Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác - Chuyên đề Toán 11
Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
A. Phương pháp giải
+ Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác là phương trình có dạng:
a. sin2x + b. sinx + c= 0 (với a ≠ 0)
Tương tự các phương trình a. cos2 x+ b. cosx+ c=0; a. tan2 x + b. tanx + c= 0 và
a. cot2x + b. cotx+ c= 0 (với a ≠ 0) là các phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác.
+ Xét phương trình: a. sin2 x+ b. sinx+ c= 0 (a ≠ 0) (các phương trình khác làm tương tự).
• Bước 1: Đặt sinx = t (- 1 ≤ t ≤ 1). Phương trình đã cho có dạng: at2 + bt+ c= 0 (*)
• Bước 2. Giải phương trình (*) – lưu ý chỉ lấy những giá trị của t thỏa mãn -1 ≤ t ≤ 1. Từ đó suy ra: sinx=....
• Bước 3. Áp dụng cách giải phương trình lượng giác cơ bản
⇒ Nghiệm của phương trình đã cho là...
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình: sin2x – 2sinx = 0
A. x = k. π
B. x = k2π
C. π/2 + kπ
D. Cả A và C đúng
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Hướng dẫn:
Ta có: sin2 x - 2sinx = 0 (*)
Đặt t = sinx (-1 ≤ t ≤ 1); khi đó (*) trở thành:
t2 -2t= 0
Với t = 0 ta có: sinx= 0
⇒ x= k. π
Ví dụ 2. Giải phương trình: 2sin2x + 3sinx + 1= 0
Bài giải:
Đáp án đúng là: D.
Hướng dẫn:
Ta có: 2sin2 x + 3sinx + 1 = 0 (*)
Đặt t = sinx với - 1 ≤ t ≤ 1; khi đó (*) trở thành:
Ví dụ 3. Giải phương trình 2cos2 x - 1 = 0
A. 
B. 
C. Cả A và B đúng
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Ta có: 2cos2 x – 1 = 0 ⇒ cos2x = 1/2
Ví dụ 4. Giải phương trình: 3cos2x + 3cosx - 6 = 0
A. k. π
B. π/2 + k. π
C. π/4 + k2π
D. π/2 + k. 2π
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có; 3cos2x + 3cosx - 6 = 0 (*).
Đặt cosx = t (-1 ≤ t ≤ 1); khi đó phương trình (*) trở thành:
3t2 + 3t- 6=0
Với t = 1 ta có: cosx = 1
⇒ x = k. π
Ví dụ 5. Giải phương trình tan2 x + 3tanx – 4 = 0
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Ta có: tan2 x+ 3tanx – 4= 0 (*)
Đặt t= tanx; khi đó phương trình (*) trở thành: t2 + 3t – 4 = 0
Ví dụ 6. Giải phương trình: tan2 x - √ 3 tanx = 0
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Đáp án đúng là: D.
Hướng dẫn:
Ta có; tan2x - √ 3 tanx = 0 (*)
Đặt tanx = t; khi đó phương trình (*) trở thành:
t2 - √ 3 t = 0
Ví dụ 7. Giải phương trình: tanx. cot (π/2 - x) = 1
A. 
B.
C.
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Ta có: tanx. cot (900- x) = 1
⇒ tanx. tanx = 1
Ví dụ 8. Giải phương trình: 4cot2 x - 8cotx + 4 = 0
A. arccot2 + kπ
B. π/4 + kπ
C. π/2 + kπ
D. arccot 4 + k. π
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Ta có: 4cot2x - 8cotx + 4= 0 (*)
Đặt t = cotx; khi đó phương trình (*) trở thành:
4t2 – 8t + 4 = 0
⇒ t = 1
⇒ cot x = 1
⇒ x = π/4 + kπ
Ví dụ 9. Giải phương trình: tan2 x + 10tanx + 35 = 0
A. kπ
B. π/4+kπ
C. π/2+kπ
D. phương trình vô nghiệm
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Ta có: tan2x + 10tanx + 35 = 0 (*)
Đặt t = tanx; khi đó phương trình trên trở thành:
t2 + 10t + 35= 0
⇒ Phương trình này vô nghiệm
⇒ Phương trình (*) vô nghiệm
⇒ phương trình đã cho vô nghiệm
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Giải phương trình: 2sin2 x + sinx – 1 = 0.
A. 
B.
C. 
D. 
Ta có: 2sin2 x+ sinx – 1= 0
Đặt t= sinx (-1 ≤ t ≤ 1); khi đó phương trình trên trở thành:
Chọn A.
Câu 2:Giải phương trình √ 2tan2 x+ √ 6 tanx=0
A. 
B. 
C. 
D. 
Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ
Ta có: √ 2tan2x + √ 6 tanx=0 (*)
Đặt t= tanx; khi đó phương trình (*) trở thành:
Chọn B.
Câu 3: Giải phương trình: √ 3. sin2x - √ 6 = 0
A. 
B. 
C. 
D. Đáp án khác
Ta có: √ 3. sin2 x- √ 6=0 (*)
Đặt t= sinx (-1 ≤ t ≤ 1); khi đó phương trình (*) trở thành:
√ 3t2-√ 6 = 0
Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Chọn D.
Câu 4:Biết rằng phương trình: √ 5cos2 x - √ 5/2 = 0 có nghiệm là x = aπ/4 + kbπ với k∈Z. Tính a + b?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
x= π/4+kπ ⇒ a= 1 và b=1 nên a+ b= 2.
Chọn B.
Câu 5: Giải phương trình: sin2 x + sinx – 6 = 0?
A. 
B. 
C. 
D. Vô nghiệm
Ta có: sin2x + sinx – 6=0 (*)
Đặt t= sinx (-1 ≤ t ≤ 1) khi đó phương trình (*) trở thành
t2 + t – 6= 0
⇒ Phương trình (*) vô nghiệm.
Chọn D.
Câu 6:Giải phương trình: √ 3. tan2x - (√ 3 + 1).tanx + 1 = 0
A. 
B. 
C. 
D. 
Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ
Ta có: √ 3. tan2 x- (√ 3+1).tanx+1=0
Đặt t= tanx; phương trình trên trở thành;
√ 3. t2- (√ 3+1).t+1=0
Chọn C.
Câu 7: Giải phương trình: cot2x - (√ 3 + 1/√ 3)cotx + 1 = 0
A. 
B. 
C. 
D.
Chọn C.
Câu 8:Giải phương trình: 2sin2 2x + 2√ 2sin 2x + 1 = 0?
A.
B.
C. 
D. 
Ta có: 2sin2 2x+ 2√ 2sin 2x+1= 0 (*)
Đặt t= sin2x (-1 ≤ t ≤ 1)khi đó phương trình (*) trở thành:
2t2+2√ 2 t+1=0
Chọn A.