Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Cho đường thẳng d // (P), để tính khoảng cách giữa d và (P) ta thực hiện các bước sau:
+ Bước 1: Chọn một điểm A trên d, sao cho khoảng cách từ A đến (P) có thể được xác định dễ nhất.
+ Bước 2: Kết luận: d (d; (P)) = d (A; (P)).
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và (SAD)
Bài giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có: I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
Ví dụ 2: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D; AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với (ABCD) lấy điểm S với SD = a√ 2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng (SAB).
Bài giải:
Đáp án đúng là: A
Vì DC // AB nên DC // (SAB)
⇒ d (DC; (SAB)) = d (D; (SAB))
Kẻ DH ⊥ SA
Do AB ⊥ AD và AB ⊥ SA nên AB ⊥ (SAD)
⇒ DH ⊥ AB lại có DH ⊥ SA
⇒ DH ⊥ (SAB)
Nên d (CD; (SAB)) = DH.
Trong ∆ vuông SAD ta có:
Ví dụ 3: Cho hình chóp O. ABC có đường cao OH = 2a/√ 3. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và (ABC) bằng:
Bài giải:
Đáp án đúng là: D
Vì M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB nên
MN // AB
⇒ MN // (ABC)
Khi đó, ta có:
(vì M là trung điểm của OA).
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có AB = SA = 2a. Khoảng cách từ đường thẳng AB đến (SCD) bằng bao nhiêu?
Bài giải:
Đáp án đúng là: D
Gọi O là giao điểm của AC và BD; gọi I và M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD. Khi đó; IM // AD //BC
Do S. ABCD là hình chóp tứ giác đều có O là tâm của hình vuông nên SO ⊥ (ABCD).
+ Do tam giác SAB là đều cạnh 2a
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a√ 2. Gọi E là trung điểm AD. Khoảng cách giữa AB và (SOE) là
+ Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy.
mà (SAB) ∩ (SAD) = SA
⇒ SA ⊥ (ABCD).
+ Do E là trung điểm của AD khi đó
Tam giác ABD có EO là đường trung bình
⇒ EO // AB ⇒ AB // (SOE)
⇒ d (AB, (SOE)) = d (A; (SOE)) = AH
với H là hình chiếu của A lên SE.
Câu 2: Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng 1 (đvdt). Khoảng cách giữa AA’ và (BB’D’) bằng:
Chọn B
Ta có: AA’ // BB’ mà BB’ ⊂ (BDD’B’)
⇒ AA’ // (BDD’B’)
⇒ d (AA’; (BD’B’)) = d (A; (BDD’B’)
Gọi O là giao điểm của AC và BD
⇒ AO ⊥ (BDD’B’) (tính chất hình lập phương)
Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ (ABCD) đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√ 5 và BC = a√ 2. Tính khoảng cách giữa (SDA) và BC?
+ Ta có: BC // AD nên BC // (SAD)
⇒ d (BC; (SAD)) = d (B; SAD))
+ Ta chứng minh BA ⊥ (SAD):
Do BA ⊥ AD (vì ABCD là hình chữ nhật)
Và BA ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD))
⇒ BA ⊥ (SAD)
⇒ d (B; (SAD)) = BA
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC có:
AB2 = AC2 - BC2 = 5a2 - 2a2 = 3a2
⇒ AB = √ 3 a
⇒ d (CB; (SAD)) = AB = √ 3 a
Đáp án D
Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a; BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a√ 2. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; K là điểm bất kỳ trên BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và (SBK) là:
Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là trung điểm cạnh BC
+ Do SA = SB = SC = SD và OA = OB = OC = OD nên SO ⊥ (ABCD)
+ Ta chứng minh BC ⊥ (SOI)
- Tam giác SBC cân tại S có SI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: BC ⊥ SI (1).
- Lại có: BC ⊥ SO (vì SO ⊥ (ABCD)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BC ⊥ (SOI)
Mà OH ⊂ (SOI) nên BC ⊥ OH
⇒ OH ⊥ (SBC)
Do EF // BK nên EF // (SBK)
⇒ d (EF; (SBK)) = d (O; (SBK)) = OH
Chọn đáp án D.
Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB= a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√ 2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB; AC. Khoảng cách giữa BC và (SMN) bằng bao nhiêu?
+ Tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // BC
⇒ BC // (SMN) nên:
d (BC; (SMN)) = d (B; (SMN)) = d (A; (SMN))
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn SM.
+ Ta chứng minh: MN ⊥ (SAM):
Chọn đáp án A
Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a√ 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và (SBC) là:
+ Do AD // BC nên AD // (SBC)
⇒ d (AD, (SBC)) = d (H; (SBC))
trong đó H là trung điểm AD.
+ Gọi M là trung điểm của BC và K là hình chiếu vuông góc của H lên SM
⇒ d (H; (SBC)) = HK.
+ Diện tích tam giác SMH là:
Chọn đáp án C
Câu 7: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD = a√ 17/2. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Gọi K là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường HK và (SBD) theo a
+ Ta có: H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK là đường trung bình của tam giác ABD
⇒ HK // BD ⇒ HK // (SBD)
⇒ d (HK; (SBD)) = d (H, (SBD))
Kẻ HI ⊥ BD và HJ ⊥ SI
Chọn đáp án C
Câu 8: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ∠ ABC = 60° Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 30°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và (SAB) theo a bằng:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Kẻ: OI ⊥ AB; OH ⊥ SI
+ Do CD // AB nên CD // (SAB)
⇒ d (CD, (SAB)) = d (C; (SAB)) = 2d (O; (SAB))
Ta có: AB ⊥ SO, AB ⊥ OI ⇒ AB ⊥ (SOI) ⇒ AB ⊥ OH
Nên OH ⊥ (SAB) ⇒ d (O, (SAB)) = OH
Mà tam giác ACB cân tại B có ∠ ABC = 60° nên tam giác ABC đều
⇒ OC = (1/2)AC = (1/2)AB = a/2.
+ xét tam giác OAB có:
Chọn đáp án B
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đường cao SO = 2, mặt bên hợp với mặt đáy một góc 60°. Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và (SCD) bằng
+ Gọi I là trung điểm của CD. Ta có:
⇒ ((SCD), (ABCD)) = (OI, SI) = 60°
+ Ta có: AB // CD nên AB // (SCD)
⇒ d (AB, (SCD)) = d (A, ( SCD)) = 2. d (O, (SCD))
+ Trong mặt phẳng (SOI), gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SI
+ Tam giác SOI vuông tại O, có đường cao OH nên
Do đó: d (AB; (SCD)) = 2d (O; (SCD)) = 2. OH = 2.1 = 2