Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
* Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, ta có thể chứng minh bằng 1 trong 2 cách sau:
- Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ⊥ (Q).
- Chứng minh ((P), (Q)) = 90°
* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh đường thẳng d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
- Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).
- Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) và (R) ⊥ (P).
- Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD). Trong ∆ BDC vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau ở O. Trong (ADC) vẽ DK ⊥ AC tại K. Khẳng định nào sau đây sai?
A. (ADC) ⊥ (ABE)
B. (ADC) ⊥ (DFK)
C. (ADC) ⊥ (ABC)
D. (BDC) ⊥ (ABE)
Bài giải:
Ta xét các phương án:
Khẳng định C là sai
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với mp (DBC). Gọi BE và DF là hai đường cao của ∆ BCD, DK là đường cao của ∆ ACD. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. (ABE) ⊥ (ADC)
B. (ABD) ⊥ (ADC)
C. (ABC) ⊥ (DFK)
D. (DFK) ⊥ (ADC)
Bài giải:
Khẳng định B sai
Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và đáy ABC là ∆ cân ở A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. H ∈ SB
B. H trùng với trọng tâm ∆ SBC.
C. H ∈ SC
D. H ∈ SI (I là trung điểm của BC).
Bài giải:
Khẳng định đúng là: D
Gọi I là trung điểm của BC
⇒ AI ⊥ BC mà BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAI)
⇒ SI ⊥ BC (1)
Khi đó H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC).
=> AH ⊥ BC
Lại có: SA ⊥ BC
⇒ BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) => 3 điểm S; H; I thẳng hàng.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S. ABC có hai mặt bên (SBC) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC). Khẳng định nào sau đây sai?
A. SC ⊥ (ABC)
B. Nếu A’ là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC) thì A' ∈ SB.
C. (SAC) ⊥ (ABC)
D. BK là đường cao của ∆ ABC thì BK ⊥ (SAC)
Bài giải:
Khẳng định sai là: B
+ Ta có: 
+ Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC)
khi đó AA' ⊥ (SBC) ⇒ AA' ⊥ BC ⇒ A' ∈ BC
=> Đáp án B sai.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S. ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân ở A và có đường cao AH. Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. SC ⊥ (ABC)
B. (SAH) ⊥ (SBC)
C. O ∈ SC
D. Góc giữa (SBC) và (ABC) là góc ∠ SBA
Bài giải:
Chọn B
Ta có: 
Gọi H là trung điểm của BC ⇒ AH ⊥ BC (vì ∆ ABC vuông cân tại A).
Mà BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAH) ⇒ (SBC) ⊥ (SAH)
Khi đó O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC)
Thì suy ra O thuộc SH và ((SBC), (ABC)) = ∠ SHA
Vậy đáp án B đúng
Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1. Mặt phẳng (A1BD) không vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
A. (AB1D)
B. (ACC1A1)
C. (ABD1)
D. (A1BC1)
Bài giải:
* Gọi I = AB1 ∩ A1B
Tam giác A1BD đều có DI là đường trung tuyến nên:
Tam giác A1BD đều có BJ là đường trung tuyến nên BJ ⊥ A1D.
Đáp án đúng là: D
Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Tam giác AB’C là ∆ đều.
B. Nếu α là góc giữa AC’ và (ABCD) thì cosα = √ (2/3).
C. ACC'A' là hình chữ nhật có diện tích bằng 2a2.
D. Hai mặt (AA'C'C) và (BB'D'D) ở trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Bài giải:
Khẳng định sai là: C
Từ giả thiết tính được AC = a√ 2
Mặt khác vì ABCD. A'B'C'D' là hình lập phương nên suy ra ∠ AA'C' = 90°
Xét tứ giác ACC'A' có 
⇒ ACC'A' là hình chữ nhật có các cạnh a và a√ 2.
Diện tích hình chữ nhật ACC’A’ là:
S = a. a. √ 2 = a2√ 2 (đvdt)
⇒ Đáp án C sai.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hai mặt ACC'A' và BDD'B' vuông góc nhau.
B. Bốn đường chéo AC’; A’C; BD’; B’D bằng nhau và bằng.
C. Hai mặt ACC’A’ và BDD’B’ là hai hình vuông bằng nhau.
D. AC ⊥ BD'
Chọn C
Vì theo giả thiết ABCD. A’B’C’D’ ta dễ dàng chỉ ra được:
⇒ đáp án A đúng.
+ Áp dụng đình lý Pytago trong tam giác B’A’D’ vuông tại A’ ta có:
B'D'2 = B'A'2 + A'D'2 = a2 + a2 = 2a2
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác BB’D’ vuông tại B’ ta có:
BD'2 = BB'2 + B'D'2 = a2 + 2a2 = 3a2 ⇒ BD' = a√ 3
Hoàn toàn tương tự ta tính được độ dài các đường chéo còn lại của hình lập phương đều bằng nhau và bằng a√ 3 ⇒ đáp án B đúng.
+ Xét tứ giác ACC’A’ có
⇒ ACC'A' là hình chữ nhật
hoàn toàn tương tự ta cũng chỉ ra BDD’B’ cũng là hình chữ nhật có các cạnh là a và a√ 3
Hai mặt ACC'A' và BDD'B' là hai hình chữ nhật bằng nhau
⇒ đáp án C sai.
Câu 2: Cho hình lăng trụ ABCD. A'B'C'D'. Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với trực tâm H của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây không đúng?
A. (AA'B'B) ⊥ (BB'C'C)
B. (AA'H) ⊥ (A'B'C')
C. BB'C'C là hình chữ nhật
D. (BB'C'C) ⊥ (AA'H)
Chọn A
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BC
Câu 3: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ABC’) có số đo bằng 60°. Cạnh bên của hình lăng trụ bằng:
A. 3a
B. a√ 3
C. 2a
D. a√ 2
Chọn B.
Ta có: (ABCD) ∩ (ABC') = AB
Ta có: AB ⊥ BC và AB ⊥ BB' (vì lăng trụ đã cho là lăng trụ tứ giác đều)
⇒ AB ⊥ (BB'C'C) mà C'B ⊂ (BB'C'C) ⇒ AB ⊥ C'B
Mặt khác: CB ⊥ AB
⇒ ((ABCD), (ABC')) = (CB, C'B) = ∠ CBC' = 60°
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác BCC’ vuông tại C ta có:
tan (CBC') = CC'/CB ⇒ CC' = CB. tan (CBC') = a. tan60° = a√ 3
Câu 4: Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a; CD = 2x. với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc.
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của CD và AB
Do AC = BC nên tam giác ACB cân tại C có CJ là đường trung tuyến
⇒ CJ vuông AB (1)
Tương tự ta có: DJ vuông góc AB. (2)
Lại có: (ABC) ∩ (ABD)= AB (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ ((ABC); (ABD))= ∠ CJD
Vậy để 2 mp (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau thì tam giác CJD vuông cân tại J
(chú ý: Δ CAB = Δ DAB (c. c. c) nên CJ = DJ)
Vậy chọn đáp án A
Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và đáy ABC vuông ở A. Khẳng định nào sau đây sai?
A. (SAB) ⊥ (ABC)
B. (SAB) ⊥ (SAC).
C. Vẽ AH ⊥ BC, H ∈ BC ⇒ góc AHS là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
D. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) là góc ∠ SCB
Chọn D
