: y = -x + 1 và y = x - 2
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 6. Cho 2 đường thẳng d1: 2x + y - 3 = 0 và d2: x + y – 2 = 0. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng đã cho. Cho hàm số y = x2+ 4x+ 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A.
A. y = 3x - 5
B. y = 6x + 1
C. y = 6x – 5
D. y = 2x + 1
Bài giải:
+ Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là nghiệm hệ phương trình:
Vậy hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại điểm A (1; 1).
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’= 2x+ 4 ⇒ y’ (1) = 6.
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A (1; 1) là: y -1 = 6 (x - 1) hay y = 6x - 5
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 7. Cho hàm số y = x4 + 2x2 + 1 có đồ thị (C). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ nguyên dương nhỏ nhất. Đường thẳng d song song với đường thẳng nào?
A. y = - 6x
B. y = 8x
C. y = - 10x
D. y = 12x
Bài giải:
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’ = 4x3 + 4x
+ Số nguyên dương nhỏ nhất là 1. Ta viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm có hoành độ là 1.
+ Ta có: y’ (1) = 8 và y (1) = 4
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ là 1 là:
y - 4 = 8 (x - 1) hay y = 8x - 4
⇒ Đường thẳng d song song với đường thẳng y = 8x
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x - 1)2( x - 2) tại điểm có hoành độ x = 2 là:
A. y = - 2x - 1
B. y = x + 1
C. y = 3x + 1
D. y = x - 2
Bài giải:
+ Gọi M có tọa độ (x0; y0) là tọa độ tiếp điểm.
Với x0 = 2 ⇒ y0 = 0
+ Ta có: y = (x - 1)2( x - 2) = (x2 - 2x + 1) (x - 2)
Hay y = x3 - 4x2 + 5x - 2
⇒ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’ = 3x2 - 8x + 5
⇒ y’ (2) = 1
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y - 0 = 1 (x - 2) hay y = x - 2
Đáp án đúng là: D.
Ví dụ 9. Cho hàm số y = (x - 2)/ (2x + 1). Phương trình tiếp tuyến tại A (-1; 3) là
A. y = 5x + 8
B. y = - 2x + 3
C. y = 3x + 7
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đạo hàm của hàm số đã cho là;
Ví dụ 10. Cho hàm số y = 2x + m + 1/x - 1 (C). Tìm m để tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0 = 0 đi qua A (4; 3)
Bài giải:
Ví dụ 11: Cho hàm số y = 1/3 x3 + x2 - 2 có đồ thị hàm sô (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y" = 0 là:
Bài giải:
Ta có y' = x2 + 2x và y'' = 2x + 2
Theo giả thiết x0 là nghiệm của phương trình:
⇔ 2x + 2 = 0
⇔ x0 = -1
Và y’ (-1) = -1
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A (-1; -4/3)là: y = -1. (x + 1) - 4/3
Hay y = -x - 7/3
Đáp án đúng là: A.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = 2x2 + 4x - 2. Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm mà (P) cắt trục tung là:
A. y = 2x - 1
B. y = 3x + 6
C. y = 4x - 2
D. y = 6x + 3
Ta có: (P) cắt trục tung tại điểm M (0; -2)
Đạo hàm của hàm số đã cho: y’= 4x + 4
Hệ số góc tiếp tuyến: y’ (0) = 4
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (P) tại M (0; -2) là
y+ 2= 4 (x- 0) hay y= 4x – 2
chọn C.
Câu 2: Đồ thị (C) của hàm số y = (x2 - 2)/ (x + 2) cắt trục tung tại điểm A. Tiếp tuyến của (C) tại điểm A có phương trình là:
A. = 1/4 x + 1 B. y = 1/2 x - 1 C. y = -1/2 x - 3 D. y = 2x - 1
Ta có đồ thị (C) cắt trục tung tại điểm A nên tọa độ A (0; -1)
Đạo hàm của hàm số đã cho là:
Câu 3: Cho hàm số y = (2 - 2x)/ (x + 1) có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục hoành là:
A. y = 2x + 2 B. y = 4x - 3 C. y = -x + 1 D. y = - 2x - 1
Giao điểm của (H) với trục hoành là nghiệm hệ phương trình:
Câu 4: Gọi (C) là đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 + 1. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các giao điểm của (C) với hai trục toạ độ?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
+ Giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục hoành là nghiệm hệ phương trình:
Vậy đồ thị hàm số (C) cắt trục hoành tại hai điểm là A (1; 0) và B (-1; 0). Tương ứng với hai điểm này ta viết được hai phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
+ giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục tung là nghiệm hệ phương trình
Vậy đồ thị hàm số (C) cắt trục tung tại một điểm là C (0; 1).
Vậy có ba tiếp tuyến thỏa mãn đầu bài.
Chọn C.
Câu 5: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = 2x3 - 3x + 1 tại giao điểm của (H) với đường thẳng d: y = - x + 1
A. y = 3x - 2 và y = - 2x + 1
B. y = - 3x + 1 và y = 3x - 2
C. y = 3x - 3 và y = - 2x + 1
D. Đáp án khác
+ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường thẳng d là:
2x3-3x + 1= - x+ 1
⇔ 2x3- 2x= 0 ⇔ 2x (x- 1) (x+ 1) =0
+ Vậy đồ thị hàm số (C) cắt đường thẳng d tại ba điểm là A (0; 1); B (- 1; 2) và C (1; 0)
+ Đạo hàm của hàm số: y’= 6x2- 3
+ Tại điểm A (0; 1) ta có y’ (0) = - 3
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là;
y- 1 = -3 (x- 0) hay y= - 3x+ 1
+ Tại điểm B (-1; 2) ta có: y’ (-1) = 3
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm B là:
y- 2= 3 (x+ 1) hay y= 3x + 5
+ tại điểm C (1; 0) ta có y’ (1)=3.
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm C là:
y-0= 3 (x- 1) hay y= 3x – 3
chọn D.
Câu 6: Cho hàm số: y = x3 - (m - 1)x2 + (3m + 1)x + m - 2. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm (2; -1).
A. m= 1 B. m= - 2 C. m= 3 D. m= 0
Hàm số đã cho xác định với mọi x thuộc j.
Ta có đạo hàm: y'=3x2-2 (m-1)x+3m+1
Với x=1 ⇒ y (1)=3m+1 ⇒ y' (1)=m+6
Phương trình tiếp tuyến tại điểm x=1 là:
Tiếp tuyến này đi qua A (2; -1) nên có: -1=m+6+3m+1 ⇒ m=-2
Vậy m = -2 là giá trị cần tìm.
Chọn B.
Câu 7: Gọi (C) là đồ thị của hàm số: y= (x-1)/ (x-3). Gọi M là một điểm thuộc (C) và có khoảng cách đến trục hoành là 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M
A. y= (- 1)/2x + 9/2 B. y= (- 9)/2 x+ 17/2
C. Cả A và B đúng D. Đáp án khác
+ Do khoảng cách từ M đến trục hoành là 2 nên yM= 2 hoặc – 2
+ Nếu yM = 2; do điểm M thuộc đồ thị hàm số (C) nên:
Câu 8: Cho hàm số y = x - 2/x = +1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp điểm M có tung độ bằng 4
A: y=9x+2 B: y=9x-16 C: y=9x+8 D: y=9x-2
Câu 9: Cho hàm số y=x3+x2+x+1. Viết phương trình tiếp tuyến tại M thuộc đồ thị hàm số biết tung độ điểm M bằng
A: y=2x+1 B: y=x+1 C: y=x+2 D: y=x-1
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M⇒ k=f’ (0)=1
⇒ phương trình tiếp tuyến tại M là:
Hay y=x+1
Chọn B.
Câu 10: Cho hàm số: y = √ (1 - x - x2) có đồ thị (C). Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 = 1/2.
A: y + 2x - 1,5 = 0
B: 2x - y + 1,5 = 0
C: -2x + y + 1,5 = 0
D: 2x + y + 1,5 = 0
Bài giải:
