Giải phương trình lượng giác cơ bản - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình sinx = m thì phương trình này có hai họ nghiệm là:

Chú ý: phương trình sinx= m chỉ có nghiệm khi: - 1 ≤ m ≤ 1.

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình cosx = m thì phương trình đã cho có hai họ nghiệm:

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình tanx = m thì phương trình này có nghiệm là:

x = α + kπ

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình cot x = m thì phương trình này có nghiệm là:

x = α + kπ

+ Các trường hợp đặc biệt:

• Sinx = 0 ⇔ x = kπ

• Sinx = 1 ⇔ x = π/2 + k2π

• Sinx = -1 ⇔ x = (-π)/2 + k2π

• cos = 0 ⇔ x = π/2 + kπ

• cosx = 1 ⇔ x = k2π

• cosx =- 1 ⇔ x = π + k2π

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Hỏi x = 7π/3 là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. 2sinx - √ 3=0.

B. 2sinx+ √ 3=0.

C. 2cosx- √ 3=0

D. 2cosx+ √ 3=0.

Bài giải:

Đáp án đúng là: A

Hướng dẫn:

Cách 1:

Với x = 7π/3, suy ra

.

Cách 2: Thử x=7π/3 lần lượt vào các phương trình.

Ví dụ 2. Giải phương trình sin (2x/3 - π/3) = 0.

A. x=kπ (k∈Z)

B.

.

C.

.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: D.

Hướng dẫn:

Ta có: sin (2x/3 - π/3) = 0.

⇔ 2x/3 - π/3 = kπ (k∈Z)

⇔ 2x/3 = π/3 + kπ

⇔ x = π/2 + k3π/2 (k∈Z).

Ví dụ 3. Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau?

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: B.

Hướng dẫn:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: sin 3x= sinx

Ví dụ 4. Giải phương trình cot (3x-1)= -√ 3

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: cot (3x - 1) = -√ 3

⇒ cot (3x - 1) = cot (-π/6).

⇔ 3x - 1 = (-π)/6 + kπ

⇔ x = 1/3 - π/ (18) + k. π/3 = 1/3 + 5π/ (18) + (k - 1). π/3

Đặt k - 1 = l => Nghiệm phương trình là: x = 1/3+ 5π/ (18)+l. π/3

Ví dụ 5. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tanx = 1?

A. sinx = √ 2/2

B. sinx = √ 2/2

C. cotx = 1

D. cot2x = 1

Bài giải:

Đáp án đúng là: C.

Hướng dẫn:

Cách 1:

Ta có: tanx = 1 ⇒ x = π/4 + kπ (k∈Z).

Xét đáp án C, ta có:

cotx = 1 ⇒ x = π/4 + kπ (k∈Z).

Cách 2:

Ta có đẳng thức tanx = 1/cotx. Kết hợp giả thiết tanx = 1, ta được cotx = 1.

Vậy hai phương trình tanx = 1 và cotx = 1 là tương đương.

Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình: cosx = m + 1 có nghiệm?

A. 1

B. 2

C. 3

D. Vô số.

Bài giải:

Đáp án đúng là: C.

Hướng dẫn:

Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cosx = a.

+ Phương trình có nghiệm khi |a| ≤ 1.

+Phương trình vô nghiệm khi |a| > 1.

Do đó, phương trình cosx = m + 1 có nghiệm khi và chỉ khi

Vậy có 3 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.

Ví dụ 7. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình: cos (2x - π/3) - m = 2 có nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S.

A. T = 6

B. T = 3

C. T = - 3

D. T = - 6

Bài giải:

Đáp án đúng là: D.

Phương trình:

cos (2x - π/3) - m = 2

⇔ cos (2x- π/3)= m+2.

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

- 1 ≤ m + 2 ≤ 1 ⇔ - 3 ≤ m ≤ -1.

Mà m nguyên nên m∈ {-3; -2; -1}

Suy ra: T= - 3+ (-2)+ (-1)= - 6

Ví dụ 8. Giải phương trình: tan⁡ (π/3 + x) = tan π/4

A. -π/12 + kπ

B. π/12 + kπ

C. -π/3 + kπ

D. -π/4 + kπ

Bài giải:

Đáp án đúng là: D.

Hướng dẫn:

Ta có: tan⁡ (π/3 + x) = tan π/4

⇔ π/3 + x = π/4 + kπ (k∈Z)

⇔ x = π/4 - π/3 + kπ = (-π)/12 + kπ

Ví dụ 9. Giải phương trình: cos⁡ ((x + π)/4) = 1/2

A. x = π/3 + 4kπ hoặc x = (- π)/3 + k4π)

B. x = π/12 + 4kπ hoặc x = (- π)/12 + k4π)

C. x = π/3 + 4kπ hoặc x = (- 7π)/3 + k4π)

D. Đáp án khác

Bài giải:

Đáp án đúng là: C

Hướng dẫn:

Ta có: cos⁡ ((x + π)/4) = 1/2 hay cos⁡ ((x + π)/4) = cos π/3

Ví dụ 10. Giải phương trình: sinx = 2/5

A. x = α + k2π hoặc x = - α + k2π

B. x = α + k2π hoặc x = π + α + k2π

C. x = α + kπ hoặc x = π - α + kπ

D. x = α + k2π hoặc x = π - α + k2π

Với sinα = 2/5

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Hướng dẫn:

Vì - 1 < 2/5 < 1 nên có số α để sinα = 2/5

Khi đó sinx = 2/5

⇔ sinx = sinα nên x = α + k2π hoặc x = π - α + k2π

Ví dụ 11. Giải phương trình tanx = 2

A. 2+ kπ

B. arctan 2+ kπ

C. 2+ k2π

D. arctan 2+ k 2π

Bài giải:

Đáp án đúng là: B.

Hướng dẫn:

Ta có: tanx = 2 ⇒ x = arctan2 + kπ (k∈Z)

Ví dụ 12. Giải phương trình: cot⁡ (π/3 + x) = cot (π + x)/2

A. π/3 + k4π

B. π/3 + k2π

C. π/3 + kπ

D. π/6 + kπ

Bài giải:

Đáp án đúng là: B.

Hướng dẫn:

Ta có: cot⁡ (π/3 + x) = cot (π + x)/2

⇒ π/3 + x = (π + x)/2 + kπ với k∈Z

⇒ x - x/2 = π/2 - π/3 + kπ

⇒ x/2 = π/6 + kπ x = π/3 + k2π

Ví dụ 13. Giải phương trình cos (40⁰ + x) = cos (80⁰ – x)

A. x= 20⁰ + k. 180⁰

B. x= 20⁰ + k. 360⁰

C. x= - 40⁰+ k. 180⁰

D. Cả A và C đúng

Bài giải:

Đáp án đúng là: A.

Hướng dẫn

Ta có: cos (40⁰+ x) = cos (80⁰ – x)

Ví dụ 14. Giải phương trình: cos (x + 10⁰) = 1/3

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng: C.

Hướng dẫn:

Ta có: cos (x+10⁰) = 1/3

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Giải phương trình cos (π/3 - x) = 0

A. - π/2 + l2π

B. - π/3 + l2π

C. π/6 + l2π

D. - π/6 + l2π

Hiển thị lời giải

Ta có: cos (π/3-x)=0

⇒ cos (π/3-x) = cos π/2

⇒ π/3-x= π/2 + k2π

⇒ -x= π/2- π/3+k2π

⇒ - x= π/6+k2π ⇒ x= - π/6- k2π

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là x= - π/6 + l2π (với l= - k và nguyên)

Chọn D.

Câu 2: Phương trình: sin (2x/3 - π/3) = 0 có nghiệm là:

A.

B. x=kπ.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn D.

sin (2x/3- π/3)=0 ⇒ 2x/3- π/3=kπ

⇒ 2x/3 = π/3+ kπ ⇒ x= π/2+k3π/2

Câu 3: Nghiệm của phương trình: sinx. (2cosx-√ 3)=0 là:

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn A

D.

Câu 4:Cho phương trình sin (x - 10⁰) = 2m + 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị lời giải

Ta có: phương trình sin (x-10⁰)= 2m+1 có nghiệm khi và chỉ khi:

- 1 ≤ 2m+1 ≤ 1

⇒ -2 ≤ 2m ≤ 0 ⇔ - 1 ≤ m ≤ 0

⇒ có hai giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm là m= -1 hoặc m = 0

Chọn B.

Câu 5:Giải phương trình sinx= -1/3

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn C.

Ta có: sinx=-1/3

D.

Câu 6: Giải phương trình cot x = 3

A. arccot 3 + k. π (k∈Z)

B. arctan 3 + k. π (k∈Z)

C. arccot 3 + k. 2π (k∈Z)

D. - arccot 3 + k. π (k∈Z)

Hiển thị lời giải

Ta có: cotx = 3

⇒ x= arccot 3 + k. π (k∈Z)

Chọn A.

Câu 7: Giải phương trình cos (x+ π)/3= (- 1)/2

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn B

Câu 8: Giải phưởng trình sinx=sin⁡ (2x- π/3)

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn D.

Câu 9:

Hiển thị lời giải

Câu 10:Giải phương trình tanx = (- √ 3)/3

A. - π/6+kπ

B. π/6+kπ

C. - π/3+kπ

D. π/3+k2π

Hiển thị lời giải

Ta có: tanx= (- √ 3)/3

⇒ tanx= tan (- π)/6

⇒ x= - π/6+kπ

Chọn A.

Câu 11:Giải phương trình cot (x - π/2) = cot⁡ ((π/4 - x)

A. 3π/8 + kπ

B. 3π/8 + kπ/2

C. 3π/4 + kπ/2

D. 3π/4 + kπ

Hiển thị lời giải

Ta có: cot (x- π/2)=cot⁡ ((π/4-x))

⇒ x- π/2= π/4-x+kπ

⇒ 2x= 3π/4+kπ ⇒ x= 3π/8+kπ/2

Chọn B.

Câu 12: Giải phương trình tanx = cot (x + π/3)

A. π/12 + kπ

B. π/6 + kπ/2

C. π/12 - kπ/2

D. π/3 + kπ

Hiển thị lời giải

Lời giải

Ta có: tanx= cot (x+ π/3)

⇒ cot⁡ (π/2-x) = cot⁡ (x+ π/3)

⇒ π/2- x = x+ π/3+kπ

⇒ - 2x= (-π)/6+kπ

⇒ x= π/12- kπ/2

Chọn C.

Câu 13:Giải phương trình sinx = cosx

A. π/4 + k2π

B. π/4 + kπ

C. π/2 + kπ

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Lời giải

Ta có: sinx = cosx

⇒ sinx= sin (π/2-x)

.

Chọn B.

Câu 14: Nghiệm của phương trình sin3x = cosx là:

A.

B.

C.

D.
.

Hiển thị lời giải

Lời giải

Chọn A.

Ta có: sin3x= cosx

.

Bài tiếp: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên khoảng (đoạn) - Chuyên đề Toán 11