Dạng 2: Xác định số hạng của dãy số - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số u: ¥* → i; n → u (n)

Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên n:

u (1); u (2); u (3);.... u (n);....

♦ Ta kí hiệu u (n) bởi u_n và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, u₁ được gọi là số hạng đầu của dãy số.

♦ Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển u₁,u₂,u₃….. u_n,.... hoặc dạng rút gọn (u_n).

2. Người ta thường cho dãy số theo các cách:

♦ Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó

* Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: -1,3,19,53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.

Bài giải:

Xét dãy (u_n) có dạng: u_n = an³ + bn² + cn + d

Giải hệ trên ta tìm được: a = 1; b = 0; c = -3; d = 1

⇒ u_n = n³ - 3n + 1 là một quy luật.

Số hạng thứ 10: u₁₀ = 971.

Bài 2: Cho dãy số (u_n) được xác định bởi

1. Viết năm số hạng đầu của dãy;

2. Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.

Bài giải:

Ta có năm số hạng đầu của dãy

Ta có: do đó u_n nguyên khi và chỉ khi nguyên hay n+1 là ước của 5. Điều đó xảy ra khi n + 1 = 5 ⇒ n = 4

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u₄ = 7.

Bài 3: Cho dãy số (u_n) xác định bởi:

1. Viết năm số hạng đầu của dãy;

2. Chứng minh rằng u_n = u₄;

Bài giải:

1. Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

u₁ = 1; u₂ = 2u₁ + 3 = 5; u₃ = 2u₂ + 3 = 13; u₄ = 29; u₅ = 61.

2. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp

* Với n = 1 ⇒ u₄ = 1

⇒ bài toán đúng với n = 1

* Giả sử u_k = 2^k+1 - 3, ta chứng minh u (k+1) = 2^k+2-3

Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:

u_k+1 = 2u_k + 3 = 2 (2^k+1 - 3) = 2^k+2 - 3 (đpcm).

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho dãy số (u_n) có số hạng tổng quát

1. Viết năm số hạng đầu của dãy số.

2. Tìm số hạng thứ 100 và 200

3. Số 167/84 có thuộc dãy số đã cho hay không

4. Dãy số có bao nhiêu số hạng là số nguyên.

Bài giải:

1. Năm số hạng đầu của dãy là: u₁ = 1, u₂ = 5/4, u₃=7/5, u₄=3/2, u₅=11/7.

2.

3. Giả sử:

Vậy 167/84 là số hạng thứ 250 của dãy số u_n.

4. Ta có:

⇒ u_n nguyên khi và chỉ khi 3 chia hết cho (n+2) ⇒ n = 1

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng là số nguyên.

Bài 2: Cho dãy số (u_n) xác định bởi:

1. Viết 7 số hạng đầu tiên của dãy

2. Chứng minh rằng: u_n=5.3^n-1-6.2^n-1∀ n ≥ 1

Bài giải:

Bốn số hạng đầu của dãy

u₃=5u₂-6u₁=21; u₄=5u₃-6u₂=87; u₅=309; u₆=1023; u₇=3261.

2. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

* u₁=5.3⁰-6.2⁰=-1 (đúng)

* Giả sử u_k=5.3^(k-1)-6.2^(k-1) ∀ k ≥ 2.

Khi đó, theo công thức truy hồi ta có:

u_(k+1)=5u_k-6u_(k-1)=5. (5.3^(k-1)-6.2^(k-1))-6 (5.3^(k-2)-6.2^(k-2))=5 (5.3^(k-1)-6 (3^(k-2))-6 (5.2^(k-1)-6.2^(k-2))=5.3^k-6.2^k( đpcm).

Bài 3: Cho dãy số (u_n) có số hạng tổng quát:

1. Viết 6 số hạng đầu của dãy số

2. Tính u₂0, u₂010

3. Dãy số đã cho có bao nhiêu số hạng là số nguyên.

Bài giải:

1. Ta có: u₁=2+√ 5, u₂=4+2√ 2, u₃=6+√ 13, u₄=8+2√ 5, u₅=10+√ 29, u₆=12+2√ 10.

2.

3.

⇔ (k – n) (k + n) = 4 phương trình này vô nghiệm

Vậy không có số hạng nào của dãy nhận giá trị nguyên.

Bài 4: Cho dãy số (u_n) xác định bởi:

1. Tìm 5 số hạng đầu của dãy

2. Chứng minh rằng: u_n=5.2ⁿ-3n-5 ∀ n=1,2,3…

3. Tìm số dư của u₂₀₁₀ khi chia cho 3

Bài giải:

1 Ta có: u₁=2, u₂=9, u₃=26, u₄=63, u₅=140

2. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

3. Ta có: 5.2²⁰¹⁰≡1. (-1)²⁰¹⁰=1 (mod3)

Suy ra: u₂₀₁₀≡2 (mod 3).

Bài 5: Cho dãy số (u_n):

1. Chứng minh rằng dãy (v_n): v_n=u_n-u_(n-1) là dãy không đổi

2. Biểu thị u_n qua u_(n-1) và tìm CTTQ của dãy số (u_n)

Bài giải:

1. Ta có: u_(n+2)-u_(n+1)=u_(n+1)-u_n ⇒ v_(n+2)=u_(n+1)=⋯=u₂=1

2. Ta có: : u_n-u_(n-1)=1 ⇒ u_n=u_(n-1)+1

Suy ra u_n= (u_n-u_(n-1))+ (u_(n-1)-u_(n-2))+⋯+ (u₂-u₁)+u₁=1+1+⋯+1+u₁=n-1+2018=n+2017

Bài trước: Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11