Cách tìm công thức của số hạng tổng quát cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

• Nếu u_n có dạng u_n = a₁ + a₂ +... + a_k +.. + a_n thì biến đổi a_k thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn u_n.

• Nếu dãy số (u_n) được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính u₁; u₂;... ). Từ đó, dự đoán công thức tính un theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra, ta cũng có thể tính hiệu như sau: u_{n + 1} − u_n dựa vào đó để tìm công thức tính u_n theo n.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 4; 8; 12; 16; 20; 24;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. u_n = 4n

B. u_n = 2n+ 2

C. u_n = 2n+ 5

D. u_n = 4n+ 2

Bài giải:

Ta có:

4 = 4.1

8 = 4.2

12 = 4.3

16 = 4.4

20 = 4.5

24 = 4.6

=> Số hạng tổng quát u_n = 4n.

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 2: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8; 15; 22; 29; 36;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. u_n = 7n + 7.

B. u_n = 7n.

C. u_n = 7n + 1.

D. u_n: Không viết được dưới dạng công thức.

Bài giải:

Ta có:

8 = 7.1 + 1

15 = 7.2 + 1

22 = 7.3 + 1

29 = 7.4 + 1

36 = 7.5 + 1

Suy ra số hạng tổng quát u_n = 7n + 1.

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: . Số hạng tổng quát của dãy số này là:

Bài giải:

Ta có:

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số là:

Chọn B.

Ví dụ 4: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: − 1,3,19,53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.

A. u₁₀ = 971 B. u₁₀ = 837 C. u₁₀ = 121 D. u₁₀ = 760

Bài giải:

Xét dãy (u_n) có dạng: u_n = an³ + bn² + cn + d

Theo giả thiết ta có: u₁ = − 1; u₂ = 3; u₃ = 19 và u₄ = 53

=> hệ phương trình:

Giải hệ trên ta tìm được: a = 1; b = 0; c = − 3 và d = 1.

Khi đó; số hạng tổng quát của dãy số là: u_n = n³ − 3n+ 1

Số hạng thứ 10: u₁₀ = 971.

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001.... Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?

Bài giải:

Ta thấy:

=> Số hạng thứ n là:

Chọn A.

Ví dụ 6: Cho

. Xác định công thức tính u_n

Bài giải:

Ta có:

Chọn C.

Ví dụ 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: − 2; 0; 2; 4; 6... Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?

A. u_n = − 2n. B. u_n = − 2 + n. C. u_n = − 2 (n+ 1). D. u_n = − 2 + 2 (n − 1)

Bài giải:

Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là (− 2) nên

u_n = − 2 + 2 (n − 1).

chọn D.

Ví dụ 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là:

. Số hạng tổng quát của dãy số này là?

Bài giải:

Ta có;

=> Số hạng thứ n của dãy số là:

Chọn C.

Ví dụ 9: Cho dãy số (u_n) với

. Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Bài giải:

Ta có:

Chọn B.

Ví dụ 10: Cho dãy số (u_n) với

. Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. u_n = 1 + n B. u_n = n (n + 1) C. u_n = 1 + (− 1)²ⁿ. D. u_n = n

Bài giải:

* Ta có: u_n+1 = u_n + (− 1)²ⁿ = u_n + 1 (vì (− 1)²ⁿ = ((− 1)²)ⁿ = 1

=> u₂ = 2; u₃ = 3; u₄ = 4; ...

Dễ dàng dự đoán được: u_n= n.

Thật vậy, ta chứng minh được: u_n = n bằng phương pháp quy nạp như sau:

+ Với n = 1 => u₁ = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.

+ Giả sử (*) đúng với mọi n = k (k ∈ N*), ta có u_k = k.

Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là u_k+1 = k + 1

+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có: u_k+1 = u_k + 1= k+ 1

Vậy (*) đúng với mọi n.

Chọn D.

Ví dụ 11: Cho dãy số (u_n) với

. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. u_n = 2 − n B. không xác định.

C. u_n = 1 − n. D. u_n = − n với mọi n.

Bài giải:

+ Ta có: u₂ = 0; u₃ = − 1; u₄ = − 2...

Dễ dàng dự đoán được u_n = 2 − n.

+ Thật vậy; với n = 1 ta có: u₁ = 1 (đúng)

Giả sử với mọi n = k (k ∈ N*) thì u_k = 2 − k.

Ta chứng minh: u_k+1 = 2 − (k+ 1)

Theo giả thiết ta có: u_{k + 1} = u_k + (− 1)^{2k + 1} = 2 − k − 1 = 2 − (k+1)

=> điều phải chứng minh.

Ví dụ 12: Cho dãy số (u_n) với

. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:

A. u_n = n^{n− 1}. B. u_n = 2ⁿ.

C. u_n = 2ⁿ⁺¹. D. u_n = 2^{n − 1}

Bài giải:

+ Ta có:

Hay u_n = 2ⁿ (vì u₁ = 2)

Chọn B.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: − 1; 1; − 1; 1; − 1; 1; ... Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng

A. u_n = 1

B. u_n = − 1

C. u_n = (− 1)n

D. u_n = (− 1)ⁿ⁺¹

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ta có thể viết lại các số hạng của dãy như sau:

(− 1)¹; (− 1)²; (− 1)³; (− 1)⁴; (− 1)⁵; (− 1)⁶

=> Số hạng tổng quát của dãy số là u_n = (− 1)ⁿ

Câu 2: Cho dãy số (u_n) với Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ta có:

Áp dụng công thức:

(chứng minh bằng phương pháp quy nạp)

Câu 3: Cho dãy số (u_n) với . Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. u_n = 2 + (n− 1)².

B. u_n = 2 + n².

C. u_n = 2 + (n+1)².

D. u_n = 2 − (n− 1)².

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có: u_n+1 − u_n = 2n − 1 suy ra: u_n+1 = u_n + 2n − 1

Theo đầu bài:

Áp dụng công thức: 1 + 3 + 5 + 7 +... + (2n − 3) = (n− 1)² (chứng minh bằng phương pháp quy nạp)

=> u_n = u₁ + (n− 1)² = 2 + (n − 1)²

Câu 4: Cho dãy số (u_n) với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

+ Ta có:

Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số là:

+ Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp:

+ Ta có:

nên đúng với n= 1.

Giả sử đúng với n = k (k ∈ N*); tức là:

Ta chứng minh đúng với n= k+ 1; tức là chứng minh:

Thật vậy ta có:

(điều phải chứng minh)

Vậy

Câu 5: Cho dãy số (u_n) với

. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

+ Ta có:

Hay

Câu 6: Cho dãy số (u_n) với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

+ Ta có:

Câu 7: Cho . Xác định công thức tính u_n

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

+ Ta có:

Câu 8: Cho dãy số (u_n) xác định bởi: . Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số.

A. u_n = 3 + 5n

B. u_n = 3 + 5. (n+1)

C. u_n = 5. (n− 1)

D. u_n = 3 + 5. (n− 1)

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ta có:

u₂ = u₁ + 5 = 8

u₃ = u₂ + 5 = 13

u₄ = u₃ + 5 = 18

u₅ = u₄ + 5 = 23

Từ các số hạng đầu, ta dự đoán số hạng tổng quát un có dạng: u_n = 3 + 5. (n− 1) (*) n ≥ 2

+ Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*) đúng.

Với n = 2; u₂ = 3+ 5. (2− 1) = 8 (đúng). Vậy (*) đúng với n = 2

+Giả sử (*) đúng với n = k. Có nghĩa là: u_k = 3+ 5 (k− 1) (1)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+ 1. Có nghĩa là ta phải chứng minh:

u_k+1 = 3 + 5k

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (1) ta có:

u_k+1 = u_k + 5 = 3 + 5 (k − 1) + 5 = 3 + 5k

Vậy (*) đúng khi n = k+ 1.

Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 9: Dãy số (u_n) được xác định bằng công thức: . Tính số hạng thứ 100 của dãy số

A. 24502861

B. 24502501

C. 27202501

D. 24547501

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

+ Trước tiên; ta đi tìm công thức tổng quát của dãy số.

+ Ta có: u_n+1 = u_n + n³ => u_n+1 − u_n = n³

Từ đó suy ra:

+ Cộng từng vế n đẳng thức trên:

+Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được:

Vậy số hạng tổng quát là:

=> Số hạng thứ 100 của dãy số là:

Câu 10: Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 2 và u_n+1 = 5u_n. Tính số hạng thứ 20 của dãy số?

A. 3.5¹⁰

B. 2.5¹⁹

C. 2.5²⁰

D. 3.5²⁰

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Để tính số hạng thứ 20 của dãy số; ta đi tìm công thức xác định số hạng u_n

+ Ta có: u₂ = 10; u₃ = 50; u₄ = 250; u₅ = 1250; u₆ = 6250

+Ta dự đoán: u_n = 2.5^{n− 1} (1) với mọi n ≥ 1. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với n = 1 ta có: u₁ = 2.50 = 2 (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1.

Giả sử (1) đúng với n = k (k ∈ N*). Có nghĩa là ta có: u_k = 2.5^{k− 1}

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+ 1

Có nghĩa ta phải chứng minh: u_k+1 = 2.5^k

Từ hệ thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết quy nạp ta có:

u_k+1 = 5u_k = 2.5^{k− 1}. 5= 2.5^k (đpcm).

=> Số hạng thứ n của dãy số xác định bởi: u_n = 2.5^{n− 1}

=> Số hạng thứ 20 của dãy số là: u₂₀ = 2.5¹⁹.

Câu 11: Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 3 và u_n+1 = √ (1+ u_n²) với n ∈ N*. Tính số hạng thứ 28 của dãy số?

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Để tính số hạng thứ 30 của dãy số ta đi tìm công thức xác định số hạng thứ n của dãy số>

+ Ta có:

Ta dự đoán: u_n = √ (n+8) (1). Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp:

+ Với n = 1 có u₁ = √ (1+8) = 3 (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1.

Giả sử (1) đúng với n = k; k ∈ N*, có nghĩa ta có u_k = √ (k+8) (2).

Ta cần chứng minh (1) đúng với n= k + 1. Có nghĩa là ta phải chứng minh:

u_{k + 1} = √ (k+9)

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:

Vậy (1) đúng với n = k + 1.

Kết luận số hạng tổng quát của dãy số là: u_n = √ (n+8).

Số hạng thứ 28 của dãy số là: u₂₈= √ (28+8) = 6.

Bài trước: Cách tìm số hạng thứ n của dãy số cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11 Bài tiếp: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11