Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

Để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất; bậc hai của một hàm số lượng giác trên khoảng; đoạn ta làm như sau:

+ Bước 1: Giải phương trình bậc nhất; bậc hai của một hàm số lương giác (chú ý có thể phải sử dụng các công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổ tổng thành tích; tích thành tổng để giải phương trình).

+ Bước 2: Xét họ nghiệm trên khoảng (a; b) để tìm các giá trị k nguyên thỏa mãn điều kiện.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình lượng giác 2sin2x – 3sinx +1 = 0 thỏa mãn điều kiện 0 ≤ x≤ π /2 là:

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: C

Hướng dẫn:

Ví dụ 2. Số nghiệm của phương trình sin² x- sinx= 0 trên khoảng (0; 2π) là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài giải:

Đáp án đúng là: B.

Hướng dẫn:

Ta có sin² x - sinx = 0

+ Với họ nghiệm x = kπ.

Ta có: 0 < kπ < 2π

⇒ 0 < k < 2

Mà k nguyên nên k = 1

+ Với họ nghiệm x = π/2 + k2π

Ta có: 0 < π/2 + k2π < 2π

⇒ - π/2 < k2π < 3π/2

⇒ (- 1)/4 < k < 3/4

Mà k nguyên nên k = 0

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng (0; 2π)

Ví dụ 3. Cho phương trình cos (x - 180⁰) + 2sin (90⁰- x) = 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (90⁰; 360⁰)

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Bài giải:

Đáp án đúng là: A.

Hướng dẫn:

Ta có: cos (x - 180⁰) = - cosx và sin (90⁰- x) = cosx

Do đó; cos (x - 180⁰) + 2sin (90⁰ – x)

⇒ - cosx + 2cosx = 1

⇒ cosx = 1

⇒ x = k. 360⁰

Với x ∈ (90⁰; 360⁰) ta có:

90⁰ < x < 360⁰

⇒ 90⁰ < k. 360⁰ < 360⁰

⇒ 1/4 < k < 1

⇒ Không có giá trị nguyên nào của k thỏa mãn

Ví dụ 4. Cho phương trình cosx – sin2x =0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 360⁰]

A. 4

B. 3

C. 5

D. 6

Bài giải:

Đáp án đúng là: A.

Hướng dẫn:

Ta có: cosx – sin2x = 0

⇒ cosx = sin 2x

⇒ cosx = cos (90⁰ - 2x)

+ Ta tìm các nghiệm của phương trình trên đoạn [0⁰; 360⁰]

* Với họ nghiệm: x = 30⁰ + k. 120⁰ ta có:

0⁰ ≤ 30⁰ + k. 120⁰ ≤ 360⁰

⇒ -30⁰ ≤ k. 120⁰ ≤ 330⁰

⇒ (-1)/4 ≤ k ≤ 11/4

Mà k nguyên nên k = 0; 1 hoặc 2. Khi đó nghiệm của phương trình là: 30⁰; 150⁰; 270⁰

* Với họ nghiệm x = 90⁰ - k. 360⁰ ta có:

0⁰ ≤ 90⁰- k. 360⁰ ≤ 360⁰

⇒ - 90⁰ ≤ -k. 360⁰ ≤ 270⁰

⇒ (- 3)/4 ≤ k ≤ 1/4

Mà k nguyên nên k = 0. Khi đó nghiệm phương trình là x = 90⁰

⇒ Phương trình đã cho có bốn nghiệm

Ví dụ 5. Tìm các nghiệm của phương trình - 2tan² x + 4tanx – 2 = 0 trên khoảng (90⁰; 270⁰)

A. 135⁰

B. 165⁰

C. 225⁰

D. Tất cả sai

Bài giải:

Đáp án đúng là: C.

Hướng dẫn:

Ta có: -2tan²x + 4tanx – 2 = 0

⇒ - 2 (tanx- 1)2 = 0

⇒ tan x = 1

⇒ x = 45⁰ + k. 180⁰

Ta tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (90⁰; 270⁰)

Ta có: 90⁰ < x < 270⁰ ⇒ 90⁰ < 45⁰+ k. 180⁰ < 270⁰

⇒ 45⁰ < k. 180⁰ < 225⁰

⇒ 1/4 < k < 5/4

Mà k nguyên nên k = 1. Khi đó: nghiệm của phương trình là: x = 225⁰

Ví dụ 6. Cho phương trình cos² x + sinx + 1 = 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 720⁰]

A. 0

B. 3

C. 4

D. 2

Bài giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: cos⁰ x + sinx + 1 = 0

⇒ 1 - sin⁰ x + sinx + 1 = 0

⇒ - sin⁰ x + sinx + 2 = 0

⇒ sinx = - 1

⇒ x = 270⁰ + k. 360⁰

+ Ta có: 0⁰ ≤ 270⁰ + k. 360⁰ ≤ 720⁰

⇒ -270⁰ ≤ k. 360⁰ ≤ 450⁰

⇒ (- 3)/4 ≤ k ≤ 5/4

Mà k nguyên nên k = 0 hoặc k = 1.

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn [0⁰; 720⁰]

Ví dụ 7. Cho phương trình sin² 2x + 2 cos² x = 0. Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng (0⁰; 180⁰).

A. 90⁰

B. 180⁰

C. 165⁰

D. 270⁰

Bài giải:

Đáp án đúng là: A.

Hướng dẫn

Ta có: sin2 2x + 2cos2 x = 0

⇒ 1- cos2 2x + 1+ cos2x = 0

⇒ - cos2 2x + cos2x + 2 = 0

Với cos2x = -1

⇒ 2x = 180⁰ + k. 360⁰

⇒ x = 90⁰ + k. 180⁰

Ta xét các nghiệm của phương trình trên (0; 180⁰)

⇒ 0⁰ < 90⁰+ k. 180⁰ < 180⁰

⇒ -90⁰ < k. 180⁰ < 90⁰

⇒ (- 1)/2 < k < 1/2

K nguyên nên k = 0. Khi đó; x = 90⁰

Ví dụ 8. Tìm tổng các nghiệm của phương trình cos⁴ x - sin⁴ x = 0 trên khoảng (0; 2π)

A. 15π/4

B. 13π/4

C. 5π/2

D. Đáp án khác

Bài giải:

Đáp án đúng là: A.

Hướng dẫn:

Ta có: cos⁴ x - sin⁴ x = 0

⇒ (cos² x – sin² x). (cos² x + sin² x) = 0

⇒ cos2x. 1 = 0

⇒ cos2x = 0

⇒ 2x = π/2 + kπ

⇒ x = π/4 + kπ/2

Ta tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (0; 2π)

Ta có: 0 < x < 2π nên 0 < π/4 + kπ/2 < 2π

⇒ π/4 < kπ/2 < 7π/4

⇒ 1/2 < k < 7/2

Mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3}

⇒ Ba nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng (0; 2 π) là: 3π/4; 5π/4 và 7π/4

⇒ Tổng các nghiệm là: 15π/4

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho phương trình . Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 4π]?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Hiển thị lời giải

Điều kiện: cosx ≠ 1 ⇒ x ≠ k2π

Với điều kiện trên phương trình trên trở thành:

+Trường hợp 1. Với sinx=0 ⇒ x =kπ

Kết hợp với điều kiện suy ra: x= (2k+1).π

Vì 0 ≤ x ≤ 4π nên 0 ≤ (2k+1)π ≤ 4π

⇒ 0 ≤ 2k+1 ≤ 4 ⇒ -1/2 ≤ k ≤ 3/2

Mà k nguyên nên k = 0 hoặc 1.

⇒ Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn [0; 4π]

+ Trường hợp 2:

Với sinx= - 1 ⇒ x= 3π/2+k2π (thỏa mãn điều kiện).

Mà k nguyên nên k= 0 hoặc k= 1.

Kết hợp hai trường hợp; suy ra phương trình có tất cả bốn nghiệm trên đoạn [0; 4π]

Chọn B.

Câu 2: Cho phương trình – 2sin²x – 6cosx + 6 = 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (2π; 6π)?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị lời giải

Ta có: - 2sin²x - 6cosx+ 6= 0

⇒ (2 -2sin²x) – 6cosx+ 4=0

⇒ 2cos² x- 6cosx + 4= 0

Với cosx= 1 ⇒ x = k2π

Ta có: x∈ (2π; 6π) nên 2π < k2π < 6π

⇒ 1 < k < 3

Mà k nguyên nên k= 1.

Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm trên khoảng (2π; 6π).

Chọn A.

Câu 3: Cho phương trình: 2cos² x- √ 3cosx=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0; 2π)?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Hiển thị lời giải

Ta có: 2cos²x- √ 3 cosx=0

⇒ cosx. ( 2cosx- √ 3)=0

+ Xét cosx = 0 ⇒ x=k2π

Mà 0 < x < 2π nên 0 < k2π < 2π

⇒ 0 < k < 1

Mà k nguyên nên không có giá trị nào của k thỏa mãn.

Với mỗi giá trị của k cho ta một nghiệm của phương trình trên khoảng đang xét.

⇒ Phương trình có tất cả 2 nghiệm thuộc khoảng (0; 2π).

Chọn C.

Câu 4:Cho phương trình: .Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (2π; 6π)?

A. 3

B. 5

C. 6

D. 4

Hiển thị lời giải

Mà k nguyên nên k∈ {2; 3; 4; 5}

⇒ Phương trình có 4 nghiệm trên khoảng đang xét.

Chọn D.

Câu 5: Cho phương trình: tan⁴ x - 3tan² x = 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0; 10π)

A. 27

B. 28

C. 29

D. 30

Hiển thị lời giải

Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ

Ta có: tan4x - 3tan2 x=0

⇒ tan2 x. (tan2 x- 3) = 0

+ Xét họ nghiệm x= kπ

⇒ 0 < kπ < 10 π ⇒ 0 < k < 10

Mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3;.. ;9} có 9 giá trị của k thỏa mãn.

+ Xét họ nghiệm: x= π/3+kπ

⇒ 0 < π/3+ kπ < 10 π ⇒ (- 1)/3 < k < 29/3

Mà k nguyên nên k∈ {0; 1; 2; …; 9} có 10 giá trị của k thỏa mãn.

+ Xét họ nghiệm: x= (-π)/3+kπ

⇒ 0 < -π/3+ kπ < 10 π ⇒ 1/3 < k < 31/3

Mà k nguyên nên k∈ {1; 2; …; 9; 10} có 10 giá trị của k thỏa mãn.

Kết hợp 3 trường hợp suy ra phương trình có tất cả:

9+10+ 10= 29 nghiệm trên khoảng (0; 10π)

Chọn C.

Câu 6: Cho phương trình: sin² x + 1 - sin² 2x = 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [π/2; 2π]

A. 5

B. 3

C. 4

D. 6

Hiển thị lời giải

Ta có; sin² x+ 1- sin²2x= 1

⇒ 2sin² x + 2. (1- sin²2x)- 2 = 0

⇒ 1- cos2x + 2. cos²2x - 2 =0

⇒ 2cos²2x – cos2x - 1 = 0

+ Ta có: π/2 ≤ x ≤ 2π nên: π/2 ≤ kπ ≤ 2π

⇒ 1/2 ≤ k ≤ 2 mà k nguyên nên k= 1 hoặc 2.

+ Tương tự: π/2 ≤ π/3+ kπ ≤ 2π

⇒ 1/6 ≤ k ≤ 5/3 mà k nguyên nên k= 1.

+ π/2 ≤ (-π)/3+ kπ ≤ 2π

⇒ 5/6 ≤ k ≤ 7/3 mà k nguyên nên k= 1 hoặc 2.

Từ ba trường hợp trên suy ra phương trình có 5 nghiệm thuộc đoạn [π/2; 2π]

Chọn A.

Câu 7: Cho phương trình 3cot⁡ (x + π/3) = 3√ 3. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [2π; 8π]?

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Hiển thị lời giải

Mà k nguyên nên k∈ {3; 4;.. ; 8}

⇒ Phương trình có 6 nghiệm thuộc đoạn [2π; 8π].

Chọn B.

Câu 8: Cho phương trình: . Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (-2π; 2π)?

A. 3

B. 5

C. 4

D. 6

Hiển thị lời giải

Điều kiện:

⇒ tanx + 2 tanx = 3cos²2x+ 3sin22x (vì tanx. cotx= 1)

⇒ 3tanx = 3 (vì cos2 2x + sin22x = 1)

⇒ tanx= 1 ⇒ x= π/4+kπ (thỏa mãn điều kiện).

⇒ phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng (-2π; 2π).

Chọn C.

Bài trước: Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác - Chuyên đề Toán 11 Bài tiếp: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm - Chuyên đề Toán 11