Trang chủ > Lớp 11 > Chuyên đề Toán 11 (có đáp án) > Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay - Chuyên đề Toán 11

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

+ Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1; công bội q. Khi đó, số hạng thứ k của cấp số nhân là: uk = u1. qk − 1

+ Với n > m ta có: un = um. qn-m

+ Với a ≠ 1 ta có: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 1

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 2 và u7 = 128. Tìm q.

A. q = 2

B. q = - 2

C. q = ± 3

D. q = ± 2

Bài giải:

Ta có: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 2

Vậy q = 2 hoặc q = − 2

Đáp án đúng là: D.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3; q = 5. Viết 3 số hạng tiếp theo.

A. 15,95,275

B. 15,75,375

C. 75,375,1975

D. Đáp án khác

Bài giải:

Ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 3

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (un) với u4 = 108 và u2 = 3. Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q > 0?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 4

Bài giải:

Ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 5

Khi đó;

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 6

=> Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 7

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (un) với u4 = 108 và u2 = 3. Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q > 0?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Bài giải:

Ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Khi đó: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

=> Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 4: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3 và u8 = 384. Hỏi 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 8

Bài giải:

Ta có: u8 = u1. q7 nên Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 9

Suy ra: Số hạng tổng quát của cấp số nhân là; un = 3.2n-1.

Ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 10

Vậy 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 5: Cho cấp số nhân (un) với Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 11. Số 222 là số hạng thứ mấy của (un)?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 12

Bài giải:

Số hạng tổng quát của dãy số đã cho là: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 13

Xét phương trình: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 14

=> Không có giá trị nào của n thỏa mãn.

Vậy 222 không là số hạng của cấp số đã cho.

Đáp án đúng là: D.

Ví dụ 6: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 15. Số hạng đầu tiên có dạng Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 16 trong đó a và b nguyên tố. Tính a+ b?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 17

Bài giải:

Theo giả thiết ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 18

Từ (1) và (2) vế chia vế (chú ý u1 ≠ 0) ta được:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 19

Thay vào (1) suy ra:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 20

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 7: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u1 biết

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 21
Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 22

Bài giải:

Ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 23

Từ (1) và (2) lấy vế chia vế ta được:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 24
Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 25

Thay vào (1) ta tìm được u1 = 1 hoặc u1 = 8.

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 8: Cho (un) là cấp số nhân thỏa mãn: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 26. Tìm u1 và q?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 27

Bài giải:

Theo giả thiết ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 28

Lấy (1) chia (2) vế chia vế ta được:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 29
Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 30

Đặt: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 31. Điều kiện |t| ≥ 2

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 32

Với: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 33

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 34

Nếu: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 35

Nếu: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 36

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 9: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 37. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 38

Bài giải:

Theo giả thiết ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 39

Từ (1) và u1 q ≠ 0 suy ra:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 40

Từ (2) suy ra:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 41

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 10: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 42. Tìm công sai của cấp số nhân đã cho?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 43

Bài giải:

Theo giả thiết ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 44
Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 45

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 11: Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Tính tổng bốn số đó?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 46

Bài giải:

Nếu giữa các số 160 và 5 ta chèn vào 4 số nữa để tạo thành cấp số nhân. Khi đó, ta được cấp số nhân có số hạng đầu là u1 = 160 và số hạng thứ 6 là u6 = 5.

Suy ra:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 47

=> 4 số hạng ta cần thêm vào là: u2 = 80; u3 = 40; u4 = 20 và u5 = 10.

Suy ra tổng bốn số cần tìm là: 80 + 40 + 20 + 10= 150.

Đáp án đúng là: C.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho dãy số (un) xác định bởi Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 48. Chọn mệnh đề đúng:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 49

Đáp án: B

+ Ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 50
không đổi

=> (un) là cấp số nhân có công bội

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 51
.

+ Dãy số (un) có số hạng tổng quát là:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 52

+Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 53

=> B đúng

Câu 2: Cho (un) là cấp số nhân thỏa mãn: u2 = 4 và u3 = 8. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 54

Đáp án: A

Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 55

Câu 3: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 56. Tìm số hạng thứ 6 của cấp số nhân.

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 57

Đáp án: A

Theo đầu bài ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 58

Từ (1) và (2) vế chia vế ta được (u1 ≠ 0)

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 59

Số hạng thứ 6 của cấp số nhân là: u6 = u1. q5 = 3.25 = 96

Câu 4: Giữa các số 243 và 1 ta viết thêm 4 số nữa để tạo thành cấp số nhân. Tính tổng của 4 số đó?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 60

Đáp án: B

Nếu ta viết thêm 4 số nữa vào giữa hai số 243 và 1 thì ta được cấp số nhân có 6 số hạng trong đó số hạng đầu tiên là: u1 = 243 và số hạng thứ 6 là u6 = 1.

Suy ra:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 61

Do đó; u2 = 81; u3 = 27; u4 = 9 và u5 = 3.

Tổng bốn số cần tìm là: 81+ 27+ 9+ 3= 120.

Câu 5: Cho 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216. Tìm công bội q của cấp số nhân?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 62

Đáp án: A

Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân là u1; u2; u3 với công bội là q. Theo đề bài ta có hệ phương trình:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 63

Thay

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 64
vào (*) được:
Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 65

Với

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 66

Với

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 67

Câu 6: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm công bội biết:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 68
Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 69

Đáp án: A

Ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 70
Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 71

Từ (1) và (2) vế chia vế ta được:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 72

Câu 7: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 73. Trên khoảng Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 74 có bao nhiêu số hạng của cấp số.

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 75

Đáp án: B

* Trước tiên; ta đi tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.

Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó từ giả thiết ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 76

Từ (1) và (2) chia vế ta được:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 77

+ Với

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 78
. Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:
Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 79

Để số hạng thứ n thuộc khoảng

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 80
thì:
Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 81

⇔ n= 3 nên có 1 số hạng của dãy thỏa mãn.

+ Với

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 82
. Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:
Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 83

Để số hạng thứ n thuộc khoảng thì:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 84

⇔ n= 3 nên có một số hạng của dãy thỏa mãn.

Như vậy trong cả 2 trường hợp chỉ có 1 số hạng của dãy thỏa mãn.

Câu 8: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 85 biết ui > 0. Tính công bội q?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 86

Đáp án: B

Theo giả thiết ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 87

Từ (2)

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 88
(vì ui > 0)
Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 89
thay vào (1) ta được:
Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 90

Với q = 2 thì

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 91

Với

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 92
thì u1 = 20.

Câu 9: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 93. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 94

Đáp án: A

Ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 95

Lấy (2) chia (1) vế chia vế ta được:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 96

+ Với q = 2 thay vào (2) ta được u1 = 5.

+ Với q = − 2 thay vào (2) ta được u1 = 5.

Như vậy; trong cả hai trường hợp ta có: u1 = 5.

Câu 10: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 97. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 98

Đáp án: C

Theo giả thiết ta có:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 99

Lấy (1) chia (2) vế chia vế ta được:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 100

Chia cả hai vế của phương trình trên cho q2 ≠ 0 ta được:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 101

Đặt

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 102
. Điều kiện: |t| ≥ 2.

Khi đó phương trình (*) trở thành:

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 103

Với

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 104

với

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 105

với

Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay ảnh 106

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 5 hoặc 160.