Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
* Tính chất của cấp số cộng: Cho (un) là cấp số cộng thì ta có
* Nếu 3 số a; b; c lập thành cấp số cộng thì c − b = b − a.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
Bài giải:
Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:
Đáp án đúng là: B
Ví dụ 2: Cho 3 số a; b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
Bài giải:
Ta có 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 3: Cho 3 số a; b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng?
Bài giải:
Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:
Đáp án đúng là: B
Ví dụ 4: Cho ba số a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Đẳng thức nào sau đây sai?
Bài giải:
Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên: a + c= 2b ⇔ a = 2 b - c
Ta có:
Vậy a2 − 2ab = c2 − 2bc; a2 − 2ab = − ac và − ac = c2 − 2bc
Đáp án sai là: D.
Ví dụ 5: Cho a, b và c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm đẳng thức đúng?
Bài giải:
+ Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên: a + c = 2b ⇔ a = 2b – c
+ Khi đó;
Đẳng thức đúng là: C.
Ví dụ 6: Cho ba số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Ba số nào sau đây cũng lập thành cấp số cộng.
Bài giải:
Ta chứng minh ba số: a2 + ab + b2; a2 + ac + c2; b2 + bc + c2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Thật vậy;
=> ba số: a2 + ab + b2; a2 + ac + c2; b2 + bc + c2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có cot 
theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tìm hệ thức đúng về mối liên hệ giữa ba cạnh a, b và c?
Bài giải:
Do 
theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:
Áp dụng định lí sin trong tam giác suy ra: 
=> Ba cạnh của tam giác ABC tạo thành cấp số cộng.
Đáp án đúng là: D.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho a, b và c là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Hỏi ba số nào sau đây cũng là cấp số cộng.
Đáp án: B
Khi a, b và c là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng ta chứng minh ba số:
a2 − bc; b2 − ac; c2 − ab cũng là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng.
+ Vì a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên: a + c = 2b.
Ta chứng minh:
a2 – bc + c2 – ab = 2 (b2 – ac)
⇔ a2 + c2 – b (a+ c)= 2b2 – 2ac
⇔ a2 + c2 – b. 2b= 2b2 – 2ac (vì a+c= 2b)
⇔ a2 +c2 + 2ac= 2b2 + 2b2
⇔ (a+ c)2 =4b2 2 ⇔ 4b2 = 4b2 (đúng) => điều phải chứng minh.
Câu 2: Cho ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Đáp án: B
Do a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có: 2b = a+ c.
=> 3b = a+ b+ c
Ta chứng minh phương án B đúng.
+ Ta có:
9 [a2 (b+c)+ b2 (a+ c)+ c2 (a+ b)]
= 9 [a2(3b –a) + 2b3 + (2b –a)2 (a+b)]
= 9 [3a2b - a3 + 2b3 + (4b2 – 4ab + a2). (a+ b)]
= 9 (3a2b – a3 +2b3+4ab2+4b3 – 4a2b – 4ab2 + a3+ a2b)= 54b3 (1).
+ Lại có:
Từ (1) và (2) suy ra:
Câu 3: Cho bốn số x, y, z và t theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Hỏi đẳng thức nào sau đây là đúng?
Đáp án: A
*Do bốn số x, y, z và t theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai nên ta có:
Câu 4: Cho ba số x + 1; y + 3 và z - 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tìm mệnh đề đúng?
Đáp án: C
Do x + 1; y + 3 và z - 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai d nên:
Câu 5: Cho ba số x- 1; y+ 1 và z theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tìm mệnh đề đúng?
Đáp án: C
Do x-1; y+1 và z theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:
Câu 6: Cho các số a2, b2 và c2 lập thành một cấp số cộng có công sai d khác không. Ba số nào sau đây cũng lập thành cấp số cộng.
Đáp án: D
Do ba số a2, b2 và c2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:
a2 + c2 = 2b2
Ta sẽ chứng minh ba số
+ Ta có:
Vậy ba số
Câu 7: Cho ba số a, b và c dương theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Ba số nào sau đây cũng lập thành cấp số cộng.
Đáp án: C
* Vì a, b, c lập thành cấp số cộng nên ta có a + c= 2b.
Ta chứng minh ba số
Tức là ta đi chứng minh:
* Ta có: a + c = 2b ⇔ a – b = b – c
⇔ (√ a- √ b). (√ a+ √ b)= (√ b- √ c). (√ b+ √ c)
Câu 8: Cho tam giác ABC có tan
Đáp án: D
Ta có
=> cosA; cosB; cosC theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
Chọn D.