Trang chủ > Lớp 11 > Chuyên đề Toán 11 (có đáp án) > Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số - Chuyên đề Toán 11

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Ta quan sát, phân tích những đặc điểm của dãy số đề bài cho, từ đó rút ra công thu gọn cho tổng đó (có thể dùng công thức tính tổng của cấp số cộng hoặc cấp số nhân) hoặc biến đổi đại số để giảm bớt những hạng tử trong tổng, …

- Dùng các quy tắc tính giới hạn của dãy số để tính giới hạn của tổng đã cho sau khi đã thu gọn.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho dãy số (un) với Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 1 . Tính lim un

Bài giải:

un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 1/2 và q = (-1)/2.

Do đó

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 2

Bài 2: Tính lim Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 3

Bài giải:

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 4

Vậy: Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 5

Bài 3: Tính Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 6

Bài giải:

Ta có: Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 7

Mà:

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 8

=> Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 9

Bài 4: Tính Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 10

Bài giải:

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 11

Bài 5: Tính Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 12

Bài giải:

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 13

Bài 6: Cho dãy số (un). Biết Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 14 với mọi n ≥ 1. Tìm Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 15

Bài giải:

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 16

Bài 7: Tính Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 17

Bài giải:

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 18
Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 19
Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 20

Khi đó

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 21
Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 22

B. Bài tập vận dụng

Bài tập tính giới hạn của dãy số

Bài 1: Tìm giá trị đúng của: Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 23

A. √ 2 + 1. B. 2. C. 2√ 2. D. 1/2.

Đáp án: C

Ta có:

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 24

là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là 1 và công bội là 1/2. Khi đó:

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 25

Vậy S = 2√ 2.

Chọn đáp án C.

Bài 2: Tính giới hạn: Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 26

A. 0 B. 1/3 C. 2/3 D. 1

Đáp án: B

Ta có:

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 27

Đáp án B.

Bài 3: Tính giới hạn: Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 28

A. 0 B. 1 C. 3/2 D. Không có giới hạn

Đáp án: B

Ta có:

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 29

Khi đó

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 30

Đáp án B

Bài 4: Tính giới hạn: Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 31

A. 1 B. 0 C. 2/3 D. 2

Đáp án: D

Ta có:

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 32

Khi đó

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 33

Chọn đáp án D.

Bài 5: Tính giới hạn: Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 34

A. 1/2 B. 1 C. 0 D. 2/3

Đáp án: A

Ta có:

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 35

Đáp án A

Bài 6: Tính giới hạn: Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 36

A. 11/18 B. 2 C. 1 D. 3/2

Đáp án: A

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 37

Bài 7: Tính giới hạn: Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 38

A. 1 B. 1/2 C. 1/4 D. 3/2

Đáp án: A

Ta có:

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 39

Đáp án A

Bài 8: Cho dãy số (un) với Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 40 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. lim⁡un = 0

B. lim⁡un = 1/2

C. lim⁡un = 1

D. Dãy số (un) không có giới hạn khi n → +∞

Đáp án: B

Ta có:

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 41

Do đó

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 42

Đáp án B

Bài 9: Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 43 bằng.... ?

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 44

Đáp án: A

Chọn A.

Từ thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (un) với n = 1, un = 4n-3 và công bội d = 4

Do đó

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 45

Tương tự ta có

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 46

Vậy

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 47

Bài 10: Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 48 bằng:

A. +∞ B. 3 C. 3/2 D. 2/3

Đáp án: A

Chọn A

Ta có từ thức là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un) với ui = 3 và q = 3

Do đó 3 + 32 + 33 + ⋯ + 3n =

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 49

Mẫu thức là tổng của n+1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (vn) với vn = 1 và q = 2.

Do đó

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 50

Vậy

Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số ảnh 51