Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác - Chuyên đề Toán 11
Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
A. Phương pháp giải
Để giải phương trình quy về phương trình phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác ta nên:
• Sử dụng các công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng. .. để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
• Sử dụng phương pháp giải phương trình phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Từ đó, suy ra nghiệm của phương trình đã cho.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình: cosx = 3 - sin2 x
A. π + k2π
B. k2π
C. kπ
D. π/2+ k2π
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Hướng dẫn:
Ta có: cosx = 3 - sin2 x
⇒ 3- sin2 x – cosx = 0
⇒ 3- (1- cos2 x) – cosx = 0
⇒ cos2 x - cosx + 2 = 0
Với cosx = -1 thì x = π + k2π
Ví dụ 2. Giải phương trình: sin2 x + 2sin2 2x – 6sinx. cosx + cos2x = 0
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Hướng dẫn:
Ta có: sin2x + 2sin2 2x – 6sinx. cosx + cos2x = 0
⇒ 2sin22x - 6sinx. cosx + (sin2 x + cos2x) = 0
⇒ 2sin2 2x – 3sin2x + 1 = 0
Ví dụ 3. Giải phương trình: 2cos2 x + 5sin2x + 5sinx = 0
A. 
B. 
C. 
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: D.
Hướng dẫn:
Ta có: 2cos2 x + 5sin2 x + 5sinx = 0
⇒ 2 (cos2 x + sin2 x) + 3sin2x + 5sinx = 0
⇒ 2 + 3sin2 x + 5sinx = 0
Ví dụ 4. Các họ nghiệm của phương trình cos2x - sinx = 0 là
A.
B. 
C. 
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Hướng dẫn:
Ta có: cos2x - sinx = 0
⇒ 1 - 2sin2 x – sinx = 0
Ví dụ 5. Họ nghiệm của phương trình: – cos22x – 2sin2x + 2 = 0 là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Ta có: - cos2 2x – 2sin2x + 2 = 0
⇒ sin2 2x - 1 - 2sin2x + 2 = 0
⇒ sin2 2x – 2sin2x + 1 = 0
⇒ sin2x = 1
⇒ 2x = π/2 + k2π
⇒ x = π/4 + kπ
Ví dụ 6: Một họ nghiệm của phương trình cos22x + sin2x - 1 = 0 là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Ví dụ 7. Giải phương trình lượng giác 4sin4x + 12cos2 x – 7 = 0 có nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Ta có: 4sin2x +12cos2 x – 7 = 0
⇒ 4sin2 x + 12 (1-sin2 x) – 7 = 0
⇒ 4sin2 x – 12sin2x + 5 = 0.
Ví dụ 8: Phương trình cos2 (x + π/3) + 4 cos (π/6 - x) = 5/2 có nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Hướng dẫn:
Ta có:
Ví dụ 9. Phương trình cos2x - 10cosx + 13 = 0 có nghiệm là:
A. x = π/2 + k2π
B. Ø.
C. x = ±arccos 2 + k2π.
D. x = ±arccos 3 + k2π.
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có: cos2x - 10cosx + 13 = 0
⇒ 2cos2 x – 1 - 10cosx + 13 = 0
⇒ 2cos2 x – 10cosx + 12 = 0
⇒ Phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 10: Phương trình sin22x - 2cos2 x + 3/4 = 0 có nghiệm là
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Ví dụ 11: Họ nghiệm của phương trình 3cos 4x + 2cos2x - 5 = 0 là:
A. k2π
B. π/3 + k2π.
C. kπ
D. π/3 + k2π.
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Ta có: 3cos4x + 2cos2x – 5 = 0
Với cos2x = 1 thì 2x = k2π
⇒ x = k. π
Ví dụ 12. Giải phương trình: 
A. 
B. 
C. 
D. Đáp án khác
Bài giải:
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Phương trình sin2 x + sin2 2x = 1 có nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D. Vô nghiệm.
Câu 2: Phương trình tanx + 3cotx = 4 có nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D. Đáp án khác
Điều kiện: x ≠ kπ
Ta có: tanx+ 3cotx = 4
Chọn C.
Câu 3: Phương trình: 
có mấy họ nghiệm:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm.
Chọn C.
Câu 4: Phương trình 2√ 2 (sinx + cosx).cosx = 3 + cos2x có nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D. Vô nghiệm.
(vì cosx = 0 không là nghiệm của phương trình nên ta chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x)
Phương trình vô nghiệm.
Chọn D.
Câu 5: Giải phương trình: 
A. 
B. 
C. 
D. 
Chọn A.
Câu 6: Phương trình: 
có các nghiệm là
A. 
B. 
C. 
D. 
Chọn C
Câu 7: Phương trình cos2x + sin2 x+ 2cosx + 1 = 0 có nghiệm là
A. 
B. π + k2π
C. 
D. 
Chọn B
Ta có: cos2x + sin2 x+ 2cosx + 1= 0
⇒ 2 cos2 x- 1+ 1- cos2 x+ 2cosx+1= 0
⇒ cos2x + 2cosx+1 =0 ⇒ cosx=-1 ⇒ x= π +k2π, k nguyên.
Câu 8: Phương trình: 
có nghiệm là:
A. k2π, k nguyên.
B. k3π, k nguyên.
C. k4π, k nguyên.
D. π /4 + kπ, k nguyên.
Chọn D.
Câu 9: Giải phương trình sin3x + cos2x = 1 + 2sinx. cos2x
A. 
B.
C. 
D. Đáp án khác
Chọn B.
Phương trình sin3x+ cos2x = 1+ 2sinx. cos2x
⇒ sin3x +cos2x = 1+ sin3x + sin (-x)
⇒ cos2x–1-sin (-x) = 0
⇒ 1- 2sin2 x- 1 + sinx= 0
Câu 10: Số họ nghiệm của phương trình cos5x + cos2x + 2sin3x. sin2x = 0 là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Ta có: cos5x+ cos2x + 2sin3x. sin2x= 0
⇒ cos 5x+ cos 2x – cos 5x+ cosx= 0
⇒ cos2x + cosx= 0
⇒ 2cos2 x- 1+ cosx= 0
Vậy phương trình đã cho có 3 họ nghiệm.
Chọn C
Câu 11: Tìm nghiệm của phương trình: 
A. 
B. 
C.
D. Đáp án khác
Chọn A
Câu 12: Nghiệm phương trình: 
là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Chọn D.
Câu 13: Cho phương trình cos5x. cosx = cos4x. cos2x + 3cos2 x + 1. Các nghiệm thuộc khoảng của phương trình là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Ta có: cos 5x. cosx= cos4x. cos2x + 3cos2 x+ 1
Vậy các nghiệm thuộc khoảng (-π; π) của phương trình là x= -π /2; x= π /2
Chọn D
Câu 14: Phương trình: 
có nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Chọn B.
Câu 15: Phương trình: 
có nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Chọn B.
