Cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), có 2 cách làm như sau:
* Cách 1:
+ Trong những bài đơn giản, có sẵn một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và một đường thẳng a nào đó thuộc mặt phẳng (P)
+ Trong mặt phẳng (Q), 2 đường thẳng a và d cắt nhau tai điểm A. Khi đó điểm A chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
* Cách 2: Chọn mặt phẳng phụ:
+ Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d, sao cho dễ dàng tìm giao tuyến của mặt phẳng (Q) với mặt phẳng (P)
+ Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) và (Q) - gọi là đường thẳng d.
+ Tìm giao điểm của đường thẳng a và đường thẳng d - gọi là điểm A.
Khi đó, điểm A chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP) là giao điểm của
A. CD và NP
B. CD và MN
C. CD và MP
D. CD và AP
Bài giải:
* Cách 1:
+ Chọn mặt phẳng phụ chứa CD là mặt phẳng (BCD)
+ Do NP không song song CD nên NP cắt CD tại E
Điểm E ∈ NP nên E ∈ (MNP)
⇒ giao điểm của CD và mặt phẳng (MNP) là điểm E.
Vậy đáp án đúng là: A.
* Cách 2:
+ Ta có: NP ⊂ (BCD)
⇒ NP và CD đồng phẳng
+ Gọi E là giao điểm của NP và CD mà NP ⊂ (MNP)
=> CD ∩ (MNP) = E
Vậy giao điểm của CD và mặt phẳng (MNP) là giao điểm E của NP và CD.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng tâm tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là:
A. Điểm F
B. Giao điểm của đường thẳng EG và AF.
C. Giao điểm của đường thẳng EG và AC.
D. Giao điểm của đường thẳng EG và CD.
Bài giải:
+ Vì G là trọng tâm tam giác BCD; F là trung điểm của CD nên G ∈ BF ⊂ (ABF)
+ Ta có: E là trung điểm của AB nên E ∈ (ABF).
+ Chọn mặt phẳng phụ chứa EG là (ABF).
Dễ dàng tìm được giao tuyến của (ACD) và (ABF) là AF.
+ Trong mặt phẳng (ABF); gọi M là giao điểm của EG và AF.
Vậy giao điểm của EG và mặt phẳng (ACD) là giao điểm M của EG và AF
Đáp án đúng là: B
Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC. Gọi I là giao điểm của AM với mặt phẳng (SBD). Tìm mệnh đề đúng?
Bài giải:
+ Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm của AC.
+ Nối AM cắt SO tại I mà SO ⊂ (SBD)
Suy ra I = AM ∩ (SBD).
+ Tam giác SAC có M; O lần lượt là trung điểm của SC và AC
Mà I là giao điểm của AM và SO.
⇒ I là trọng tâm tam giác SAC
⇒ AI = 2/3 AM và IA = 2. IM
Lại có điểm I nằm giữa A và M => 
Đáp án đúng là: A
Ví dụ 4: Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O; điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Trên đoạn SC; lấy 1 điểm M không trùng với S và C. Gọi K là giao điểm của SO và AM. Giao điểm của đưởng thẳng SD và mặt phẳng (ABM) là:
A. Giao điểm của SD và AB
B. Giao điểm của SD và AM
C. Giao điểm của SD và BK
D. Giao điểm của SD và MK
Bài giải:
+ Chọn mặt phẳng phụ chứa SD là mặt phẳng (SBD)
+ Ta tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (ABM)
Ta có: B ∈ (SBD) ∩ (ABM) (1)
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD.
Trong mặt phẳng (SAC), gọi K là giao điểm của AM và SO.
Ta có:
- K ∈ SO ⊂ (SBD)
- K ∈ AM ⊂ (ABM)
⇒ K ∈ (SBD) ∩ (ABM) (2)
Từ (1) và (2) => Giao tuyến của (ABM) và (SBD) là BK
+ Trong mặt phẳng (SBD), gọi N là giao điểm của SD và BK
⇒ N là giao điểm của SD và mặt phẳng (ABM)
Đáp án đúng là: C
Ví dụ 5: Cho 4 điểm A, B, C và S không cùng thuộc 1 mặt phẳng. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB. Trên SC lấy điểm K sao cho IK không song song với AC. Gọi E là giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng (IHK). Chọn mệnh đề đúng?
A. Điểm E thuộc tia BC
B. Điểm E thuộc tia CB
C. Điểm E nằm trong đoạn BC
D. Điểm E nằm giữa B và C
Bài giải:
+ Chọn mặt phẳng phụ chứa BC là mặt phẳng (ABC)
+ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (IHK)
- H ∈ (ABC) ∩ (IHK) (1)
Trong mặt phẳng (SAC), do IK không song song với AC nên gọi giao điểm của IK và AC là F. Ta có:
- F ∈ AC ⊂ (ABC)
- F ∈ IK ⊂ (IHK)
=> F ∈ (ABC) ∩ (IHK) (2)
Từ (1) và (2) => HF = (ABC) ∩ (IHK)
+ Trong mặt phẳng (ABC), gọi E là giao điểm của HF và BC
Ta có:
- E ∈ HF ⊂ (IHK)
- E ∈ BC
⇒ Giao điểm của BC và (IHK) là E.
Đáp án đúng là: D
Ví dụ 6: Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AB; AD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MN cắt BD tại I. Điểm I không thuộc mặt phẳng nào sao đây:
A. (BCD)
B. (ABD)
C. (CMN)
D. (ACD)
Bài giải:
Do I là giao điểm của MN và BD nên:
I ∈ BD ⇒ I ∈ (BCD), (ABD)
I ∈ MN ⇒ I ∈ (CMN)
Đáp án đúng là: D
Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N là trên cạnh BC. Gọi O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD và gọi I = SO ∩ AM. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN)
A. là giao điểm của SD và SI
B. là giao điểm của SD và BJ
C. Là giao điểm của SD và MI
D. là giao điểm của SD và IJ
Bài giải:
Trong mặt phẳng (SBD), gọi K = IJ ∩ SD
Ta có: I ∈ AM ⊂ (AMN), J ∈ AN ⊂ (AMN)
⇒ IJ ⊂ (AMN)
Do đó K ∈ IJ ⊂ (AMN) ⇒ K ∈ (AMN)
Vậy K = SD ∩ (AMN)
Đáp án đúng là: D
Ví dụ 8: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, K là 2 điểm trên SA; BC. Gọi E là giao điểm của AK và BD; O là giao điểm của AC và BD. Tìm giao điểm của IK với mặt phẳng (SBD)?
A. Là giao điểm của IK và SO
B. Là giao điểm của IK và DO
C. Là giao điểm của IK và SE
D. Là giao điểm của IK và BE
Bài giải:
+ Chọn mặt phẳng (SAK) chứa IK. Tìm giao tuyến của (SAK) và (SBD)
Có S ∈ (SAK) ∩ (SBD) (1)
+ Trong mặt phẳng (ABCD) có:
+ Từ (1) và (2) => (SAK) ∩ (SBD) = SE
+ Trong mặt phẳng (SAK) gọi:
Vậy giao điểm của IK và (SBD) là giao điềm của IK và SE
Đáp án đúng là: C
Ví dụ 9: Cho tứ diện ABCD. Các điểm P; Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mặt phẳng (PQR) và cạnh AD. Tính tỉ số: SA/SD
A. 2
B. 1
C. 1/2
D. 1/3
Bài giải:
+ Gọi I là giao điểm của BD và RQ. Nối P với I; cắt AD tại S
+ Xét tam giác BCD bị cắt bởi IR, ta có:
+ Xét tam giác ABD bị cắt bởi PI ta có:
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 10: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P; Q: R lần lượt lấy trên ba cạnh AB; CD; BC. Cho PR// AC và CQ = 2. QD. Gọi giao điểm của AD và (PQR) là S. Chọn khẳng định đúng?
A. AD = 3 DS
B. AD = 2 DS
C. AS = 3 DS
D. AS = DS
Bài giải
+ Gọi I là giao điểm của BD và RQ. Nối P với I; cắt AD tại S
+ Vì PR song song với AC nên:
⇒ AD = 3. DS
Đáp án đúng là: A
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA. Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (MCD).
A. Điểm H, trong đó E = AB ∩ CD, H = SA ∩ EM
B. Điểm N, trong đó E = AB ∩ CD, N = SA ∩ EM
C. Điểm F, trong đó E = AB ∩ CD, F = SA ∩ EM
D. Điểm T, trong đó E = AB ∩ CD, T = SA ∩ EM
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = AB ∩ CD
Trong (SAB) gọi N là giao điểm của ME và SB.
Ta có: N ∈ EM ⊂ (MCD) ⇒ N ∈ (MCD) (1)
Lại có: N ∈ SB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: N = SB ∩ (MCD)
Chọn B
Câu 2: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA. Tìm giao điểm của đường thẳng MC và mặt phẳng (SBD).
A. Điểm H, trong đó I = AC ∩ BD, H = MA ∩ SI
B. Điểm F, trong đó I = AC ∩ BD, F = MA ∩ SI
C. Điểm K, trong đó I = AC ∩ BD, K = MA ∩ SI
D. Điểm V, trong đó I = AC ∩ BD, V = MA ∩ SI
Trong mp (ABCD), gọi I = AC ∩ BD
Trong mp (SAC) gọi k = MC ∩ SI
Ta có K ∈ SI ⊂ (SBD) và K ∈ MC
nên K = MC ∩ (SBD)
Chọn C
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N là trên cạnh BC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).
A. Điểm K, trong đó K = IJ ∩ SD, I = SO ∩ AM, O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD
B. Điểm H, trong đó H = IJ ∩ SD, I = SO ∩ AM, O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD
C. Điểm V, trong đó V = IJ ∩ SD, I = SO ∩ AM, O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD
D. Điểm P, trong đó P = IJ ∩ SD, I = SO ∩ AM, O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD
+ Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD
+ Trong mp (SAC) gọi I = SO ∩ AM và K = IJ ∩ SD
Ta có I ∈ AM ⊂ (AMN), J ∈ AN ⊂ (AMN) ⇒ IJ ⊂ (AMN)
Do đó K ∈ IJ ⊂ (AMN) ⇒ K ∈ (AMN)
Vậy K = SD ∩ (AMN)
Chọn A
Câu 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi E; F; G là điểm lần lượt thuộc các cạnh AB; AC; BD sao cho EF không song song với BC; EG Không song song với AD. Tìm giao điểm của AD và mp (EFG)
A. Điểm H - giao điểm của AD và EG
B. Điểm I - giao điểm của EF và BC
C. Trung điểm của CD
D. Điểm O - giao điểm của CD và GI trong đó I là giao điểm của EF và BC
+ Trong mp (ABD), gọi giao điểm của GE và AD là H. Ta có
+ H thuộc GE mà GE ⊂ (GEF) suy ra H ∈ (GEF).
+ Lại có: H ∈ AD.
Do đó H ∈ AD ∩ (GEF).
Chọn A
Câu 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy không là hình thàng. Gọi AD ∩ BC = I; SI ∩ BM = K và AB ∩ CD = O. Trên SC lấy điểm M; gọi N là giao điểm của SD và AK. Chọn mệnh đề sai?
A. Ba đường thẳng AB; CD; MN đồng quy
B. O; M; N thẳng hàng
C. N là giao điểm của SD và (MAB)
D. Có ít nhất một mệnh đề sai
+ Trong mặt phẳng (SAD), N là giao điểm AK và SD.
Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMB)
+ Giao điểm của AB và CD là O. Suy ra
- O thuộc (AMB).
- O thuộc CD mà CD ⊂ (SCD) suy ra O thuộc (SCD).
Do đó O ∈ (AMB) ∩ (SCD) (1)
Mà giao tuyến của (AMB) và (SCD) là MN (2)
Từ (1) và (2), suy ra O thuộc MN nên 3 điểm O; M; N thẳng hàng
Vậy ba đường thẳng AB; CD; MN đồng quy.
Chọn D
Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, J là trung điểm SA, SB. Lấy điểm M tùy ý trên SD; gọi H là giao điểm của AD và BC. Tìm giao điểm của IM và (SBC)
A. Giao điểm của IM và SC
B. Giao điểm cuả IM và SH
C. Giao điểm của IM và HC
D. Tất cả sai
Chọn mp (SAD) chứa IM. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC)
Có S ∈ (SAD) ∩ (SBC) (1)
Trong mp (ABCD) có
+ Từ (1) và (2) suy ra (SAD) ∩ (SBC) = SH
+ Trong mp (SAD) gọi
Vậy giao điểm của IM và (SBC) là giao điểm của IM và SH
Chọn B
Câu 7: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, J là trung điểm SA, SB. Lấy điểm M tùy ý trên SD; gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm giao điểm của JM và (SAC)
A. Giao điểm của JM và SC
B. Giao điểm cuả JM và SO
C. Giao điểm của JM và OC
D. Tất cả sai
+ Chọn mp (SBD) chứa JM. Tìm giao tuyến của (SBD) và (SAC)
Có S ∈ (SBD) ∩ (SAC) (1)
Trong mp (ABCD) có
⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SO
+ Trong mp (SBD) gọi F = JM ∩ SO
Vậy giao của JM và (SAC) là giao điểm của JM và SO
Chọn B
Câu 8: Cho tứ diện ABCD trong đó có tam giác BCD không cân. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB; CD và G là trung điểm của đoạn MB. Gọi A1 là giao điểm của AG và (BCD). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. A1 là tâm đường tròn tam giác BCD
B. A1 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD
C. A1 là trực tâm tam giác BCD
D. A1 là trọng tâm tam giác BCD
+ Mặt phẳng (ABN) cắt mặt phẳng (BCD) theo giao tuyến BN.
Mà AG ⊂ (ABN) suy ra AG cắt BN tại điểm A1
+ Qua M dựng MP// AA1 với M ∈ BN.
Có M là trung điểm của AB suy ra P là trung điểm BA1 nên BP = PA1 (1)
+ Tam giác MNP có: MP // GA1 và G là trung điểm của MN
⇒ A1 là trung điểm của NP nên PA1 = NA1 (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra: BP = PA1 = NA1
⇒ (BA1)/BN = 2/3
Mà N là trung điểm của CD.
Do đó, A1 là trọng tâm của tam giác BCD.
Chọn D
Câu 9: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB; N là trọng tâm tam giác SCD. Xác định giao điểm của:
a) MN và (ABCD)
b) MN và (SAC)
c) SC và (AMN)
d) SA và (CMN)
a) Gọi E trung điểm của CD
Trong mp (SBE) gọi
b) Chọn mp (SBE) chứa MN
Tìm giao tuyến (SBE) và (SAC)
Có S ∈ (SAC) ∩ (SBE) (1)
+ Trong mp (ABCD) gọi
+ Từ (1) và (2) suy ra (SAC) ∩ (SBE) = SG.
Trong mp (SBE) gọi H = MN ∩ SG
c) Chọn mp (SAC) chứa SC. Tìm giao tuyến (SAC) và (AMN)
Có A ∈ (SAC) ∩ (AMN) (3)
Có H = MN ∩ SG
⇒
Từ (3) và (4) suy ra (AMN) ∩ (SAC) = AH
Trong mp (SAC) gọi K = SC ∩ AH
d) Chọn mp (SAC) chứa SA. Tìm giao tuyến (SAC) và (CMN)
Có C ∈ (SAC) ∩ (CMN) (5)
Có H = MN ∩ SG
Từ (5) và (6) suy ra (CMN) ∩ (SAC) = CH
Trong mp (SAC) gọi I = SA ∩ CH
