Trang chủ > Lớp 11 > Chuyên đề Toán 11 (có đáp án) > Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số - Chuyên đề Toán 11

Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Dãy số tăng, dãy số giảm

♦ Dãy số (un) gọi là dãy tăng nếu: un < un+1 ∀ n ∈ ¥

♦ Dãy số (un) gọi là dãy giảm nếu: un > un+1 ∀ n ∈ ¥

2. Dãy số bị chặn

♦ Dãy số (un) gọi là dãy bị chặn trên nếu tồn tại một số thực sao cho un < M ∀ n ∈ ¥.

♦ Dãy số (un) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực sao cho un > m∀ n ∈ ¥..

♦ Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương M sao cho |un | < M ∀ n ∈ ¥..

♦ Để xét tính đơn điệu của dãy số (un) ta xét: kn = (un+1 - un)

* Nếu kn > 0∀ n ∈ ¥ ⇒ dãy (un) tăng

* Nếu kn < 0∀ n ∈ ¥ ⇒ dãy (un) giảm.

Khi un > 0 ∀ n ∈ ¥ ta có thể xét: Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 1

* Nếu tn > 1 ⇒ dãy số (un) tăng

* Nếu tn < 1 ⇒ dãy số (un) giảm

♦ Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho dãy số (un). Chứng minh rằng dãy un là dãy giảm và bị chặn.

Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 2

Bài giải:

Ta có: Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 3

Để chứng minh dãy (un) giảm ta chứng minh un > 1, ∀ n ≥ 1

Thật vậy:

Với n = 1 ⇒ u1 = 2 > 1

Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 4

Theo nguyên lí quy nạp ta có un > 1 ∀ n ≥ 1

Suy ra un - un-1 < 0

⇔ un < un-1 ∀ n ≥ 2 hay dãy (un) giảm

Theo chứng minh trên, ta có: 1 < un < u1 = 2∀ n ≥ 1

=> Dãy (un) là dãy bị chặn.

Bài 2: Cho dãy số (un). Chứng minh rằng dãy (un) là dãy tăng và bị chặn

Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 5

Bài giải:

Ta chứng minh dãy (un) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp

* Ta thấy: u1 < u2 < u3.

* Giả sử uk-1 < uk ∀ k ≥ 2, ta chứng minh uk+1 > uk.

Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 6

Vậy (un) là dãy tăng.

Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được un < 4 ∀ n, hơn nữa un > 0

=> Dãy (un) là dãy bị chặn.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau

Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 7

Bài giải:

1. Ta có: Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 8 nên dãy (un) là dãy tăng

2. Ta có: Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 9 => Dãy (un) giảm.

Bài 2: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết:

Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 10

Bài giải:

1. Ta có:

Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 11

với mọi n ≥ 1.

Suy ra u(n+1) > un ∀ n ≥ 1 ⇒ dãy (un) là dãy tăng.

Mặt khác:

Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 12

Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.

2. Ta có:

Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 13

3. Ta có: un > 0 ∀ n ≥ 1

Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 14

⇒ u(n+1) < un ∀ n ≥ 1 ⇒ dãy (un) là dãy số giảm.

Mặt khác: 0 < un < 1 ⇒ dãy (un) là dãy bị chặn.

Bài 3: Cho dãy số (un): Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 15

a) Khi a = 4, hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy

b) Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng.

Bài giải:

a) Với a = 4 ta có: Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 16

Ta có: 5 số hạng đầu của dãy là u1=6; u2=10/3; u3=14/5; u4=18/7; u5=22/9.

b) Ta có dãy số un tăng khi và chỉ khi

Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 17

⇒ - a - 4 > 0 ⇒ a < - 4

Bài 4: Cho dãy số Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 18

a) Viết 6 số hạng đầu của dãy

b) Chứng minh: un = 3(n - 1) + 1; n = 1,2…

Bài giải:

a) Ta có: u1 = 2; u2 = 4; u3 = 10; u4 = 28; u5 = 82; u6 = 244.

b) Chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp hoặc chứng minh bằng cách sau:

Ta có: un - 1 = 3 (u(n - 1) - 1) = 32 (u(n - 2) - 1) = ⋯ = 3(n - 1) (u1 - 1)

Suy ra: un - 1 = 3(n - 1) ⇒ un = 1 + 3(n - 1).

Bài 5: Cho dãy số un = -5(n - 1) + 3n + n + 2; n = 1,2…

a) Viết 5 số hạng đầu của dãy

b) Chứng minh rằng: un = 2u(n - 1) + 3(n - 1) - n.

Bài giải:

Với mọi n = Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 19

Suy ra un < u0 - n + 1 = 2012 - n

Do đó: 2011 – n < un < 2012 - n

⇒ [un] = 2011 - n với n = Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 19

Ta có: u0 = 2011 và Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số ảnh 20

Nên [u0] = 2011 - 0, [u1] = 2011 - 1

Vậy [un] = 2011 - n, n =Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án