Tính đạo hàm tại 1 điểm - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Cho hàm số y = f (x). Tính đạo hàm của hàm số tại x = x0.
+ Bước 1. Tính đạo hàm của hàm số: y’ (x) =.....
+ Bước 2. Tính đạo hàm của hàm số tại x0: thay giá trị x = x0 vào y’ (x); suy ra y’ (x0).
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1.Cho hàm số y = x3 + 2x2 – 2x + 10. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1
A. 5 B. – 2 C. 7 D. 10
Bài giải:
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y' = 3x2 + 4x - 2
⇒ Đạo hàm của hàm số tại điểm x = 1 là y' (1) = 3.12 + 4.1 - 2 = 5
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = x2+ 2x- 81. Biết rằng đạo hàm của hàm số tại x = x0 bằng 4. Tìm x0?
A. – 2 B. – 1 C. 1 D. 2
Bài giải:
Đạo hàm của hàm số đã cho là; y' = 2x + 2
Theo giả thiết ta có: y' (x0) = 4 nên 2x0 + 2 = 4
⇔ 2x0 = 2
⇔ x0 = 1
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 3.Cho hàm số y = 16√x + 2x - x2. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 4.
A. – 1 B. – 2 C. 0 D. 2
Bài giải:
Tại các điểm x > 0 thì hàm số đã cho có đạo hàm và
y' = 8/√x + 2 - 2x
⇒ Đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 4 là: y' (4) = 8/√4 + 2 - 2.4 = -2
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 4. Cho hàm số y = (2 - 2x)/ (4x - 1). Hỏi tại giá trị x bằng bao nhiêu thì y' = -6?
Bài giải:
Điều kiện: x≠1/4
Với mọi x thỏa mãn điều kiện; ta có đạo hàm của hàm số là:
Ví dụ 5. Cho hàm số y = x3 + mx + 6. Xác định m biết: y' (-2) = 20?
A. m= 8 B. m= - 5 C. m= 6 D. m= - 10
Bài giải:
Đạo hàm của hàm số đã cho là: y' = 3x2 + m
⇒ y' (-2) = 12 + m
Theo giả thiết ta có: 12 + m = 20
⇒ m = 8
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 6. Cho hàm số y = (x2 + 2x - 1)/ (2x - 2). Tính đạo hàm của hàm số tại x = - 2
Bài giải:
Điều kiện: x≠1
Với mọi x≠1 hàm số có đạo hàm là:
Ví dụ 7. Cho hàm số y = √ (x2 + 4x + 88). Tính đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 2.
A. 1 B. 2/5 C. 1/5 D. 4/5
Bài giải:
Ta có: x2+ 4x+ 88= (x+ 2)2 + 84 > 0 với mọi x.
⇒ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm
Ví dụ 8. Cho hàm số y = √ (x2 - 3x + 2) + x3 - x2. Tính đạo hàm của hàm số đã cho tại: x = 3/2?
A. 1 B. 2 C. 4 D. Không tồn tại
Bài giải:
+ Điều kiện: x ≤ 1; x ≥ 2
+ Tại các điểm x thỏa mãn x2 - 3x + 2 > 0 thì hàm số có đạo hàm.
+ Điểm x = 3/2 không thỏa mãn điều kiện xác định nên hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.
Đáp án đúng là: D.
Ví dụ 9. Cho hàm số y = (2x + x2)2. Tính đạo hàm của hàm số tại x = - 1?
A. 0 B. 2 C. – 2 D. 4
Bài giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Đạo hàm của hàm số đã cho là:
y' = 2 (2x + x2) (2x + x2)' = 2 (2x + x2) (2 + 2x)
⇒ Đạo hàm của hàm số tại x = -1 là y’ (- 1) = 0.
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 10. Cho hàm số y = (1 + √x + x)2. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1?
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
Bài giải:
+ Với x > 0 thì hàm số đã cho có đạo hàm và
y'=2 (1+√x+x). (1+ √x+x)'
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 + 5x + 9. Tính đạo hàm của hàm số tại x = - 1
A. 5 B. – 2 C. 7 D. 10
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y'= 6x2 +6x + 5
⇒ Đạo hàm của hàm số tại điểm x=-1 là y' (-1)= 6. ( -1)2 + 6. (-1)+ 5= 5
Chọn A.
Câu 2: Cho hàm số y = 2x2+ 4x- 1. Biết rằng đạo hàm của hàm số tại x = x0 bằng 8. Tìm x0?
A. – 2 B. – 1 C. 1 D. 2
Đạo hàm của hàm số đã cho là; y'= 4x+ 4
Theo giả thiết ta có: y' (x0)=8 nên 4x0 + 4= 8
⇔ 4x0= 4 ⇔ x0 = 1
Chọn C.
Câu 3: Cho hàm số y = 8√ (x + 1) + 3x - x3. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 3.
A. – 12 B. – 18 C. 10 D. - 20
Tại các điểm x > - 1 thì hàm số đã cho có đạo hàm và
Câu 4: Cho hàm số y = (2x-6)/ (x-8). Hỏi tại giá trị x bằng bao nhiêu thì y'= (- 5)/3?
Điều kiện: x≠8
Với mọi x thỏa mãn điều kiện; ta có đạo hàm của hàm số là:
Câu 5: Cho hàm số y = 2x3 - (m + 1)x2 + x + 1. Xác định m biết y' (2) = 17?
A. m = 1 B. m = - 5 C. m = 6 D. m = - 1
Đạo hàm của hàm số đã cho là: y'= 6x2 –2 (m+1)x+ 1
⇒ y' (2)=21-4m
Theo giả thiết ta có: 21- 4m= 17 ⇔ 4m= 4 ⇔ m= 1
Chọn A.
Câu 6: Cho hàm số y= (x2+x-6)/ (x+3). Tính đạo hàm của hàm số tại x= - 2
A. (- 1)/4 B. 1 C. 3/6 D. 2
Điều kiện: x≠-3
Với mọi x≠-2 hàm số có đạo hàm là;
Câu 7: Cho hàm số y = √ (2x2 - 8x + 11). Tính đạo hàm của hàm số đã cho tại x = - 2.
Ta có: 2x2- 8x+ 11= 2 (x - 2)2 + 3 > 0 với mọi x.
⇒ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm.
Câu 8: Cho hàm số y= √ (2x2-x-1) + 3x3- 9x. Tính đạo hàm của hàm số đã cho tại x= 0?
A. 1 B. 2 C. 0 D. Không tồn tại
+ Điều kiện: x≤ (- 1)/2; x ≥ 1
+ Tại các điểm x thỏa mãn 2x2- x - 1 > 0 thì hàm số có đạo hàm.
+ Điểm x= 0 không thỏa mãn điều kiện xác định nên hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.
Chọn D.
Câu 9: Cho hàm số y= (3+x- 3x2)4. Tính đạo hàm của hàm số tại x= 1?
A. -18 B. -20 C. 24 D. 4
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Đạo hàm của hàm số đã cho là:
y'=4 (3+x- 3x2)3 (3+x-3x2)' = 4 (3+x-3x2) (1-6x)
⇒ Đạo hàm của hàm số tại x=1 là y’ (1) = -20.
Chọn B.
Câu 10: Cho hàm số y= (x3+ 2√x+x2-1)2. Tính đạo hàm của hàm số tại x= 1?
A. 24 B. 18 C. 36 D. 10
+ Với x > 0 thì hàm số đã cho có đạo hàm và
y'=2 (x3+2√x+x2-1). (x3+2√x+x2-1)'
y'=2 (x3+2√x+x2-1). (3x2+ 1/√x+2x)
⇒ Đạo hàm của hàm số tại x= 1 là:
y' (1)= 2 (1+2√1+1-1). (3.1+1+2.1)=36