Dạng 2: Tính chẵn, lẻ và chu kì của hàm số lượng giác - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải & Ví dụ
a. Tính tuần hoàn và chu kì:
Định nghĩa: Hàm số y = f (x) có tập xác định được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số T≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có:
(x- T) ∈ D và (x + T) ∈ D
f (x + T) = f (x).
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. Người ta chứng minh được rằng:
Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì T = 2 π;
Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì T = 2 π;
Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì T = π;
Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì T = π
Chú ý:
Hàm số y = sin (ax + b) tuần hoàn với chu kì 
Hàm số y = cos (ax + b) tuần hoàn với chu kì 
Hàm số y = tan (ax + b) tuần hoàn với chu kì 
Hàm số y = cot (ax + b) tuần hoàn với chu kì
Hàm số y = f1(x) tuần hoàn với chu kì T1 và hàm số y = f2(x) tuần hoàn với chu kì T2 thì hàm số y = f1(x) ± f2(x) tuần hoàn với chu kì T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.
b. Hàm số chẵn, lẻ:
Định nghĩa: Hàm số y = f (x) có tập xác định là D được gọi là hàm số chẵn nếu:
♦ x ∈ D và – x ∈ D.
♦ f (x) = f (-x).
Hàm số y = f (x) có tập xác định là D được gọi là hàm số lẻ nếu:
♦ x ∈ D và – x ∈ D.
♦ f (x) = - f (-x).
Ví dụ minh họa
Bài 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau:
Hướng dẫn giải
a. Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T = 2π /2 = π.
b.
Nhận xét: Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì T = 2 π, hàm số y = cos2x tuần hoàn với chu kì T = π. Do vậy, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T = 2 π.
Bài 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau: y = cosx + cos√ 3x.
Hướng dẫn giải
Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T ≠ 0. Khi đó ta có:
cos (x + T) + cos [√ 3 (x +T)] = cosx + cos√ 3x.
Cho x = 0.
Ta có: cosT + cos√ 3T = 2. Vì cosx ≤ 1 với mọi x nên ta có:
mà m, k ∈ Z (vô lý). Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.Bài 3: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a. y = sinx.
b. y = cos (2x).
c. y = tanx + cos (2x + 1).
Hướng dẫn giải
a. Tập xác định: D = R. Lấy x ∈ D thì – x ∈ D.
Ta có: sin (-x) = -sinx => Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
b. Tập xác định D = R. Lấy x ∈ D thì – x ∈ D.
Ta có: cos (-2x) = cos (2x) => Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
c.
Lấy x ∈ D thì – x ∈ D.
Ta có: tan (-x) + cos (-2x + 1) = -tanx + cos (-2x + 1).
=> Hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau:
a) y = cos (-2x +4)
b) y = tan (7x + 5)
Bài giải:
a) Hàm số đã cho làm hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π /2 = π
b) Hàm số đã cho làm hàm tuần hoàn với chu kì T =π /7.
Bài 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số: y = sinx + sin3x
Bài giải:
Nhận xet: Hàm số y = sinx là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2 π; hàm số y = sin3x là hàm tuần hoàn với chu kì T = (2 π)/3.
=> Hàm số đã cho là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2 π.
Bài 3: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số: y = cosx + 2sin5x
Bài giải:
Làm tương tự như bài 2. Lưu ý phần tính tuần hoàn và chu kì
=> Hàm số đã cho là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2 π.
Bài 4: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) y = cosx + cos2x
b) y = tanx + cotx.
Bài giải:
a) Ta có, tập xác định của hàm số là D = R.
cos (-x) + cos (-2x) = cosx + cos2x.
=> Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
b) Tập xác định của hàm số là D = R\ {k π /2, k ∈ Z}.
Ta có: tan (-x) + cot (-x) = - tanx – cotx.
=> Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Bài 5: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) y = cosx + sinx.
b) y = sin2x + cot100x
Bài giải:
a) Tập xác định của hàm số: D = R.
Ta có: sin (-x) + cos (-x) = - sinx + cosx.
=> Hàm số đã cho là hàm không chẵn, không lẻ.
b) Tập xác định của hàm số: D = R\ {k π /100, k ∈ Z}.
Ta có: sin (-2x) + cot (-100x) = - sin2x – cot (100x).
=> Hàm số đã cho là hàm số lẻ.