Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
+ Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1; công bội q. Khi đó, số hạng thứ k của cấp số nhân là: uk = u1. qk − 1
+ Với n > m ta có: un = um. qn-m
+ Với a ≠ 1 ta có:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 2 và u7 = 128. Tìm q.
A. q = 2
B. q = - 2
C. q = ± 3
D. q = ± 2
Bài giải:
Ta có:
Vậy q = 2 hoặc q = − 2
Đáp án đúng là: D.
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3; q = 5. Viết 3 số hạng tiếp theo.
A. 15,95,275
B. 15,75,375
C. 75,375,1975
D. Đáp án khác
Bài giải:
Ta có:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 3](/images/sgk/2/2/a42-2.jpg)
Chọn B.
Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (un) với u4 = 108 và u2 = 3. Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q > 0?
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 4](/images/sgk/2/3/a42-2.jpg)
Bài giải:
Ta có:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 5](/images/sgk/2/4/a42-2.jpg)
Khi đó;
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 6](/images/sgk/2/5/a42-2.jpg)
=> Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (un) với u4 = 108 và u2 = 3. Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q > 0?
Bài giải:
Ta có:
Khi đó:
=> Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 4: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3 và u8 = 384. Hỏi 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 8](/images/sgk/2/7/a42-2.jpg)
Bài giải:
Ta có: u8 = u1. q7 nên
Suy ra: Số hạng tổng quát của cấp số nhân là; un = 3.2n-1.
Ta có:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 10](/images/sgk/2/9/a42-2.jpg)
Vậy 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 5: Cho cấp số nhân (un) với . Số 222 là số hạng thứ mấy của (un)?
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 12](/images/sgk/2/11/a42-2.jpg)
Bài giải:
Số hạng tổng quát của dãy số đã cho là:
Xét phương trình:
=> Không có giá trị nào của n thỏa mãn.
Vậy 222 không là số hạng của cấp số đã cho.
Đáp án đúng là: D.
Ví dụ 6: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: . Số hạng đầu tiên có dạng
trong đó a và b nguyên tố. Tính a+ b?
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 17](/images/sgk/2/16/a42-2.jpg)
Bài giải:
Theo giả thiết ta có:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 18](/images/sgk/2/17/a42-2.jpg)
Từ (1) và (2) vế chia vế (chú ý u1 ≠ 0) ta được:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 19](/images/sgk/2/18/a42-2.jpg)
Thay vào (1) suy ra:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 20](/images/sgk/2/19/a42-2.jpg)
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 7: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u1 biết
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 21](/images/sgk/2/20/a42-2.jpg)
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 22](/images/sgk/2/21/a42-2.jpg)
Bài giải:
Ta có:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 23](/images/sgk/2/22/a42-2.jpg)
Từ (1) và (2) lấy vế chia vế ta được:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 24](/images/sgk/2/23/a42-2.jpg)
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 25](/images/sgk/2/24/a42-2.jpg)
Thay vào (1) ta tìm được u1 = 1 hoặc u1 = 8.
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 8: Cho (un) là cấp số nhân thỏa mãn: . Tìm u1 và q?
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 27](/images/sgk/2/26/a42-2.jpg)
Bài giải:
Theo giả thiết ta có:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 28](/images/sgk/2/27/a42-2.jpg)
Lấy (1) chia (2) vế chia vế ta được:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 29](/images/sgk/2/28/a42-2.jpg)
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 30](/images/sgk/2/29/a42-2.jpg)
Đặt: . Điều kiện |t| ≥ 2
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 32](/images/sgk/2/31/a42-2.jpg)
Với:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 34](/images/sgk/2/33/a42-2.jpg)
Nếu:
Nếu:
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 9: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 38](/images/sgk/2/37/a42-2.jpg)
Bài giải:
Theo giả thiết ta có:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 39](/images/sgk/2/38/a42-2.jpg)
Từ (1) và u1 q ≠ 0 suy ra:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 40](/images/sgk/2/39/a42-2.jpg)
Từ (2) suy ra:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 41](/images/sgk/2/40/a42-2.jpg)
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 10: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: . Tìm công sai của cấp số nhân đã cho?
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 43](/images/sgk/2/42/a42-2.jpg)
Bài giải:
Theo giả thiết ta có:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 44](/images/sgk/2/43/a42-2.jpg)
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 45](/images/sgk/2/44/a42-2.jpg)
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 11: Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Tính tổng bốn số đó?
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 46](/images/sgk/2/45/a42-2.jpg)
Bài giải:
Nếu giữa các số 160 và 5 ta chèn vào 4 số nữa để tạo thành cấp số nhân. Khi đó, ta được cấp số nhân có số hạng đầu là u1 = 160 và số hạng thứ 6 là u6 = 5.
Suy ra:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 47](/images/sgk/2/46/a42-2.jpg)
=> 4 số hạng ta cần thêm vào là: u2 = 80; u3 = 40; u4 = 20 và u5 = 10.
Suy ra tổng bốn số cần tìm là: 80 + 40 + 20 + 10= 150.
Đáp án đúng là: C.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho dãy số (un) xác định bởi . Chọn mệnh đề đúng:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 49](/images/sgk/2/48/a42-2.jpg)
Đáp án: B
+ Ta có:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 50](/images/sgk/2/49/a42-2.jpg)
=> (un) là cấp số nhân có công bội
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 51](/images/sgk/2/50/a42-2.jpg)
+ Dãy số (un) có số hạng tổng quát là:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 52](/images/sgk/2/51/a42-2.jpg)
+Theo tính chất của cấp số nhân ta có:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 53](/images/sgk/2/52/a42-2.jpg)
=> B đúng
Câu 2: Cho (un) là cấp số nhân thỏa mãn: u2 = 4 và u3 = 8. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 54](/images/sgk/2/53/a42-2.jpg)
Đáp án: A
Theo tính chất của cấp số nhân ta có:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 55](/images/sgk/2/54/a42-2.jpg)
Câu 3: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: . Tìm số hạng thứ 6 của cấp số nhân.
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 57](/images/sgk/2/56/a42-2.jpg)
Đáp án: A
Theo đầu bài ta có:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 58](/images/sgk/2/57/a42-2.jpg)
Từ (1) và (2) vế chia vế ta được (u1 ≠ 0)
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 59](/images/sgk/2/58/a42-2.jpg)
Số hạng thứ 6 của cấp số nhân là: u6 = u1. q5 = 3.25 = 96
Câu 4: Giữa các số 243 và 1 ta viết thêm 4 số nữa để tạo thành cấp số nhân. Tính tổng của 4 số đó?
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 60](/images/sgk/2/59/a42-2.jpg)
Đáp án: B
Nếu ta viết thêm 4 số nữa vào giữa hai số 243 và 1 thì ta được cấp số nhân có 6 số hạng trong đó số hạng đầu tiên là: u1 = 243 và số hạng thứ 6 là u6 = 1.
Suy ra:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 61](/images/sgk/2/60/a42-2.jpg)
Do đó; u2 = 81; u3 = 27; u4 = 9 và u5 = 3.
Tổng bốn số cần tìm là: 81+ 27+ 9+ 3= 120.
Câu 5: Cho 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216. Tìm công bội q của cấp số nhân?
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 62](/images/sgk/2/61/a42-2.jpg)
Đáp án: A
Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân là u1; u2; u3 với công bội là q. Theo đề bài ta có hệ phương trình:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 63](/images/sgk/2/62/a42-2.jpg)
Thay
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 64](/images/sgk/2/63/a42-2.jpg)
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 65](/images/sgk/2/64/a42-2.jpg)
Với
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 66](/images/sgk/2/65/a42-2.jpg)
Với
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 67](/images/sgk/2/66/a42-2.jpg)
Câu 6: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm công bội biết:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 68](/images/sgk/2/67/a42-2.jpg)
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 69](/images/sgk/2/68/a42-2.jpg)
Đáp án: A
Ta có:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 70](/images/sgk/2/69/a42-2.jpg)
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 71](/images/sgk/2/70/a42-2.jpg)
Từ (1) và (2) vế chia vế ta được:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 72](/images/sgk/2/71/a42-2.jpg)
Câu 7: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn . Trên khoảng
có bao nhiêu số hạng của cấp số.
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 75](/images/sgk/2/74/a42-2.jpg)
Đáp án: B
* Trước tiên; ta đi tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.
Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó từ giả thiết ta có:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 76](/images/sgk/2/75/a42-2.jpg)
Từ (1) và (2) chia vế ta được:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 77](/images/sgk/2/76/a42-2.jpg)
+ Với
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 78](/images/sgk/2/77/a42-2.jpg)
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 79](/images/sgk/2/78/a42-2.jpg)
Để số hạng thứ n thuộc khoảng
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 80](/images/sgk/2/79/a42-2.jpg)
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 81](/images/sgk/2/80/a42-2.jpg)
⇔ n= 3 nên có 1 số hạng của dãy thỏa mãn.
+ Với
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 82](/images/sgk/2/81/a42-2.jpg)
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 83](/images/sgk/2/82/a42-2.jpg)
Để số hạng thứ n thuộc khoảng thì:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 84](/images/sgk/2/83/a42-2.jpg)
⇔ n= 3 nên có một số hạng của dãy thỏa mãn.
Như vậy trong cả 2 trường hợp chỉ có 1 số hạng của dãy thỏa mãn.
Câu 8: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn biết ui > 0. Tính công bội q?
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 86](/images/sgk/2/85/a42-2.jpg)
Đáp án: B
Theo giả thiết ta có:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 87](/images/sgk/2/86/a42-2.jpg)
Từ (2)
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 88](/images/sgk/2/87/a42-2.jpg)
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 89](/images/sgk/2/88/a42-2.jpg)
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 90](/images/sgk/2/89/a42-2.jpg)
Với q = 2 thì
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 91](/images/sgk/2/90/a42-2.jpg)
Với
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 92](/images/sgk/2/91/a42-2.jpg)
Câu 9: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 94](/images/sgk/2/93/a42-2.jpg)
Đáp án: A
Ta có:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 95](/images/sgk/2/94/a42-2.jpg)
Lấy (2) chia (1) vế chia vế ta được:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 96](/images/sgk/2/95/a42-2.jpg)
+ Với q = 2 thay vào (2) ta được u1 = 5.
+ Với q = − 2 thay vào (2) ta được u1 = 5.
Như vậy; trong cả hai trường hợp ta có: u1 = 5.
Câu 10: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 98](/images/sgk/2/97/a42-2.jpg)
Đáp án: C
Theo giả thiết ta có:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 99](/images/sgk/2/98/a42-2.jpg)
Lấy (1) chia (2) vế chia vế ta được:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 100](/images/sgk/2/99/a42-2.jpg)
Chia cả hai vế của phương trình trên cho q2 ≠ 0 ta được:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 101](/images/sgk/2/100/a42-2.jpg)
Đặt
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 102](/images/sgk/2/101/a42-2.jpg)
Khi đó phương trình (*) trở thành:
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 103](/images/sgk/2/102/a42-2.jpg)
Với
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 104](/images/sgk/2/103/a42-2.jpg)
với
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 105](/images/sgk/2/104/a42-2.jpg)
với
![Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 106](/images/sgk/2/105/a42-2.jpg)
Vậy số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 5 hoặc 160.