Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
* Cho (un) là cấp số nhân; có số hạng đầu là u1 và công bội q. Theo tính chất của cấp số nhân ta có: un2 = un-1.un+1 với n ≥ 2.
* Để chứng minh ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân ta cần chứng minh:
ac = b2.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.
Chứng minh: (ab + bc + ca)3 = abc (a + b + c)3
Bài giải:
Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên có ac= b2.
Ta có:
Ví dụ 2: Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh: (a2 + b2). (b2 + c2) = (ab + bc)2
Bài giải:
Ta có:
Ví dụ 3: Cho 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q≠0 và a ≠ 0. Chứng minh:
Bài giải:
Do 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:
Ta có:
Lại có:
Và
Từ (1), (2) và (3) ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 4: Cho bốn số a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: ac + 2ad + bd = (b+c)2
Bài giải:
* Do bốn số a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:
Ví dụ 5: Cho bốn số dương a, b, c và d thỏa mãn √ a; √ b; √ c và √ d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh:
Bài giải:
Gọi 4 số √ a; √ b; √ c và √ d theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q. Ta có:
Do đó; ta có:
Và
Từ (1) và (2) suy ra:
Ví dụ 6: Cho bốn số dương a, b, c và d theo thứ thự lập thành cấp số nhân. Chứng minh:
Bài giải:
Gọi 4 số a, b, c, và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội q. Ta có:
Khi đó;
Và
Từ (1) và (2) suy ra:
Ví dụ 7: Cho bốn số dương phân biệt a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh:
Bài giải:
* Do bốn số a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội q nên
* Ta có:
( chú ý bốn số đã cho là phân biệt nên q ≠ 1)
* Lại có:
Từ (1) và (2) ta có:
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Chứng minh: (a + b +c). (a - b + c) = a2 + b2 + c2
*Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có: b2 = ac
* Xét:
Câu 2: Cho a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: (b-c)2 + (c-a)2 + (d- b)2 + (a- d)2 = (a-d)2
Vì a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:
a. d= bc; ac = b2 và bd= c2
Ta có:
Câu 3: Cho a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh:
* Do a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:
* Ta có:
Câu 4: Cho ba số dương a, b, c lập thành cấp số nhân. Chứng minh:
* Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: ac= b2 *Ta phải chứng minh:
Câu 5: Cho (un) là cấp số nhân và các số nguyên dương m; k (m < k). Chứng minh: uk-m. uk+m = uk2
Ta có:
Câu 6: Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Chứng minh: (a2+ b2). (b2 + c2)= (ab+ bc)2
Do 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Gọi q là công bội của cấp số nhân ta có: b= aq và c= aq2
• Từ (1) và (2) ta suy ra
Câu 7: Cho a, b, c là cấp số cộng thỏa mãn:
* Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a + c= 2b.
Lại có:
Suy ra
* Ta có
Vậy tan a. tan c= tan2
=> tana; tanb; tanc theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.