Dạng 3: Ý nghĩa của đạo hàm - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Ý nghĩa vật lí:
Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng được xác định bởi phương trình: s = s (t) tại thời điểm to là v (to) = s’ (to)
Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q (t) tại thời điểm to là: I (to) = Q’ (to).
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai f '' (x) là gia tốc tức thời cảu chuyển động s = f (t) tại thời điểm t
Ý nghĩa hình học của đạo hàm.
Nếu tồn tại, f ' (xo) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại Mo(xo; f (xo)). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại là Mo
y - yo = f ' (xo) (x - xo)
Bài 1: Một vật rơi tự do theo phương trình s = (1/2)gt2, trong đó g ≈ 9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s
Bài giải:
Vận tốc của chuyển động là: v = (s)’ = gt
Khi đó vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s là: 9,8.5 = 49 m/s
Bài 2: Xét chuyển động có phương trình
s (t) = Asin (ω t + φ) (A, ω, φ là những hằng số).
Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động
Bài giải:
Gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là:
a (t) = s '' (t) = (Aω cos (ω t + φ))' = -Aω2 sin (ω t + φ)
Bài 3: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = (1/3)t3 - t2 + 5t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 4 là bao nhiêu?
Bài giải:
Gia tốc của chuyển động theo t là:
a (t) = (s (t)) '' = (t2-2t+5)' = 2t-2
Gia tốc của chuyển động khi t = 4 là: a (4) = 6 m/s2
Bài 4: Một vật rơi tự do theo phương trình s = (1/2)gt2, trong đó g ≈ 9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường. Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian t (t = 3s) đến t + Δ t (Δ t = 0,2s) là?
Bài giải:
Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:
v (t) = (s (t))' = gt
Tại t = 3 => v = 29,4 m/s
Tại t + Δ t = 3,2s => v = 31,36 m/s
Khi đó vận tốc trung bình là: 
Bài 5: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = 2t3+5t+2, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động khi t = 3 là?
Bài giải:
Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:
v (t) = (s (t))' = 6t2 + 5
v (3) = 59 m/s
Bài 6: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t3-3t2-9t+2, trong đó: t được tính bằng giây và s được tính bằng mét. Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu.
Bài giải:
Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:
v (t) = (s (t))' = 3t2 - 6t - 9
v (t) = 0
⇔ 
Gia tốc của chuyển động khi t là:
a (t) = (v (t))' = 6t - 6
=> Gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là: a (3) = 12 m/s2
Bài 7: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t3 - 3t2 + 9t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.
Bài giải:
Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:
v (t) = (s (t))' = 3t2 - 6t + 9
Gia tốc của chuyển động khi t là:
a (t) = (v (t))' = 6t - 6
a (t) = 0 ⇔ t = 1
Ta có vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là v (1) = 6 m/s
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t3-3t2+5t+2, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là:
A. 24 m/s2 B. 17 m/s2 C. 14 m/s2 D. 12 m/s2
Đáp án: D
Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm t.
s ' = (t3-3t2+5t+2)' = 3t2-6t+5
s ' = 6t - 6 ⇒ s '' (3) = 12
Bài 2: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t3-3t2-9t+2 (t tính bằng giây; s tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0 hoặc t = 2
B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 là v = 18 m/s
C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 4 là a = 12 m/s2
D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0
Đáp án: C
Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm t.
s' = (t3-3t2+5t+2)' = 3t2-6t+5
s' = 6t-6 ⇒ s '' (3) = 12
Bài 3: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t3-3t2 (t tính bằng giây; stính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là a = 18 m/s2
B. Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là a = 9 m/s2
C. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v = 12 m/s
D. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v = 24 m/s
Đáp án: A
s' = 3t2-6t ⇒ s '' = 6t - 6
s '' (4) = 18 m/s2
Bài 4: Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình S = (1/2)t2 (t là thời gian tính bằng giây (s), S là đường đi tính bằng mét). Tính vận tốc (m/s) của chất điểm tại thời điểm t0 = 5 (s)
A. 5/2 B. 5 C. 25 D. 12,5
Đáp án: B
s' = v (t) = t ⇒ v (5) = 5 m/s. Đáp án B
Bài 5: Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q (t) = 2t2 + t, trong đó t được tính bằng giây (s) và Q được tính theo Culong (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s.
A. 13
B. 16
C. 36
D. 17
Đáp án: D
Q' (t) = I (t) = 4t + 1 ⇒ t (4) = 17. Đáp án D
Bài 6: Một chất điểm chuyển động thẳng, quãng đường đi được xác định bởi phương trình (t) = t3 - 4t2 - 2t + 1, t tính bằng giây (s), S tính bằng mét. Gia tốc (m/s2) chuyển động của chất điểm khi t = 3s là:
A. 10
B. 8
C. 18
D. 1
Đáp án: A
s' = v (t) = 3t2-8t-2, s'' = a (t) = 6t - 8 ⇒ a (3) = 10 m/s2. Đáp án A
Bài 7: Một chất điểm chuyển động thẳng, quãng đường đi được xác định bởi phương trình S = t3-5t2-9t+3, t tính bằng giây (s), S tính bằng mét. Gia tốc (m/s2) chuyển động của chất điểm khi t = 2s là:
A. 2
B. -5
C. -27
D. 22
Đáp án: A
s' = v (t) = 3t2-10t-9, s'' = a (t) = 6t - 10 ⇒ a (2) = 2 m/s2. Đáp án A
Bài 8: Tính giá trị gần đúng (chính xác đến 3 chữ số thập phân, với π ≈ 3,141) của diện tích hình tròn có bán kính bằng 4,05 m.
A. 50,570 m2
B. 50,884 m2
C. 51,52 m2
D. 52 m2
Đáp án: C
S = π. r2 = 3,141.4,052 = 51,52 m2. Đáp án C
Bài 9: Cho đường cong có phương trình y = x2 - 2x + 1. Hệ số góc của tiếp tuyến đường cong đó tại điểm có hoành độ bằng 1 là:
A. 1
B. -1
C. 0
D. 2
Đáp án: C
y’ = 2x – 2. y’ (1) = 0. Đáp án C
Bài 10: Cho đường cong có phương trình y = x4-x2+1. Tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm có hoành độ bằng -1 đi qua điểm:
A. M (0,4)
B. M (1, -3)
C. M (-2, -1)
D. N (2, -3)
Đáp án: B
y' = 4x3-2x, y' (-1) = -2. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ -1 là:
y = -2 (x + 1) + 1 = -2x – 1
Vậy tiếp tuyến qua điểm M (1; -3). Đáp án B
Bài 11: Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q (t)= 2t2 + t, trong đó t được tính bừng giây (s) và Q được tính theo culong (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 2s.
A. 9
B. 10
C. 9
D. 6
Cho bài toán sau:
Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình S = t3-3t2+5t+3 (t là thời gian tính bằng giây (s), S là đường tính bằng mét).
Đáp án: A
Q' (t) = I (t) = 4t + 1 ⇒ t (2) = 9. Đáp án A
Bài 12: Tính vận tốc (m/s) của chất điểm tại thời điểm t0 = 2s
A. 9
B. 5
C. 9
D. 8
Đáp án: B
s' = v (t) = 3t2-6t+5 ⇒ v (2) = 5 m/s. Đáp án B
Bài 13: Tính gia tốc (m/s2) của chất điểm tại thời điểm t0 = 2s
A. 12
B. 5
C. 11
D. 6
Cho bài toán sau:
Một vật rơi tự do theo phương trình s = (1/2)gt2, trong đó g ≈ 9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường
Đáp án: D
s'' = a (t) = 6t - 6 ⇒ a (2) = 6 m/s2. Đáp án D
Bài 14: Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian t (t = 3s) đến t + Δ t (Δ t = 0,1s) là:
A. 30 m/s B. 29.89 m/s C. 30,56 m/s D. 30,51 m/s
Đáp án: B
Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:
v (t) = (s (t))' = gt
Tại t = 3: v = 29,4 m/s
Tại t + Δ t = 3,1s: v = 30,38 m/s
Khi đó vận tốc trung bình là:
Đáp án B
Bài 15: Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 2s là:
A. 19,05 m/s B. 19 m/s C. 19,6 m/s D. 10 m/s
Đáp án: C
v (2) = 19,6 m/s. Đáp án C