Tìm tập xác định của hàm số lượng giác - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

+ Hàm số y = 1/f (x) xác định khi f (x) ≠ 0.

+ Hàm số y= √ (f (x)) xác định khi f (x) ≥ 0.

+ Hàm số y = 1/√ (f (x)) xác định khi f (x)> 0

+ Hàm số y= tan [f (x)] xác định khi cos [f (x)] ≠ 0.

+ Hàm số y = cot [f (x)] xác định khi sin [f (x)] ≠ 0

+ Hàm số y= tan [f (x)]+cot⁡ [g (x)] xác định khi cos⁡ [f (x)] ≠ 0; sin⁡ [g (x)] ≠ 0

* Chú ý:

sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ k. π

cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ π/2+kπ với k nguyên

sinx ≠ 1 ⇔ x ≠ π/2+k2π và sinx ≠ -1 ⇔ x ≠ -π/2+k2π

cosx ≠ 1 ⇔ x ≠ k2π và cosx ≠ -1 ⇔ x ≠ π+k2π

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm tập xác định D của hàm số

A. D=R

B. D=R\ {0}

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: C.

Giải thích:

Hàm số xác định khi và chỉ khi

Vậy tập xác định là

Ví dụ 2. Tìm tập xác định D của hàm số

A. D=R

B. .

C. .

D. .

Bài giải:

Đáp án đúng là: D

Giải thích:

Hàm số xác định khi và chỉ khi

Vậy tập xác định .

Ví dụ 3. Tập xác định của hàm số .là:

A.

B. D=R

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: B

Giải thích:

Ta có:

Vậy hàm số đã cho xác định với mọi x∈ R

Ví dụ 4. Hàm số chỉ xác định khi:

A. x ≠ π /2 +kπ, k∈ Z.

B. x=0.

C. x≠ kπ, k∈ Z.

D. x= k2π, k∈ Z.

Bài giải:

Đáp án đúng là: D

Giải thích:

Hàm số đã cho xác định khi cos x - 1 ≥ 0, mà cos x - 1 ≤ 0, ∀ x∈ R

Do vậy để hàm số xác định thì cosx=1, x= k2π, k∈ Z

Ví dụ 5. Tập xác định của hàm số là:

A. R

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: C

Giải thích:

Hàm số xác định khi cos⁡ (x/2-π/4) ≠ 0

⇔ x/2-π/4 ≠ π/2+kπ ⇔ x/2 ≠ 3π/4+kπ

⇔ x ≠ 3π/2+k2π, k ∈ Z

Ví dụ 6: Tập xác định của hàm số là:

A. R\ {π/6+kπ/2, k ∈ Z}.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: A

Giải thích:

Hàm số xác định khi sin⁡ (2x-π/3) ≠ 0

⇔ 2x-π/3 ≠ kπ ⇔ 2x ≠ π/3+ kπ

⇔ x ≠ π/6+kπ/2, k ∈ Z

Ví dụ 7. Xét hai mệnh đề sau:

(I): Các hàm số y= sin x và y= cosx có chung tập xác định là R

(II): Các hàm số y= tanx và y= cotx có chung tập xác định là

A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. Cả hai đều sai.

D. Cả hai đều đúng.

Bài giải:

Đáp án đúng là: A

+ Hai hàm số y= sinx và y= cosx có chung tập xác định là D = R

⇒ (I) đúng

+ Hàm số y= tanx tập xác định là .

Và hàm số y= cot x tập xác định là=> (II) sai

Ví dụ 8: Tập xác định của hàm số là:

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: A

Điều kiện:

Tập xác định:

Ví dụ 9: Tập xác định của hàm số là:

A. .

B. .

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: A

Cách 1: Hàm số đã cho xác định khi .

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị của hàm số và Ta thấy hàm số đều không xác định => Chọn A

Ví dụ 10: Tìm tập xác định D của hàm số .

A.

B. D=R

C. .

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có .

=> Tập xác định D=R.

Ví dụ 11: Tìm tập xác định của hàm số

A.

B. D =

C. .

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: C

Giải thích:

Ta có

=> Hàm số đã cho xác định khi

Ví dụ 12: Tìm tập xác định của hàm số:

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: C

Giải thích:

Hàm số đã cho xác định khi

Mà cos18x ≥ -1 ⇒ 19cos18 x ≥ -19

⇒ 20+ 19cos18x ≥ 20-19= 1 > 0

Vậy 20+19cos18x > 0, ∀ x ∈ R nên hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

Vậy hàm số đã cho xác định khi x ≠ π/2+k2π, k ∈ Z

Ví dụ 13: Hàm số nào sau đây có tập xác định là R?

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: D

Giải thích:

Ta xét các phương án:

+ Với A thì hàm số xác định khi

+Với B thì hàm số xác định khi

+ Với C thì hàm số xác định khi tan2x xác định ≤ ⇒ cos2x ≠ 0

.

+ Với D thì cos 4x ≥ -1 và sin2x ≥ -1 với ∀ x

⇒ cos4x + 5 > 0 và sin2x + 3 > 0với mọi x

⇒

Ví dụ 14: Hàm số nào sau đây có tập xác định khác với các hàm số còn lại?

A. y= tanx

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: C

Với A thì hàm số xác định khi cosx khác 0

Với B thì hàm số xác định khi cosx khác 0

Với C thì hàm số xác định khi

Từ đây ta chọn C do khác với A và B

Ví dụ 15: Hàm số có tập xác định là:

A.

B. D=R.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: B

Giải thích:

Hàm số đã cho xác định khi: đúng với mọi x

Do đó hàm số đã cho có tập xác định: D= R

Ví dụ 16: Chọn khẳng định đúng:

A. Hàm số có tập xác định là các đoạn

B. Hàm số có tập xác định là các đoạn

C. Hàm số có tập xác định là các đoạn

D. Hàm số có tập xác định là các đoạn

Bài giải:

Đáp án đúng là: C

Giải thích:

Ta xét các phương án:

+ Với A thì hàm số xác định khi

=> A sai.

+ Với B thì hàm số xác định khi

=> B sai.

+ Với C thì hàm số xác định khi xác định khi

=> C đúng.

Ví dụ 17: Xét hai mệnh đề:

(I): Các hàm số y= 1/sinx và y= cotx có chung tập xác định là .

(II):Các hàm số y= 1/cosx và y= tanx có chung tập xác định là

A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. Cả hai đều sai.

D. Cả hai đều đúng.

Bài giải:

Đáp án đúng là: D

+ Ta thấy cả hai hàm số y= 1/sinx và y = cot x đều xác định khi sinx ≠ 0.

+ Tương tự thì hai hàm số ở mệnh đề II đều xác định khi cosx ≠ 0.

⇒ Cả hai mệnh đề đã cho là đúng.

Ví dụ 18: Cho hàm số . Tập xác định của hàm số là:

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số xác định khi và chỉ khi: .

Ví dụ 19: Cho hàm số . Tập xác định:

A.

B. .

C. .

D. .

Bài giải:

Đáp án đúng là: D

Hàm số xác định khi

Ví dụ 20: Cho hàm số . Hãy chỉ ra khoảng mà hàm số không xác định k∈ Z

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số đã cho xác định khi

Khoảng nên hàm số không xác định trong khoảng này.

Ví dụ 21: Tập xác định của hàm số y= cosx/ (cos3x. cos⁡ (x- π/3).cos⁡ (π/3+x)) là:

A. .

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: A

Giải thích:

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

cos⁡3x. cos⁡ (x- π/3).cos⁡ (π/3+x) ≠ 0

.

Ví dụ 22: Tập xác định của hàm số . là:

A. .

B..

C. .

D. .

Bài giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số . xác định khi ..

Vậy tập xác định của hàm số là: D=R\ {kπ/2; k ∈ Z}.

Ví dụ 23: Tập xác định của hàm số . là:

A.

B. D=R.

C.

D. .

Bài giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có -1 ≤ cos2x ≤ 1 nên -3 ≤ -3cos⁡2x ≤ 3

⇒ 2 ≤ 5-3cos2x ≤ 8. Vậy 5-3cos2x > 0 với mọi x. .

Mặt khác

Hàm số đã cho xác định

Tập xác định

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số y=sin (1/x)+2x

A. D= [-2; 2]

B. D= [-1; 1]\ {0}

C. D=R

D. D=R\ {0}

Hiển thị lời giải

Chọn D

Hàm số đã cho xác định khi six (1/x) xác định < ⇒ x≠ 0.

Câu 2:Tìm tập xác định của hàm số y= (1+cosx)/sinx

A. D=R\ {kπ|k ∈ Z}.

B. D=R\ {π/2+kπ|k ∈ Z}.

C. D=R\ {π+k2π|k ∈ Z}.

D. D=R\ {k2π|k ∈ Z}.

Hiển thị lời giải

Chọn A

Hàm số đã cho xác định khi: sinx ≠ 0 hay x ≠ kπ; k ∈ Z.

Vậy tập xác định của hàm số là D= R\ {kπ; k ∈ Z}

Câu 3:Tập xác định của hàm số y= tan (2x+π/3) là

A. D. D=R\ {π/2+kπ|k ∈ Z}.

B. D. D=R\ {π/6+kπ|k ∈ Z}.

C. D. D=R\ {π/12+kπ|k ∈ Z}.

D. D. D=R\ {π/12+kπ/2|k ∈ Z}.

Hiển thị lời giải

Chọn D

Hàm số đã cho xác định khi

cos⁡ (2x+π/3) ≠ 0 ⇔ 2x+π/3 ≠ π/2+kπ ⇒ 2x ≠ π/6+kπ

⇔ x ≠ π/12+kπ/2, k ∈ Z ⇒ D=R\ {π/12+kπ/2, k ∈ Z}.

Câu 4:Xét bốn mệnh đề sau

(1) Hàm số y= sinx có tập xác định là R

(2) Hàm số y= cosx có tập xác định là R

(3) Hàm số y= tan x có tập xác định là R\ {kπ|k ∈ Z}

(4) Hàm số y= cotx có tập xác định là R\ {kπ/2|k ∈ Z}

Số mệnh đề đúng là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Hiển thị lời giải

Chọn B

Mệnh đề (1) và (2) là đúng

Mệnh đề (3) và (4) là sai

Sửa lại cho đúng như sau

( 3): Hàm số y= tanx có TXĐ là R\ {π/2+kπ|k ∈ Z}

(4) Hàm số y= cot x có TXĐ là R\ {kπ|k ∈ Z}.

Câu 5:Tập xác định của hàm số IMG_129. là

A. D= [0; 2π]

B. D= [0; +∞]

C. D=R

D. D=R\ {0}

Hiển thị lời giải

Chọn B

Hàm số đã cho xác định khi x≥ 0.

Câu 6:Tập xác định của hàm số y= (2sinx+1)/ (1-cosx) là:

A. x ≠ kπ/2.

B. x ≠ kπ.

C. x ≠ π/2+kπ.

D. x ≠ π/2+k2π.

Hiển thị lời giải

Chọn A

Hàm số xác định khi: 1-cosx≠ 0 ⇒ x≠ k2π.

Câu 7: Tập xác định của hàm số y= tan 2x là

A. x ≠ -π/4+kπ/2.

B. x ≠ π/2+kπ.

C. x ≠ π/4+kπ/2.

D. x ≠ π/4+kπ.

Hiển thị lời giải

Chọn C

Điều kiện xác định của hàm số đã cho là:

cos2x≠ 0 ⇒ 2x≠ π/2+kπ ⇒ x ≠ π/4+kπ/2

Câu 8:Tập xác định của hàm số y= (1-sinx)/ (sinx+1) là

A. x ≠ π/2+k2π.

B. x ≠ k2π.

C. x ≠ 3π/2+k2π.

D. x ≠ π+k2π.

Hiển thị lời giải

Chọn C

Điều kiện xác định của hàm số đã cho là: sinx ≠ 1 ⇒ x ≠ 3π/2+k2π.

Câu 9:Tập xác định của hàm số y= (1-3cosx)/sinx là

A. x ≠ π/2+kπ.

B. x ≠ k2π.

C. x ≠ kπ/2.

D. x ≠ kπ.

Hiển thị lời giải

Chọn D

Điều kiện xác định của hàm số đã cho là: sinx≠ 0 ⇒ x ≠ kπ

Câu 10:Tập xác định của hàm số y=tan (2x-π /3) là

A. x ≠ π/6+kπ/2.

B. x ≠ 5π/12+kπ.

C. x ≠ π/2+kπ.

D. x ≠ 5π/12+kπ/2.

Hiển thị lời giải

Chọn D

Điều kiện xác định của hàm số đã cho là:

cos (2x-π/3) ≠ 0 ⇒ 2x-π/3 ≠ π/2+kπ ⇒ 2x ≠ 5π/6+kπ ⇒ x ≠ 5π/12+kπ/2.

Câu 11:Tìm tập xác định D của hàm số y=1/ (sin (x-π/2))

A. D= R\ {k π/2; k ∈ Z}.

B. D=R {kπ; k ∈ Z}.

C. D= R\ {(1+2k) π/2; k ∈ Z}.

D. D=R {(1+2k)π; k ∈ Z}.

Hiển thị lời giải

Chọn C

Hàm số xác định khi và chỉ khi:

sin (x-π/2) ≠ 0 ⇔ x-π/2 ≠ kπ ⇔ x ≠ π/2+kπ, k ∈ Z

Vậy tập xác định D= R\ {(1+2k)π/2; k ∈ Z}..

Câu 12:Tìm tập xác định D của hàm số y=1/ (sinx-cosx)

A. D=R.

B. D= R\ {(-π)/4+k2π; k ∈ Z}.

C. D= R\ {π/4+k2π; k ∈ Z}.

D. D= R\ {π/4+kπ; k ∈ Z}

Hiển thị lời giải

Chọn D

Hàm số xác định khi và chỉ khi:

sinx-cosx ≠ 0 ⇔ tanx ≠ 1 ⇔ x ≠ π/4+kπ, k ∈ Z

Vậy tập xác định D= R\ {π/4+kπ; k ∈ Z}.

Câu 13:Tìm tập xác định D của hàm số y= cot (2x- π/4)+sin2x.

A. R\ {π/4+kπ; k ∈ Z}.

B. D= R

C. R\ {π/8+kπ; k ∈ Z}.

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Chọn D

Hàm số xác định khi và chỉ khi:

sin (2x-π/4) ≠ 0 ⇔ 2x-π/4 ≠ kπ ⇔ x ≠ π/8+k π/2, k ∈ Z

Vậy tập xác định D=R\ {π/8+kπ/2, k ∈ Z}.

Câu 14:Tìm tập xác định D của hàm số y= √ (sinx+2)

A. D=R.

B. D= [-2; +∞].

C. D= [0; 2π].

D. D=Ø.

Hiển thị lời giải

Chọn A

Ta có -1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ 1 ≤ sinx+2 ≤ 3, ∀ x ∈ R.

Do đó luôn tồn tại √ (sinx+2).

Vậy tập xác định D=R.

Câu 15:Tìm tập xác định D của hàm số y= √ (sinx-2).

A. D=R.

B. D=R\ {kπ; k ∈ Z}.

C. D= [-1; 1].

D. D=Ø.

Hiển thị lời giải

Chọn D

Ta có -1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ -3 ≤ sinx-2 ≤ -1, ∀ x ∈ R. .

⇒ sinx- 2 < 0 với mọi x.

Do đó không tồn tại √ (sinx-2), ∀ x ∈ R.

Vậy tập xác định D=∅.

Câu 16:Tìm tập xác định D của hàm số y=1/ √ (1-sinx).

A. D=R\ {kπ; k ∈ Z}

B. D=R\ {π/2+kπ; k ∈ Z}

C. D=R\ {π/2+k2π; k ∈ Z}

D. D=∅

Hiển thị lời giải

Chọn C

Hàm số xác định khi và chỉ khi 1-sinx > 0 ⇒ sinx < 1 (*).

Mà -1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ (*)< ⇒ sinx≠ 1 ⇒ x≠ π/2+kπ; k ∈ Z.

Vậy tập xác định D=R\ {π/2+k2π; k ∈ Z}.

Câu 17:Tập xác định của hàm số IMG_130

A. D=R\ {-π/6+k2π; k ∈ Z}.

B. D=R\ {7π/6+kπ, k2π; k ∈ Z}.

C. D=R\ {k2π; k ∈ Z}.

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Chọn D

IMG_131.

Tập xác định của hàm số là R\ {-π/6+kπ, k2π; k ∈ Z}.

Câu 18:Tập xác định của hàm số IMG_132 là:

A. D=R\ {± π/4+kπ, π/2+kπ; k ∈ Z}.

B. D=R\ {kπ/2; k ∈ Z}.

C. D=R\ {π/4+kπ; k ∈ Z}.

D. D=R\ {± π/4+kπ; k ∈ Z}.

Hiển thị lời giải

Chọn A

IMG_133

Vậy D=R\ {± π/4+kπ; k ∈ Z}.

Câu 19: Hàm sốIMG_134 có tập xác định là:

A. D=R\ {π/6+kπ/2, kπ; k ∈ Z}.

B. D=R\ {π/12+kπ, kπ/2; k ∈ Z}.

C. D=R\ {π/12+kπ, kπ; k ∈ Z}.

D. D=R\ {π/12+kπ/2, kπ; k ∈ Z}.

Hiển thị lời giải

Chọn D

Hàm số xác định khi

IMG_135

Vậy tập xác định của hàm số là D=R\ {π/12+kπ/2, kπ; k ∈ Z}.

Câu 20:Tập xác định của hàm số y=cotx/ (sinx-1) là:

A. D=R\ {π/3+k2π; k ∈ Z}.

B. D=R\ {kπ/2; k ∈ Z}.

C. D=R\ {π/2+k2π, kπ; k ∈ Z}.

D. D=R\ {π/2+k2π; k ∈ Z}.

Hiển thị lời giải

Chọn C

Hàm số đã cho xác định khi

+ cot x xác định ⇒ sinx ≠ 0 và sinx-1 ≠ 0

Vậy hàm số xác định khi và chỉ khi:

IMG_136. là:

Câu 21:Tập xác định của hàm số y=2016tan²⁰¹⁷2x là

A. D=R\ {π/2+kπ; k ∈ Z}

B. D=R\ {kπ/2; k ∈ Z}

C. D=R

D. D=R\ {π/4+kπ/2; k ∈ Z}

Hiển thị lời giải

Chọn D

Ta có y= 2016tan²⁰¹⁷2x = 2016. (tan2x)²⁰¹⁷

2017 là một số nguyên dương, do vậy hàm số đã cho xác định khi tan2x xác định

⇒ cos2x ≠ 0 < ⇒ x≠ π/4+kπ/2; k ∈ Z.

Câu 22:Để tìm tập xác định của hàm số y= tanx+ cosx, một học sinh đã giải theo các bước sau:

Bước 1: Điều kiện để hàm số có nghĩa là sinx≠ 0 và cosx≠ 0.

Bước 2: ⇒ x≠ π/2+kπ và x≠ kπ; k ∈ Z

Bước 3: Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D=R\ {π/2+kπ, kπ; k ∈ Z}.

Bài giải của bạn đó đúng chưa? Nếu sai, thì sai bắt đầu ở bước nào?

A. Bài giải đúng.

B. Sai từ bước 1.

C. Sai từ bước 2.

D. Sai từ bước 3.

Hiển thị lời giải

Chọn B

Nhận thấy hàm số đã cho xác định khi tanx xác định (do cosx xác định với mọi x thuộc R).

Do vậy hàm số xác định khi cosx≠ 0 ⇒ x≠ π/2+kπ, k ∈ Z

Câu 23:Tập xác định D của hàm sốIMG_137 là

A. D=R\ {π/2+k2π; k ∈ Z}

B. D=R\ {π/2+kπ; k ∈ Z}

C. D=R\ {π/2+kπ/2; k ∈ Z}

D. D=R\ {kπ/2; k ∈ Z}

Hiển thị lời giải

Chọn B

Hàm số đã cho xác định khi.

IMG_138

Câu 24:Tìm tập xác định của hàm số y=1/ (sin²x-cos²x)

A. D=R\ {π/2+kπ; k ∈ Z}

B. D=R\ {kπ/2; k ∈ Z}

C. D=R

D. D=R\ {π/4+kπ/2; k ∈ Z}

Hiển thị lời giải

Chọn D

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

sin²x-cos²x ≠ 0 ⇒ cos2x≠ 0 ⇒ x≠ π/4+kπ/2; k ∈ Z

Câu 25:Tìm tập xác định của hàm số y=2017tan2x/sin²x-cos²x

A. D=R\ {π/2+kπ; k ∈ Z}

B. D=R\ {π/2; k ∈ Z}

C. D=R

D. D=R\ {π/4+kπ/2; k ∈ Z}

Hiển thị lời giải

Chọn D

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

sin²x-cos²x ≠ 0 và cos2x≠ 0 < ⇒ cos2x≠ 0 ⇒ x≠ π/4+kπ/2; k ∈ Z

Câu 26:Tập xác định của hàm số y= sinx/ (sinx+cosx)

A. D=R\ {-π/4+kπ; k ∈ Z}

B. D=R\ {kπ/4; k ∈ Z}

C. D=R\ {π/4+kπ, π/2+kπ; k ∈ Z}

D. D=R\ {π/4+kπ; k ∈ Z}

Hiển thị lời giải

Chọn A

Hàm số đã cho xác định khi sinx+cosx ≠ 0 ⇒ √ 2sin (x+π/4)≠ 0 ⇒ x≠ -π/4+kπ; k ∈ Z

Vậy TXĐ D=R\ {π/4+kπ; k ∈ Z}.

Câu 27:Tập xác định của hàm số y= tanx/ (cosx-1)

A. x≠ k2π

B. x=π/3+k2π

C. x≠ π/2+kπ và x≠ k2π

D. x≠ π/2+kπ và x≠ π/3+kπ

Hiển thị lời giải

Chọn C

Bài tiếp: Tính đơn điệu của hàm số lượng giác - Chuyên đề Toán 11