Dạng 4: Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx là phương trình có dạng f (sinx, cosx) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Phương pháp giải:

+) Xét cosx = 0 xem có là nghiệm của phương trình không?

+) Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos^kx (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tanx.

+) Giải và kết hợp nghiệm của cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình đã cho.

Hoàn toàn tương tự ta có thể làm như trên đối với sinx.

Ví dụ minh họa

Bài 1: 3sin²x + 8sinx. cosx + (8√ 3 - 9) cos²x = 0 (1)

+) Xét cos⁡x = 0

⇒ sin²x = 1. Ta có (1) ⇔ 3=0 (vô lý)

+) Xét cos⁡x≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos²x. Ta được:

Bài 2: sin³x + 2sinx. cos²x + 3cos³x = 0 (2)

+) Xét cos⁡x = 0. PT (2) ⇔ sin⁡x = 0 (vô lí do sin²x + cos²x = 1)

+) Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos³x. Ta được:

(2) ⇔ tan³⁡x + 2 tan⁡x + 3 = 0

⇔ x = -π /4 + kπ (k ∈ Z)

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình sin² x - (√ 3 + 1) sinxcosx + √ 3 cos² x = 0

Bài giải:

sin²⁡x - (√ 3+1) sin⁡x cos⁡x + √ 3 cos²⁡x = 0 (1)

+) Xét cos⁡x = 0 => (1) ⇔ sin²⁡x = 0 → vô lý

+ Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos²⁡x. Ta được:

(1) ⇔ tan²⁡x - (√ 3+1) tan⁡x + √ 3 = 0

Bài 2: Giải phương trình: 2 cos²x – 3sinxcosx + sin²x = 0 (1)

Bài giải:

+ Xét cos⁡x = 0. Ta có sin²⁡x = 0 → vô lý

+ Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos²⁡x. Ta được:

(1) ⇔ 2 - 3 tan⁡x + tan²⁡x = 0

Bài 3: Giải phương trình: 3cos⁴x – 4cos²x sin²x + sin⁴x = 0 (1)

Bài giải:

+) Xét cos⁡x = 0 => Ta có: sin⁴x = 0 (vô lý)

+) Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos⁴x. Ta được:

(1) ⇔ 3 - 4 tan²⁡x + tan⁴x = 0

Bài 4: Tìm m để phương trình (m + 1)sin²x – sin2x + 2cos²x = 0 có nghiệm.

Bài giải:

+) Xét cos⁡x = 0. Ta có: (m+1)sin²⁡x = 0 ⇔ m = -1

+) Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos²⁡x.

Ta được: (m + 1) tan²⁡x - 2 tan⁡x + 2 = 0

Δ' = 1 - 2m - 2 = -2m - 1

Để phương trình có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ - 2m-1 ≥ 0 ⇔ m ≤ -1/2

Vậy với m ≤ -1/2 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Bài 5: Tìm điều kiện để phương trình: a. sin²x + a. sinxcosx + b. cos²x = 0 với a ≠ 0 có nghiệm.

Bài giải:

+) Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos²⁡x.

Ta được: a tan²⁡x + atan⁡x + b = 0

Δ = a² - 4ab

Để phương trình có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ a² - 4ab ≥ 0 ⇔ a-4b ≥ 0 ⇔ a ≥ 4b