Tính chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
+ Hàm số y= f (x) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có x+T ∈ D; x-T ∈ D và f (x+T)=f (x).
Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được goi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T.
+ Cách tìm chu kì của hàm số lượng giác (nếu có):
Hàm số y = k. sin (ax+b) có chu kì là T= 2π/|a|
Hàm số y= k. cos (ax+ b) có chu kì là T= 2π/|a|
Hàm số y= k. tan (ax+ b) có chu kì là T= π/|a|
Hàm số y= k. cot (ax+ b) có chu kì là: T= π/|a|
Hàm số y= f (x) có chu kì T1; hàm số T2 có chu kì T2 thì chu kì của hàm số y= a. f (x)+ b. g (x) là T = bội chung nhỏ nhất của T1 và T2
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A. y = sin x
B. y = x+ 1
C. y = x2.
D. y = (x-1)/ (x+2).
Bài giải:
Đáp án đúng là: A
Tập xác định của hàm số: D= R
Với mọi x ∈ D, k ∈ Z ta có x-2kπ ∈ D và x+2kπ ∈ D, sin (x+2kπ)=sinx.
Vậy y=sinx là hàm số tuần hoàn.
Ví dụ 2: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A. y= sinx- x
B. y= cosx
C. y= x. sin x
D. y= (x2+1)/x
Bài giải:
Đáp án đúng là: B
Giải thích:
Tập xác định của hàm số: D=R.
mọi x ∈ D, k ∈ Z ta có x-2kπ ∈ D và x+2kπ ∈ D, cos (x+2kπ)=cosx.
Vậy y= cosx là hàm số tuần hoàn.
Ví dụ 3: Chu kỳ của hàm số y= cosx là:
A. 2kπ
B. 2π/3
C. π
D. 2π
Bài giải:
Đáp án đúng là: D
Giải thích:
Tập xác định của hàm số: D= R
Với mọi x ∈ D; k ∈ Z, ta có x-2kπ ∈ D và x+2kπ ∈ D thỏa mãn: cos (x+k2π)=cosx
Vậy y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì (ứng với k= 1) là số dương nhỏ nhất thỏa mãn cos (x+k2π)=cosx
Ví dụ 4: Chu kỳ của hàm số y= tanx là:
A. 2π
B. π/4
C. kπ, k ∈ Z
D. π
Bài giải:
Đáp án đúng là: D
Giải thích:
Tập xác định của hàm số: D= R\ {π/2+kπ, k ∈ Z}
Với mọi x ∈ D; k ∈ Z ta có x-kπ ∈ D; x+kπ ∈ D và tan (x+kπ)=tanx
Vậy là hàm số tuần hoàn với chu kì π (ứng với k= 1) là số dương nhỏ nhất thỏa mãn tan (x+kπ)=tanx
Ví dụ 5. Hàm số y= 2tan (2x-100) có chu kì là?
A. T= π/4
B. T= π/2
C. 2π
D. π
Bài giải:
Đáp án đúng là B
Giải thích:
Hàm số y= k. tan (ax+ b) có chu kì là: T= π/|a|
Áp dụng: Hàm số y= 2tan (2x - 100) có chu kì là: T= π/2
Ví dụ 6. Hàm số y = - π. sin (4x-2998) là
A. T= π/2
B. T= π/4
C. 2π
D. π
Bài giải:
Đáp án đúng là: A
Giải thích:
Hàm số y= k. sin (ax+ b) có chu kì là: T= 2π/|a|.
Chu kì của hàm số: y = - π. sin (4x-2998) là: T= 2π/4= π/2
Ví dụ 7. Tìm chu kì của hàm số y= 10π cos (π/2-20 x)?
A. 20 π
B. 10π
C. π/20
D. π/10
Bài giải:
Đáp án đúng là: D
Giải thích:
Hàm số y= k. cos (ax+ b) có chu kì là: T= 2π/|a|.
Chu kì của hàm số: y = 20 π. cos (π/2-20 x) là: T= 2π/|-20| = π/10
Ví dụ 8. Tìm chu kì của hàm số y= (1)/2π cot (π/10+10 x)?
A. π
B. 10π
C. π/20
D. π/10
Bài giải:
Đáp án đúng là: D
Hàm số y= k. cot (ax+ b) có chu kì là: T= π/|a|.
Chu kì của hàm số: y = (1)/2π cot (π/10+10 x) là: T= π/|10| = π/10
Ví dụ 9. Tìm chu kì của hàm số y= 2sin2x+1
A. 1
B. 2π
C. π
D. 4π
Bài giải:
Đáp án đúng là: C
Giải thích:
Ta có: y= 2sin2x+1 = 1- cos2x +1= 2- cos2x
⇒ Chu kì của hàm số đã cho là: T= 2π/2= π
Ví dụ 10. Tìm chu kì của hàm số: y=sin (2x- π)+ 1/2 tan (x+ π)
A. π
B. 2π
C. π/2
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: A
Giải thích:
Hàm số y= f (x) = sin (2x- π) có chu kì T1= 2π/2= π.
Hàm số y= g (x)= 1/2 tan (x+ π) có chu kì T2= π/1= π
⇒ Chu kì của hàm số đã cho là: T= π.
Ví dụ 11. Tìm chu kì của hàm số y= 1/2 tan (x- π/2)+ 1/10 cot (x/2- π)
A. π
B. 2π
C. π/2
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: B
Giải thích:
Ta có: chu kì của hàm số y= f (x)= 1/2 tan (x- π/2) là T1= π/1= π
Chu kì của hàm số y=g (x)= 1/10 cot (x/2- π) là T2= π/ (1/2)= 2π
Suy ra chu kì của hàm số đã cho là: T=2π
Ví dụ 12. Tìm chu kì của hàm số y= 〖sin〗^2 x+cos (2x+ π/3)
A. π/2
B. 2π
C. 4π
D. π
Bài giải:
Đáp án đúng là: D
Giải thích:
Ta có: y= sin2 x+cos (2x+ π/3)= (1-cos2x)/2+cos (2x+ π/3)
chu kì của hàm số y= f (x)= (1-cos2x)/2 là T1= 2π/2= π
Chu kì của hàm số y= g (x)= cos (2x+ π/3) là T2= 2π/2=π
⇒ Chu kì của hàm số đã cho là: T= π
Ví dụ 13. Tìm chu kì của hàm số y= 2sin2x. sin4x
A. π/2
B. 2π
C. π
D. 4π
Bài giải:
Đáp án đúng là: C
Giải thích:
Ta có: y= 2. sin2x. sin4x = cos 6x+ cos2x
Chu kì của hàm số y = cos6x là T1= 2π/6= π/3
Chu kì của hàm số y= cos2x là T2= 2π/2= π
⇒ chu kì của hàm số đã cho là: T= π
Ví dụ 14. Tìm chu kì của hàm số y= sin3x + cos2x
A. 2π
B. π
C. 4π
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có y= sin3x + cos2x = 1/4 (3sinx-sin3x) + cos2x
Chu kì của hàm số y= 3/4 sinx là T1= 2π
Chu kì của hàm số y = (- 1)/4 sin3x là T2=2π/3
Chu kì của hàm số y= cos2 là T3= 2π/2= π
⇒ Chu kì của hàm số đã cho là: T= 2π
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A. y= x. cosx
B. y= x. tanx
C. y= tanx
D. y=1/x.
Chọn C
Xét hàm số y= tanx:
Tập xác định của hàm số: D=R\ {π/2+kπ, k ∈ Z}.
Với mọi x ∈ D, k ∈ Z ta có x-kπ ∈ D và x+kπ ∈ D, tan (x+kπ)=tanx.
Vậy y= tanx là hàm số tuần hoàn.
Câu 2: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A. y=sinx/x
B. y= tanx+ x
C. y=x2+1
D. y= cotx
Chọn D
Xét hàm số y= cotx:
Tập xác định: D=R\ {kπ, k ∈ Z}.
Với mọi x ∈ D, k ∈ Z ta có x-kπ ∈ D và x+kπ ∈ D, cot (x+kπ)=cotx
Vậy y= cot x là hàm tuần hoàn.
Câu 3: Chu kỳ của hàm số y= sinx là:
A. k2π, k ∈ Z
B. π/2
C. π
D. 2π
Chọn D
Tập xác định của hàm số: D=R\ {kπ, k ∈ Z}.
Với mọi x ∈ D; k ∈ Z ta có x-k2π ∈ D và x+k2π ∈ D; sin (x+k2π2)=sinx
Vậy y= sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π (ứng với k=1) là số dương nhỏ nhất thỏa mãn sin (x+k2π2)=sinx.
Câu 4: Chu kỳ của hàm số y= cot x là:
A. 2π
B. π/2
C. π
D. kπ, k ∈ Z.
Chọn C
Tập xác định của hàm số: D=R\ {kπ, k ∈ Z}.
Với mọi x ∈ D; k ∈ Z ta có x-kπ ∈ D và x+ kπ ∈ D; cot (x+kπ)=cotx.
Vậy y=cotx là hàm số tuần hoàn với chu kì π (ứng với k= 1) là số dương nhỏ nhất thỏa cot (x+kπ)=cotx.
Câu 5:Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A. y= sinx
B. y= x+ sinx
C. y= x. cosx
D. y=sinx/x.
Chọn A
Hàm số y= x+sinx không tuần hoàn. Thật vậy:
Tập xác định D=R.
Giả sử f (x+T)=f (x) với ∀ x ∈ D.
IMG_0
Điều này trái với định nghĩa là T > 0.
Vậy hàm số không phải là hàm số tuần hoàn.
+ Tương tự chứng minh cho các hàm số y= x. cosx và không tuần hoàn.
+ Hàm số y= sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T=2π
Câu 6:Tìm chu kì T của hàm số y= sin (π/10-5x).
A. T= 2π/5
B. T= 5π/2
C. T=π/2.
D. C. T=π/8.
Chọn A
Hàm số y= k. sin (ax+b) tuần hoàn với chu kì.
Áp dụng: Hàm số y= sin (π/10-5x) tuần hoàn với chu kì T= 2π/|- 5| = 2π/5.
Câu 7:Tìm chu kì T của hàm số y=cos (x/2+2198π).
A. T= 4π
B. T=2π
C. T= π/2
D. π.
Chọn A
Hàm số y= cos (ax+ b) tuần hoàn với chu kì.
Áp dụng: Hàm số y=cos (x/2+2198π) tuần hoàn với chu kì T= 2π/ (1/2)=4π.
Câu 8:Tìm chu kì T của hàm số y= 1/3 cos (50πx-50 π).
A. T= 1/25
B. T= 50
C. T= 25
D. T= 1/50
Chọn A
Hàm số y= 1/3 cos (50πx-50 π) tuần hoàn với chu kì T= 2π/ (50 π)= 1/25.
Câu 9:Tìm chu kì T của hàm số y=3tan (3π x+3π).
A. T=π/3.
B. T=4/3.
C. T=2π/3.
D. T=1/3.
Chọn D
Hàm số y= k. tan (ax+ b) tuần hoàn với chu kì T= π/|a|
Áp dụng: Hàm số y=3 tan (3π x+3π) tuần hoàn với chu kì T= π/3π= 1/3
Câu 10:Tìm chu kì T của hàm số y= tan x+ cot 3x.
A. T= 4π
B. T= π
C. T= 3π
D. T= π/3.
Chọn B
Hàm số y= cot (ax+b) tuần hoàn với chu kì T= π/|a|.
Áp dụng: Hàm số y= cot3x tuần hoàn với chu kì T1= π/3.
Hàm số y= tanx tuần hoàn với chu kì T2= π.
Suy ra hàm số y= tanx+cot3x tuần hoàn với chu kì T= π
Nhận xét: T là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.
Câu 11:Tìm chu kì T của hàm số: y= cos (2x/3+ π)+2cotx
A. T= 4π
B. T= π
C. T= 3π
D. T= π/3.
Chọn C
Hàm số y= cos (2x/3+ π) tuần hoàn với chu kì T1=2π/ (2/3)=3π.
Hàm số y= 2cot x tuần hoàn với chu kì T2= π.
Suy ra y= cos (2x/3+ π)+2cotx hàm số tuần hoàn với chu kì 3π.
Câu 12:Tìm chu kì T của hàm số y=sin (x/2)-tan (2x+π/4).
A. T= 4π
B. T= π
C. T= 3π
D. T= π/3.
Chọn A
Hàm số y=sin (x/2) tuần hoàn với chu kì T1=4π.
Hàm số y=-tan (2x+π/4) tuần hoàn với chu kì T2= π/2.
Suy ra hàm số y=sin (x/2)-tan (2x+π/4) tuần hoàn với chu kì T=4π.
Câu 13:Tìm chu kì T của hàm số y= 2cos2x + 4π.
A. T= 4π
B. T=2π
C. T= π
D. T= 2
Chọn C
Ta có y= 2cos2x + 4π = cos2x + 1+ 4π.
Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì T= π.
Câu 14:Hàm số nào sau đây có chu kì khác π?
A. y=sin (-2x+π/3)
B. y=cos2 (x+π/4)
C. y= tan (-2x+ 100).
D. y=cosx. sinx
Chọn C
Ta xét các phương án:
+ Phương án A. Chu kì của hàm số là T= 2π/|- 2| = π
+ Phương án B. Chu kì của hàm số là T= 2π/|2| = π
+ Phương án C: Hàm số có chu kì T= π/|-2| = π/2.
+ Phương án D. Ta có: y=cosx. sinx= 1/2. sin2x
Hàm số có chu kì là: T= 2π/|2| = π
Vậy hàm số y = tan (- 2x+ 100) có chu kì khác π.
Câu 15:Hàm số nào sau đây có chu kì khác 2π?
A. y= cos3x
B. sin (x/2)cos (x/2).
C. y= sin2 (x+ 2)
D. cos2(x/2+1).
Chọn C
+ Hàm số y= cos3x=1/4 (cos3x+3cosx)
Do y= cos 3x có chu kì T1 = 2π/3 và y= 3cosx có chu kì là T2 = 2π
⇒ hàm số y= cos3x có chu kì là 2π (là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2).
+Hàm số y=sin (x/2)cos (x/2)=1/2sinx có chu kì là T= 2π/1= 2π.
+ Hàm số y= sin2 (x+ 2)=1/2-1/2cos (2x+4) có chu kì là T= 2π/2 = π
+ Hàm số y=cos2(x/2+1)= 1/2+1/2cos (x+2) có chu kì là T= 2π.
Câu 16:Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau?
A. y= 2cosx và y= cot (x/2).
B. y= - 3sinx và y= tan2x
C. y= sin (x/2) và y= cos (x/2).
D. y= 2tan (2x -10) và y= cot (10- 2x)
Chọn B
+ Hai hàm số y= 2cosx và y= cot (x/2) có cùng chu kì là 2π.
+ Hai hàm số y= - 3sinx có chu kì là 2π, hàm số y= tan2x có chu kì là π/2.
+ Hai hàm số y= sin (x/2) và y= cos (x/2) có cùng chu kì là 4π.