Trang chủ > Lớp 11 > Chuyên đề Toán 11 (có đáp án) > Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay - Chuyên đề Toán 11

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

* Cho (un) là cấp số nhân; có số hạng đầu là u1 và công bội q. Theo tính chất của cấp số nhân ta có: un2 = un-1.un+1 với n ≥ 2.

* Để chứng minh ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân ta cần chứng minh:

ac = b2.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

Chứng minh: (ab + bc + ca)3 = abc (a + b + c)3

Bài giải:

Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên có ac= b2.

Ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 1

Ví dụ 2: Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh: (a2 + b2). (b2 + c2) = (ab + bc)2

Bài giải:

Ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 2

Ví dụ 3: Cho 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q≠0 và a ≠ 0. Chứng minh:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 3

Bài giải:

Do 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 4

Ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 5

Lại có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 6
(do (*) (2)

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 7
(do (*)) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 4: Cho bốn số a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: ac + 2ad + bd = (b+c)2

Bài giải:

* Do bốn số a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 8

Ví dụ 5: Cho bốn số dương a, b, c và d thỏa mãn √ a; √ b; √ c và √ d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 9

Bài giải:

Gọi 4 số √ a; √ b; √ c và √ d theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q. Ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 10

Do đó; ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 11

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 12

Từ (1) và (2) suy ra:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 13

Ví dụ 6: Cho bốn số dương a, b, c và d theo thứ thự lập thành cấp số nhân. Chứng minh:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 14

Bài giải:

Gọi 4 số a, b, c, và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội q. Ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 15

Khi đó;

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 16

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 17

Từ (1) và (2) suy ra:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 18

Ví dụ 7: Cho bốn số dương phân biệt a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 19

Bài giải:

* Do bốn số a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội q nên

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 20

* Ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 21

( chú ý bốn số đã cho là phân biệt nên q ≠ 1)

* Lại có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 22

Từ (1) và (2) ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 23

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Chứng minh: (a + b +c). (a - b + c) = a2 + b2 + c2

*Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có: b2 = ac

* Xét:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 24

Câu 2: Cho a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: (b-c)2 + (c-a)2 + (d- b)2 + (a- d)2 = (a-d)2

Vì a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

a. d= bc; ac = b2 và bd= c2

Ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 25

Câu 3: Cho a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 26

* Do a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 27

* Ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 28

Câu 4: Cho ba số dương a, b, c lập thành cấp số nhân. Chứng minh:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 29
cũng lập thành cấp số nhân.

* Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: ac= b2 *Ta phải chứng minh:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 30

Câu 5: Cho (un) là cấp số nhân và các số nguyên dương m; k (m < k). Chứng minh: uk-m. uk+m = uk2

Ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 31

Câu 6: Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Chứng minh: (a2+ b2). (b2 + c2)= (ab+ bc)2

Do 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Gọi q là công bội của cấp số nhân ta có: b= aq và c= aq2

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 32

• Từ (1) và (2) ta suy ra

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 33
. (đpcm)

Câu 7: Cho a, b, c là cấp số cộng thỏa mãn:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 34
. Chứng minh tan a; tanb và tan c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.

* Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a + c= 2b.

Lại có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 35

Suy ra

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 36

* Ta có

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay ảnh 37

Vậy tan a. tan c= tan2

=> tana; tanb; tanc theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.