Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu là u₁; công sai là d. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

+ Ngoài ra, ta có 1 cách tính khác đó là:

+ Lưu ý: Cho dãy số (u_n) là cấp số cộng có công sai d. Cho x và y là hai số hạng của cấp số cộng. Khi đó từ x đến y có số số hạng là:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (u_n) có u₅ = − 10 và u₁₅ = 60. Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

A. S₂₀ = 560

B. S₂₀ = 480

C. S₂₀ = 570

D. S₂₀ = 475

Bài giải:

Ta có:

Theo giả thiết ta có:

Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: . Tính tổng S = u₅ + u₆ +.. + u₃₀

A. – 1243

B. -1235

C. – 1345

D. - 1450

Bài giải:

* Từ giả thiết bài toán, ta có:

* Ta có: u₅; u₆;... ; u₃₀ là cấp số cộng có 26 số hạng;

+) Số hạng đầu: u₅ = 2 + 4. (-3) = -10; công sai d = -3

=> Tổng

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 3: Cho dãy số (u_n) có d = –2; S₈ = 72. Tính u₁?

A. u₁ = 16

B. u₁ =- 16

C. u₁ = 8

D. u₁ = - 4

Bài giải:

* Ta có:

* Lại có: u₈ = u₁ + 7d => u₈ – u₁ = 7d = -14 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 4: Cho dãy số (u_n) là một cấp số cộng có u₁ = -1; d = 2 và S_n= 483. Tính số các số hạng của cấp số cộng?

A. n = 20

B. n= 21

C. n= 22

D. n= 23.

Bài giải:

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

Đáp án đúng là: D.

Ví dụ 5: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn: . Tính tổng của số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

A. 63

B. 67

C. 75

D. 81

Bài giải:

Theo giả thiết ta có:

=> Tổng của số hạng đầu và công sai của cấp số cộng là: 86 + (− 19) = 67

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 6: Cho một cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850. Tính

Hướng dẫn giải:

Gọi d là công sai của cấp số đã cho.

Ta có:

Đáp án đúng là: D.

Ví dụ 7: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Bài giải:

Theo giả thiết ta có:

Từ (1) suy ra:

Thế vào (2) ta được

Đặt: khi đó phương trình (*) trở thành:

* Với thì

Với

Với

* Với t = 1 => d² = 1 ⇔ d= ± 1

Với

Với

Vậy ứng với 4 trường hơp sẽ có 4 giá trị của u₁ thỏa mãn.

Đáp án đúng là: D.

Ví dụ 8: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: u₄ + u₈ + u₁₁ + u₁₇ = 100. Tính S₁₉

A. 475

B. 500

C. 1000

D. 750

Bài giải:

* Theo giả thiết ta có:

* Do đó:

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 9: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn: u₂ + u₃ + u₇ + u₁₀ + u₁₂ + u₁₇ = 300.

Tính u₉ + u₈

A. 50

B. 150

C. 75

D. 100

Bài giải:

*Theo giả thiết ta có:

u₂ + u₃ + u₇ + u₁₀ + u₁₂ + u₁₇ = 300

⇔ u₁ + d + u₁ + 2d + u₁ + 6d + u₁ + 9d + u₁ +11d+ u₁ + 16d = 300

⇔ 6u₁ + 45d = 300 ⇔ 2u₁ + 15d = 100

* Do đó:

Đáp án đúng là: D.

Ví dụ 10: Cho (u_n) là cấp số cộng và S_m = S_n với m ≠ n. Tính S_m+n

A. 0

B. S_m − S_n

C. S_n − S_m

D. S_n + S_m

Bài giải:

* Ta có:

Do S_m = S_n với m ≠ n nên ta có:

* Ta có:

(do (*)

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 11: Tính tổng sau: S = 2 + 4 + 6 +... + (2n − 2) + 2n

Bài giải:

Ta có dãy số 2,4,6,.. , 2n − 2,2n là cấp số cộng với công sai d = 2 và u₁ = 2, số hạng tổng quát u_n= 2 + 2 (n-1) = 2n. Dãy số này có n số hạng.

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 12: Gọi Khi đó S₂₀ có giá trị là

A. 34

B. 30,5

C. 325

D. 32,5

Bài giải:

Ta có:

Đáp án đúng là: D

Ví dụ 13: Cho cấp số cộng (u_n) có công sai d = 1 và u₂² − 2u₃² − u₄² đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng S₂₀ của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

A. 120

B. 125

C. 130

D. 135

Bài giải:

Đặt a = u₁ thì: với mọi a.

Dấu "=" xảy ra khi a + 3 = 0 ⇔ a = − 3.

Suy ra u₁ = − 3.

Ta có: .

Đáp án đúng là: C.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho cấp số cộng: − 4; − 8; − 12; − 16... Tìm công sai của cấp số cộng và tổng của 10 số hạng đầu tiên?

A. 110

B. -220

C. 220

D. -110

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ta có: − 16 − (− 12) = − 12 − (− 8) = − 8 − (− 4) = − 4

Nên công sai d = − 4

Áp dụng công thức

nên tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

Câu 2: Cho dãy số (u_n) có d = 1; S₅ = 65. Tính u₂?

A. 12

B. 13

C. 14

D. 10

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có:

=> u₁ + u₅ = 26 (1)

Lại có: u₅ = u₁ + 4d = u₁ + 4

=> u₅ − u₁ = 4 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Số hạng thứ hai của dãy số là: u₂ = u₁ + d = 11 + 1 = 12

Câu 3: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn . Tính S = u₁ + u₄ + u₇ +.. + u₂₀₁₁.

A. S = 2023 736

B. S = 2534134

C. S = 673044

D. S = 2198 650

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

* Gọi d là công sai của cấp số cộng, theo giả thiết ta có:

Ta có công sai d = 3 và số hạng đầu u₁ = 1.

* Ta có các số hạng u₁; u₄; u₇;... ; u₂₀₁₁ lập thành một cấp số cộng gồm:

số hạng với công sai d’ = 3d = 9.

nên ta có:

Câu 4: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: . Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng là:

A. − 565

B. − 530

C. − 652

D. − 285

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

* Từ giả thiết bài toán, ta có:

Tổng của 20 số hạng đầu:

Câu 5: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn. Tính tổng S= u₅ + u₇ +.. + u₂₀₁₁

A. S = 3028760

B. S = 3420198

C. S = 3034088

D. S = 3298701

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

* Theo giả thiết ta có:

=> Số hạng thứ 5 là: u₅ = u₁ + 4d = 1 + 4.3 = 13

* Ta có u₅; u₇.. ,u₂₀₁₁ lập thành cấp số cộng với công sai d' = 2d = 6 và có

số hạng nên

.

Câu 6: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: . Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Theo giả thiết ta có:

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

Câu 7: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn: . Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng.

A. 10

B. 5

C. 8

D. 0

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Theo giả thiết ta có:

=> Số hạng thứ 5 của cấp số cộng là: u₅ = u₁ + 4d = 0

Câu 8: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn: u₂ + u₂₂ = 20. Tính S₂₃?

A. 120

B. 230

C. 150

D. 200

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Theo giả thiết thì u₂ + u₂₂ = 20

⇔ u₁ + d + u₁ + 21d = 20

⇔ 2u₁ + 22d = 20

Lại có:

Câu 9: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn: u₂₁ + u₅₉ = 30. Tính u₂₀ + u₅₉ + u₁₅₈ + 3u₁

A. 90

B. 120

C. 150

D. 180

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

* Theo giả thiết ta có: u₁ + u₅₉ = 30

⇔ u₁ + 20d+ u1 + 58d = 30

⇔ 2u₁ + 78d = 30

* Do đó; u₂₀ + u₅₉ + u₁₅₈ + 3u₁

= u₁ + 19d + u₁ + 58d + u₁ + 157d + 3u₁

= 6u₁ + 234 = 3. (2u₁ + 78d) = 3.30 = 90.

Câu 10: Cho (u_n) là cấp số cộng. Đặt S_n = m; S_n = m với (m ≠ n). Tính S_m+n

A. – m- n

B. n+ m

C. 2n+2m

D. n. m

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có S_m = n nên

Tương tự do S_n = m nên: 2nu₁ + (n² − n)d = 2m

Từ (1) và (2) vế trừ vế ta được:

Do m ≠ n nên:

Mặt khác ta có:

Thay kết quả (*) vào biểu thức của S_m+n ta được:

Câu 11: Tính tổng sau: S = 100² − 99² + 98² − 97² +.. + 2² − 1²

A. 5000

B. 5050

C. 5100

D. 5150

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ta có:

S = 100² – 99² + 98² – 97² +... + 2² - 1²

⇔ S = (100 - 99). (100+ 99)+ (98- 97). (98+ 97)+... + (2-1)(2+ 1)

⇔ S = 199 + 195 + 191+... + 3

Ta có dãy số 199,195,191,.. , 3 là cấp số cộng với công sai d = -4, số hạng đầu tiên u₁ = 199 và có

số hạng

Vậy tổng

Câu 12: Cho cấp số cộng có tổng của n số hạng đầu tiên được tính bởi công thức S_n = 4n − n². Gọi M là tổng của số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng đó. Khi đó:

A. M = 7

B. M= 4

C. M=- 1

D. M= 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ta có:

Câu 13: Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây; hàng thứ 2 có 2 cây; hàng thứ 3 có 3 cây... hỏi có bao nhiêu hàng?

A. 76

B. 77

C. 78

D. 79

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Gọi số hàng cây là n.

Gọi số cây lần lượt trên các hàng là 1; 2; 3.. ;n.

Đây là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 1; d = 1.

Ta có:

Vậy số hàng cần tìm là 77.

Bài trước: Cách tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ k của cấp số cộng cực hay - Chuyên đề Toán 11 Bài tiếp: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay - Chuyên đề Toán 11