Cách tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với 2 đường thẳng đó:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và (SBC). Tìm mệnh đề đúng?
A. d qua S và song song với BC
B. d qua S và song song với DC
C. d qua S và song song với AB
D. d qua S và song song với BD
Bài giải
Ta có:
⇒ (SAD) ∩ (SBC) = Sx // AD // BC
Khi đó, đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng Sx.
Mệnh đề đúng là: A.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC. Gọi G là trọng tâm của ∆ BCD. Giao tuyến của 2 mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là đường thẳng:
A. Qua I và song song với AB
B. Qua J và song song với BD
C. Qua G và song song với CD
D. Qua G và song song với BC
Bài giải
Ta có:
⇒ (GIJ) ∩ (BCD) = Gx // IJ // CD
Chọn đáp án: C
Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm AD và BC. Gọi G là trọng tâm ∆ SAB. Giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (IJG) là:
A. SC
B. Đường thẳng qua S và song song với AB
C. Đường thẳng qua G và song song với CD
D. Đường thẳng qua G và cắt BC.
Bài giải
+ Xét hình thang ABCD có: I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
⇒ IJ là đường trunh bình của hình thang.
⇒ IJ // AB // CD
Ta có:
⇒ (GIJ) ∩ (SAB) = Gx // IJ // AB
Chọn đáp án: C
Ví dụ 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB đáy nhỏ CD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi P là giao điểm của SC và mặt phẳng (AND). Gọi I là giao điểm của AM và DP. Hỏi tứ giác SABI là hình gì?
A. Hình bình hành
B. Hình chữ nhật
C. Hình vuông
D. Hình thoi
Bài giải
+ Gọi E là giao điềm của AD và BC; P là giao điểm của NE và SC
Suy ra: P = SC ∩ (AND)
+ Ta có: S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
Gọi I là giao điểm của DP và AN nên I là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
=> SI = (SAB) ∩ (SCD)
Mà: AB // CD nên SI // AB // CD
+ Vì MN là đường trung bình của tam giác SAB và chứng minh được cũng là đường trung bình của ∆ SAI => SI = AB (= 2 MN)
+ Tứ giác SABI có 2 cạnh đối SI và AB song song và bằng nhau nên SABI là hình bình hành.
Chọn đáp án: A
Ví dụ 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MCD) và (SAB) với M là một điểm bất kì thuộc cạnh SA.
A. Qua M và song song với AD
B. Qua M và song song với AB
C. Qua M và song song với AC
D. Qua M và song song với BD
Bài giải
Ta có:
⇒ (SAB) ∩ (SCD) = yy', với yy' // AB // CD và M ∈ yy'
Chọn đáp án: B
Ví dụ 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi H và M lần lượt là trung điểm của CD và AH. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SMO) và (SCD).
A. Qua A và song song HC
B. Qua H và song song MO
C. Qua S và song song MO
D. Qua O và song song HC
Bài giải
+ Xét mặt phẳng (ABCD) có M và O lần lượt là trung điểm của AH và AC
⇒ MO là đường trung bình của ∆ ACH.
⇒ MO // HC
+ Xét giao tuyến của hai mặt phẳng (SMO) và (SHC) có:
Chọn đáp án: C
Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi H là điểm bất kì trong mp (BCD); giao điểm của BH và CD là K. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho: BM/MC = BH/HK. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (MHC) và (AKC)?
A. Qua A và song song MH
B. Qua C và song song HK
C. Qua C và song song MK
D. Qua C và song song MH
Bài giải
+ Xét ∆ ABK có: BM/MC = BH/HK
⇒ MH // AK (định lí Ta-let đảo)
+ Xét giao tuyến của hai mặt phẳng (MHC) và (AKC) có:
Chọn đáp án: D
Ví dụ 8: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho 2SM = MA; trên đoạn SB lấy điểm N sao cho 2SN = NB. Điểm P nằm trên cạnh SC không trùng với S. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng (SCD)?
A. Qua A và song song AB
B. Qua N và song song CD.
C. Qua P và song song CD.
D. Đáp án khác
Bài giải
+ Ta có: 2SM = MA và 2SN = NB nên: 
⇒ MN // AB (định lí Ta-let đảo) (1)
+ Lại có ABCD là hình thoi nên AB // CD (2)
Từ (1) và (2) => MN // CD.
+ Giao tuyến của mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng (SCD):
Chọn đáp án: C
Ví dụ 9: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P; Q; R lần lượt trên cạnh AB; CD và BC. Biết rằng PR // AC. Xác định giao điểm S của mặt phẳng (PQR) và cạnh AD.
A. Là giao điểm của đường thẳng Qx và AD với Qx // AC
B. Là giao điểm của đường thẳng Px và AD với Px // BD
C. Là giao điểm của đường thẳng Rx và AD với Rx // BD
D. Là giao điểm của đường thẳng Qx và AD với Qx // BD
Bài giải
+ Chọn mặt phẳng phụ chứa AD là mặt phẳng (ACD).
+ Xét giao tuyến của (ACD) và mặt phẳng (PQR):
⇒ (PQR) ∩ (ACD) = Qx // PR // AC
+ Trong mặt phẳng (ACD); Qx cắt AD tại S ta được điểm S cần tìm.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
A. là đường thẳng đi qua S song song với AB, CD
B. là đường thẳng đi qua S
C. là điểm S
D. là mặt phẳng (SAD)
Ta có
⇒ (SAB) ∩ (SCD) = d // AB // CD, S ∈ d
Chọn A
Câu 2: Cho hình bình hành ABCD và một điểm S không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là một đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
A. AB
B. AC
C. BC
D. SA
Chọn A
Xét (SAB) và (SCD) có S là điềm chung và
⇒ (SAB) ∩ (SCD) = Sx // AB // CD
Câu 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là đường thẳng
A. qua I và song song với AB
B. qua J và song song với BD
C. qua G và song song với CD
D. qua G và song song với BC
Chọn C
Gọi d là giao tuyến của (GIJ) và (BCD)
+ Do I và J lần lượt là trung điểm của AD và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ACD
⇒ IJ // CD.
+ Xét hai mp (GIJ) và mp (BCD):
trong đó d qua G và d // CD // IJ
Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng SD. Chọn mệnh đề sai?
A. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua S và song song với AB
B. Giao tuyến của (SCD) và (MAB) là đường thẳng qua M và song song với CD.
D. Giao tuyến của (SCD) và (MAB) song song với giao tuyến của (SAB) và (SCD)
D. A và B đúng; C sai.
+ Ta tìm giao tuyến của mp (SAB) và (SCD):
Ta có:
⇒ (SAB) ∩ (SCD) = d1, với S ∈ d1 và d1 // AB // CD (1)
+ Ta tìm giao tuyến của mp (MAB) và (SCD):
Ta có:
⇒ (MAB) ∩ (SCD) = d2, với M ∈ d2 và d2 // AB // CD (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra: d1 // d2
Chọn D
Câu 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, I là trung điểm cạnh SC. Khẳng định nào sau đây SAI?
A. IO // SA
B. 4 điểm I, O, S và A đồng phẳng
C. giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (IBD) là Bx. Trong đó, Bx // SA // IO
D. (IBD) ∩ (SAC) = ID
+ Xét tam giác SAC có I và O lần lượt là trung điểm của SC và AC nên OI là đường trung bình của tam giác.
⇒ SA // IO và 4 điểm S; A, I, O đồng phẳng
⇒ A và B đúng.
=> C đúng
nên D sai
Đáp án D
Câu 6: Cho tứ diện ABCD và M là điểm ở trên cạnh AC. Mặt phẳng (α) qua và M song song với AB và CD. Tìm giao tuyến của mp (α) và (ABD)
A. Px // MN
B. Px // AD
C. Px // AC
D. Px // BC
Chọn A
+ Trên mp (ABC) kẻ MN // AB, N ∈ BC
Trên mp (BCD) kẻ NP // CD, P ∈ BD
⇒ (α) chính là mặt phẳng (MNP)
+ Ta tìm giao tuyến của mp (MNP) và (ABD)
Câu 7: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Chọn mệnh đề sai
A. (IBC) ∩ (SAD) = Ix // AB // CD
B. Giao tuyến của (IBC) và (SAD) là đường trung bình của tam giác SAD.
C. A và B cùng đúng hoặc cùng sai.
D. A đúng, B sai
+ Ta tìm giao tuyến của mp (IBC) và (SAD).
+ Trong mặt phẳng (SAD), gọi giao điểm của Ix và SD là J.
⇒ IJ // BC
Lại có; I là trung điểm của SA nên J là trung điểm của SD.
⇒ A và B đều đúng.
Chọn D
Câu 8: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SA. Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm M và song song với SC; AD. Chọn mệnh đề sai?
A. Giao tuyến của mp (P) và mp (SAD) là đường thẳng song song với AD
B. Giao tuyến của mp (P) và mp (ABC) là đường thẳng song song với AD.
C. Giao tuyến của mp (P) và mp (SCD) là đường thẳng song song với SC.
D. Giao tuyến của mp (P) và mp (SAB) là đường thẳng song song với SC.
+ Qua M kẻ các đường thẳng MQ // AD và MO // SC. (với Q ∈ Sd; O ∈ AC)
Ta có: SC và AD lần lượt song song với mặt phẳng (OMQ) nên (OMQ) ≡ (P).
+ Ta có giao tuyến của (OMQ) và (SAD) là MQ và MQ //AD (theo cách dựng)
⇒ A đúng.
+ Ta tìm giao tuyến của (OMQ) và (ABCD) ta có:
Gọi Ox cắt CD và AB lần lượt tại P và N. Khi đó; MN // AD // QM
⇒ B đúng
+ Ta tìm giao tuyến của (OMQ) và (SCD) có:
⇒ C đúng
Chọn D
Câu 9: Cho tứ diện ABCD. Gọi G và J lần lượt là trọng tâm tam giác BCD; tam giác ACD. Gọi K là trung điểm của CD. Tìm giao tuyến của hai mp (ABD) và mp (GJD)
A. Qua D và song song GJ
B. Qua A và song song AB
C. Qua D và song song GA
D. Qua J và song song AB
+ Do G và J lần lượt là trọng tâm tam giác BCD; tam giác ACD nên:
⇒ GJ // AB
+ Xét giao tuyến của hai mp (ABD) và mp (GJD):
Vậy giao tuyến của mp (ABD) và mp (GJD) là đường thẳng qua D và song song AB // GJ
Chọn A