Cách tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ k của cấp số cộng cực hay - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

+ Dãy số (u_n) là cấp số cộng khi và chỉ khi u_n+1 − u_n = d không phụ thuộc vào n và d là công sai.

+ Cho cấp số cộng có số hạng đầu là u₁; công sai d. Khi đó, số hạng thứ n của cấp số cộng là: u_n = u₁ + (n− 1)d

+ Nếu biết số hạng thứ n và thứ m của dãy ta suy ra:

Giải hệ phương trình trên ta tìm được u₁ và công sai d.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho một cấp số cộng có u₁ = − 1 và u₅ = 11. Tìm công sai của cấp số cộng?

A. d = 3

B. d = 5

C. d = 4

D. d = 2

Bài giải:

Ta có: u₅ = u₁ + (5 − 1)d

=> 11 = − 1 + 4d

⇔ d = 3

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 2: Cho một cấp số cộng có u₁ = 10; u₇ = − 8. Tìm công sai d?

A. d= − 2

B. d = − 3

C. d = 2

D. d = 3

Bài giải:

Ta có: u₇ = u₁ + (7− 1)d

=> − 8 = 10 + 6d

=> − 18 = 6d

=> d = − 3

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 3: Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 0,4 và công sai d = 1. Số hạng thứ 10 của cấp số cộng này là:

A. 1,6

B. 1,4

C. 10,4

D. 9,4

Bài giải:

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) là: u_n = u₁ + (n − 1) d

=> Số hạng thứ 10 của cấp số cộng là:

u₁₀ = 0,4 + (10 − 1). 1 = 9,4

Đáp án đúng là: D.

Ví dụ 4: Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = − 2 và công sai d = 3. Hỏi có bao nhiêu số hạng của cấp số thỏa mãn u_n < 11.

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Bài giải:

Cấp số cộng có u₁ = − 2 và công sai d = 3 nên số hạng tổng quát của cấp số cộng là:

u_n = u₁ + (n − 1). d = − 2 + 3 (n − 1) = 3n − 5

Để u_n < 11 thì 3n − 5 < 11

Mà n nguyên dương nên n ∈ {1,2,3,4,5}

Vậy có 5 số hạng của cấp số cộng thỏa mãn điều kiện

Chọn C.

Ví dụ 5: Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng. Tính tổng của ba số hạng xen giữa đó.

A. 36 B. 28 C. 32 D. 30

Bài giải:

Khi viết ba số xen giữa hai số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng thì:

u₁ = 2 và u₅ = 22.

+ Lại có: u₅ = u₁ + (5 − 1) d nên 22 = 2 + 4d

⇔ 20 = 4d ⇔ d= 5

+Suy ra: u₂ = u₁ + d = 2 + 5= 7

u₃ = u₁ + 2d = 2 + 2.5 = 12

Và u₄ = u₁ + 3d = 2 + 3.5 = 17

=> u₂ + u₃ +u₄ = 7 + 12 + 17 = 36

Chọn A.

Ví dụ 6: Cho dãy số (u_n) với u_n = 7 − 2n. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. 3 số hạng đầu của dãy u₁ = 5; u₂ = 3 và u₃ = 1.

B. Số hạng thứ n + 1 là u_n+1 = 8 − 2n.

C. Là cấp số cộng có d = − 2.

D. Số hạng thứ 4: u₄ = − 1.

Bài giải:

* Ta có:

=> đáp án A, D đúng.

*Số hạng thứ n+1 là: u_{n + 1} = 7 − 2 (n+1) = 5 − 2n

=> B sai.

* Xét hiệu: u_n+1 − u_n = (5− 2n) − (7 − 2n)= − 2

=> (u_n) là cấp số cộng với công sai d = − 2.

=> C đúng.

Ví dụ 7: Cho cấp số cộng (u_n) có u₃ = − 15 và u₁₄ = 18. Tìm u₁, d của cấp số cộng?

A. u₁ = − 21; d = 3 B. u₁ = − 20; d = 2

C. u₁ = − 21; d = − 3 D. u₁ = − 20; d = − 2

Bài giải:

Ta có:

Từ giả thiết suy ra:

Chọn A.

Ví dụ 8: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn:

. Tìm số hạng thứ 10 của cấp số.

A. 39 B. 27

C. 36 D. 42

Bài giải:

Theo giả thiết ta có:

=> Số hạng thứ 10 của cấp số cộng là:

u₁₀ = u₁ + 9d = 3 + 9.4 = 39

Chọn A.

Ví dụ 9: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn:

. Hỏi 301 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.

A. 99 B. 100

C. 101 D. 103

Bài giải:

Theo giả thiết ta có:

Ta có: 301 = 1 + (n − 1). 3 ⇔ 300 = 3 (n-1)

⇔ n − 1 = 100 ⇔ n = 101

Vậy 301 là số hạng thứ 101 của cấp số cộng.

Chọn C.

Ví dụ 10: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn

. Tìm số hạng thứ 6 của cấp số cộng?

A. 8 B. 10

C. 6 D. 12

Bài giải:

Theo giả thiết ta có:

Từ (1) suy ra: u₁ = 8 − 5d thay vào (2) ta được:

Với

Số hạng thứ 6 là:

Với d = 2 => u₁ = − 2

Số hạng thứ 6: u₆ = − 2 + 5.2 = 8

Chọn A.

Ví dụ 11: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn điều kiện:

. Tìm công sai của cấp số cộng đã cho.

A. d = ± 1 B. d = ± 2 C. d = ± 3 D. d = ± 4

Bài giải:

Theo đề bài ta có:

Từ (1) suy ra: u₁ + 2d = 4 ⇔ u₁ = 4 − 2d thế vào (2) ta được:

* Với d = 3 => u₁ = 4 − 6 = − 2

* Với d = − 3 => u₁ = 4 + 6 = 10

Chọn C.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho cấp số cộng (u_n) có u₄ = − 20; u₁₉ = 55. Tìm u₁, d của cấp số cộng?

A. u₁ = − 35; d = 5

B. u₁ = − 35; d = − 5

C. u₁ = 35; d = 5

D. u₁ = 35; d = − 5

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có:

Từ giả thiết suy ra:

Câu 2: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn:

. Tìm số hạng thứ 2 của cấp số cộng.

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Theo giả thiết ta có:

=> Số hạng thứ hai của cấp số cộng là:

u₂ = u₁ + d = 3 + 4 = 7

Câu 3: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn:

. Tìm số hạng thứ 20 của cấp số cộng.

A. 67

B. 75

C. 87

D. 91

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Theo giả thiết ta có:

Số hạng thứ 20 của cấp số cộng là: u₂₀ = u₁ + 19d = 87

Câu 4: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng − 9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29.

A. 0; − 3; − 6

B. − 2; − 3; − 4

C. − 1; − 2; − 3

D. − 3; − 2; − 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Gọi ba số hạng của cấp số cộng là a − 2d; a; a + 2d

Theo giả thiết ta có:

+ Nếu

thì ba số hạng cần tìm là: − 4; − 3; − 2.

+ Nếu

thì ba số hạng cần tìm là: − 2; − 3; − 4.

Câu 5: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn

. Tìm u₁; d biết u₁ > 0

A. u₁ = 3; d= 1

B. u₁ = 3; d = 2

C. u₁ = 2; d = 3

D. u₁ = 2; d = − 3

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Theo giả thiết

Vậy u₁ = 3 và d = 2.

Câu 6: Cho cấp số cộng (u_n) có công sai d > 0 và

. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

A. u_n = 3n − 9

B. u_n = 3n − 42

C. u_n = 3n − 67

D. u_n = 3n − 92

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ta có:

Từ (1) suy ra: u₃₁ = 11 − u₃₄ thế vào (2) ta được:

+ Mà công sai d > 0 nên u₃₄ > u₃₁

=> u₃₄ = 10 và u₃₁ = 1

Suy ra:

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là:

u_n = u₁ + (n-1)d= − 89 + 3 (n-1) = 3n - 92

Câu 7: Cho cấp số cộng (u_n) có u₂ + u₃ = 20; u₅ + u₇ = − 29. Tìm u₁; d?

A. u₁ = 20; d = 7

B. u₁ = 20; d = 7

C. u₁ = 20,5; d = − 7

D. u₁ = − 20,5; d= 7

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Áp dụng công thức u_n = u₁ + (n - 1)d ta có:

Câu 8: Tam giác ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C = 5A. Tính tổng số đo của góc có số đo lớn nhất và góc có số đo nhỏ nhất.

A. 140⁰

B. 120⁰

C. 135⁰

D. 150⁰

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Do số đo ba góc A; B; C theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên: A + C = 2B.

Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng 180⁰ nên: A + B + C = 180

Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình:

Suy ra; tổng số đo góc lớn nhất và góc nhỏ nhất là 120⁰

Câu 9: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn: . Tính tổng của số hạng đầu tiên và công sai d?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Theo giả thiết ta có:

Câu 10: Cho (u_n) là cấp số cộng, u₁; u₂; u₃ là 3 số hạng của cấp số cộng thỏa mãn:

A. 15

B. 20

C. 21

D. 18

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Gọi 3 số cần tìm là: u₁ = a − d; u₂ = a; u₃ = a + d

Theo giả thiết ta có:

Với d = 2 thì 3 số cần tìm là 1; 3; 5

Với d = − 2 thì 3 số cần tìm là 5; 3; 1.

Trong cả 2 trường hợp thì tích của 3 số đó là 15

Câu 11: Cho dãy số (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn:

Tính số hạng thứ 4 của cấp số cộng.

A. 3 hoặc − 1

B. 2 hoặc − 2.

C. 2 hoặc − 3

D. − 2 hoặc 1.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Theo giả thiết ta có:

Từ (1) suy ra: 2u₁ + 4d = 2 ⇔ u₁ + 2d = 1 ⇔ u₁ = 1 − 2d thay vào (2) ta được:

Đặt t= d² khi đó phương trình (*) trở thành:

+ Với t = 4 => d² = 4 ⇔ d = ± 2

* Với d = 2 => u₁ = − 3. Khi đó u₄ = u₁ + 3d = 3.

* Với d = − 2 => u₁ = 5. Khi đó u₄ = u₁ + 3d = − 1.

Vậy số hạng thứ 4 của cấp số cộng là 3 hoặc − 1.

Câu 12: Cho 2 cấp số cộng: 5; 8; 11; ..... và 3; 7; 11,.... Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số; có bao nhiêu số hạng chung?

A. 23

B. 24

C. 25

D. Tất cả sai

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giả sử u_n là số hạng thứ n của cấp số cộng thứ nhất: u_n = 5 + 3 (n − 1) và v_m = 3 + (m − 1). 4 là số hạng thứ m của cấp số cộng thứ 2.

u_n = v_m khi và chỉ khi:

Đặt

Vì m; n không lớn hơn 100 nên:

Kết hợp với t là số nguyên dương nên

Tương ứng với 25 giá trị của t ta được 25 số hạng chung của 2 dãy (u_n); (v_m).

Bài trước: Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11 Bài tiếp: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11