Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Để tìm tập hợp giao điểm I của hai đường thẳng thay đổi a; b ta chọn hai mặt phẳng cố định (α) và (β) cắt nhau lần lượt chứa a và b
Khi đó I = a ∩ b
⇒ 
⇒ I ∈ d = (α) ∩ (β)
Vậy điểm I thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β).
Để chứng minh đường thẳng d đi qua một điểm cố định ta thực hiện theo các bước sau:
- Chọn một điểm cố định J thuộc hai mặt phẳng (P) và (Q)
- Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), khi đó d đi qua điểm cố định J
B. Ví dụ minh họa
Bài tập 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AB. Một mặt phẳng (P) quay quanh AB cắt các cạnh SC; SD tại các điểm tương ứng E; F
a) Tìm tập hợp giao điểm I của AF và BE
b) Tìm tập hợp giao điểm J của AE và BF
Bài giải:
a)
Phần thuận:
Giới hạn:
Khi E chạy đến C thì F chạy đến D và I chạy đến H
Khi E chạy đến S thì F chạy đến S và I chạy đến S
Phần đảo:
Lấy điểm I bất kì thuộc đoạn SH, trong (SAH) gọi F = SD ∩ AI, trong (SBH) gọi E là giao điểm của SH và BI. Khi đó (ABEF) là mặt phẳng quay quanh AB cắt các cạnh SC; SD tại E; F và I là giao điểm của AF và BE.
Vậy tập hợp điểm I là đoạn SH
b) Ta có:
Nhưng SO = (SAC) ∩ (SBD) nên J ∈ SO
Khi E chạy đến chạy đến C thì F chạy đến D và J chạy đến O
Khi E chạy đến S thì F chạy đến S và J chạy đến S
Lập luận tương tự trên ta có tập hợp điểm J là đoạn SO
Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M; N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho AM/AB ≠ AN/AC. Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn chứa MN, cắt các cạnh CD và BD lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định
b) Tìm tập hợp giao điểm I của ME và NF
c) Tìm tập hợp giao điểm J của MF và NE
Bài giải:
a) Trong mặt phẳng (ABC) gọi K = MN ∩ BC thì K cố định và
Lại có: EF = (P) ∩ (BCD) ⇒ K ∈ EF
Vậy EF luôn đi qua điểm K cố định
b) Phần thuận:
Trong (P) gọi I = ME ∩ NF
⇒ 
⇒ I ∈ (MCD) ∩ (NBD)
Gọi O = CM ∩ BN ⇒ OD = (MCD) ∩ (NBD) ⇒ I ∈ OD
Giới hạn:
Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và I chạy đến O.
Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và I chạy đến D.
Phần đảo:
Gọi I là điểm bất kì trên đoạn OD, trong (MCD) gọi E = MI ∩ CD, trong (NBD) gọi F = NI ∩ BD suy ra (MNEF) là mặt phẳng quay quanh MN cắt các cạnh DB; DC tại các điểm E; F và I = ME ∩ NF
Vậy tập hợp điểm I là đoạn O D.
c)
Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và J chạy đến A
Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và J chạy đến D
Từ đó ta có tập hợp điểm J là đường thẳng AD trừ các điểm trong của đoạn AD
C. Bài tập tự luận
Câu 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, J là trung điểm SA; SB. Lấy điểm M tùy ý trên SD. Tìm giao điểm của:
a) IM và (SBC)
b) JM và (SAC)
c) SC và (IJM)
a) Chọn mặt phẳng phụ (SAD) chứa IM. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC)
Có: S ∈ (SAD) ∩ (SBC) (1)
+ Trong mp (ABCD) gọi H là giao điểm của AD và BC
⇒ H ∈ (SAD) ∩ (SBC) (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra:
SH = (SAD) ∩ (SBC)
+ Trong mp (SAD) gọi E là giao điểm của IM và SH
b) Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa JM. Tìm giao tuyến của (SBD) và (SAC)
Có S ∈ (SBD) ∩ (SAC) (3)
+ Trong mp (ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD
Từ (3) và (4) suy ra: SO = (SBD) ∩ (SAC)
Trong mp (SBD) gọi F là giao điểm của JM và SO
c) Ta có
Câu 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm trên SA; AB; BC
a) Tìm giao điểm của IK với (SBD)
b) Tìm các giao điểm của mp (IJK) với SD và SC
a) Chọn mặt phẳng phụ (SAK) chứa IK. Tìm giao tuyến của (SAK) và (SBD)
+ S ∈ (SAK) ∩ (SBD) (1)
+ Trong mp (ABCD) gọi E là giao điểm của AK
+ Từ (1) và (2) suy ra SE = (SAK) ∩ (SBD)
Trong mp (SAK) gọi F là giao điểm của IK và SE
b) Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD. Tìm giao tuyến của (SBD) và (IJK)
Ta có:
+ Trong mp (ABCD) gọi M là giao điểm của JK và BD.
Từ (3) và (4) suy ra MF = (IJK) ∩ (SBD)
+ Trong mp (SBD) gọi N là giao điểm của SD và MF.
c) Chọn mp (SAC) chứa SC. Tìm giao tuyến của (SAC) và (IJK)
+ Ta có:
+ Trong mp (ABCD) gọi P là giao điểm của JK và AC.
+ Từ (5) và (6) suy ra: IP = (SAC) ∩ (IJK)
+ Trong mp (SAC) gọi Q là giao điểm của SC và IP
Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB; N là trọng tâm tam giác SCD. Xác định giao điểm của:
a) MN và (ABCD)
b) MN và (SAC)
c) SC và (AMN)
d) SA và (CMN)
a) Gọi E trung điểm của CD
+ Trong mp (SBE) gọi F là giao điểm của MN và BE
b) Chọn mp (SBE) chứa MN. Tìm giao tuyến (SBE) và (SAC)
+ Ta có: S ∈ (SBE) ∩ (SAC) (1)
+ Trong mp (ABCD) gọi G là giao điểm của AC và BE
+ Từ (1) và (2) suy ra: SG = (SBE) ∩ (SAC)
+ Trong mp (SBE) gọi H là giao điểm của MN và SG
c) Chọn mp (SAC) chứa SC. Tìm giao tuyến (SAC) và (AMN)
+ Ta có: A ∈ (AMN) ∩ (SAC) (3)
+ Ta có
Từ (3) và (4) suy ra: AH = (AMN) ∩ (SAC)
+ Trong mp (SAC) gọi K là giao điểm của SC và AH
d) Chọn mp (SAC) chứa SA. Tìm giao tuyến (SAC) và (CMN)
+ Ta có: C = (SAC) ∩ (CMN) (5)
+
+ Từ (5) và (6) suy ra: CH = (SAC) ∩ (CMN)
Trong mp (SAC) gọi I là giao điểm của SA và CH
⇒ I = SA ∩ (CMN)
Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD. Lấy một điểm M thuộc miền trong tam giác SBC. Lấy một điểm N thuộc miền trong tam giác SCD.
a) Tìm giao điểm của MN với (SAC)
b) Tìm giao điểm của SC với (AMN)
c) Tìm thiết diện của hình chóp S. ABCD với (AMN)
a) Trong mp (SBC) gọi E = SM ∩ BC
Trong mp (SCD) gọi F = SN ∩ CD
+ Chọn mp (SEF) chứa MN
Có S ∈ (SEF) ∩ (SAC) (1)
Trong mp (ABCD) gọi
⇒ O ∈ (SEF) ∩ (SAC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (SEF) ∩ (SAC) = SO
Trong mp (SEF) gọi
b) Có A ∈ (AMN) ∩ (SAC) (3)
Có
Từ (3) và (4) suy ra (AMN) ∩ (SAC) = AH
Trong mp (SAC) gọi Q = SC ∩ AH
c) Có MQ = (AMN) ∩ (SBC). Gọi P = SB ∩ MQ ⇒ (AMN) ∩ (SAB) = AP
Có NQ = (AMN) ∩ (SCD). Gọi R = SD ∩ NQ ⇒ (AMN) ∩ (SAD) = AR
Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác APQR
Câu 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB; SD và OC.
a) Tìm giao tuyến của (MNP) và (ABCD)
b) Tìm giao điểm của SA và (MNP)
c) Xác định thiết diện của hình chóp với (MNP). Tính tỉ số mà (MNP) chia các cạnh SA, BC và CD
a) Ta có SO = (SAC) ∩ (SBD)
+ Trong mp (SBD) gọi H là giao điểm của MN và SO
Vì MN là đường trung bình của tam giác SBD
⇒ H là trung điểm của SO
+ Có P ∈ (MNP) ∩ (SAC) (1)
+ Có
⇒ H ∈ (MNP) ∩ (SAC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (MNP) ∩ (SAC) = PH
+ Trong mp (SAC) gọi
+ Do H trung điểm của SO và P trung điểm của OC
Suy ra PH là đường trung bình của tam giác OCS nên PH // SC
+ Trong tam giác SAC có
+ Trong mp (SAB) gọi I = EM ∩ AB ⇒ I ∈ (MNP) ∩ (ABCD) (3)
Lại có P ∈ (MNP) ∩ (ABCD)
Do đó (MNP) ∩ (ABCD) = IP
+ Trong mp (ABCD) gọi F và G lần lượt là giao điểm của IP với BC và CD.
Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là ngũ giác FMENG.
Trong mp (SAB) dựng BK // SA, K ∈ SI ⇒ Δ MES = Δ MKB (g. c. g)
Kết luận tỉ số mà mp (MNP) chia các cạnh SA, BC và CD lần lượt là:
Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trọng tâm của tam giác SAC và I, J lần lượt là trung điểm của CD và SD
a) Tìm giao điểm H của đường thẳng IK với mặt phẳng (SAB)
b) Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (IJK) với hình chóp
+ Trong mp (ABCD) gọi O = AC ∩ BD
⇒ (SAC) ∩ (SBD) = SO
+ Vì K là trọng tâm của tam giác SAC nên:
SK = (2/3)SO
+ Trong tam giác SBD có SO là đường trung tuyến và SK = (2/3)SO
Suy ra K là trọng tâm của tam giác SBD.
Do đó B ∈ KJ
a)
+ Ta có S ∈ (SAB) ∩ (SIO) (1)
Trong mp (ABCD) gọi E = AB ∩ IO
+ Do
Từ (1) và (2) suy ra (SAB) ∩ (SIO) = SE
+ Trong mp (SIO) gọi H = IK ∩ SE, có
b) Ta có B ∈ KJ ⇒ B ∈ (IJK) ∩ (ABCD)
⇒ Giao tuyến (IJK) ∩ (ABCD) = BI
+ Trong mp (SAB) gọi F = BH ∩ SA ⇒ (SAB) ∩ (IJK) = BF
Ngoài ra (SAD) ∩ (IJK) = FJ và (SCD) ∩ (IJK) = JI
Do đó thiết diện cần tìm là tứ giác BFJI
Câu 7: Hình chóp S. ABCD có đáy ABCD không là hình thang, điểm P nằm trong tam giác SAB và điểm M thuộc cạnh SD sao cho MD = 2MS
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (PCD)
b) Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng (ABM)
c) Gọi N là trung điểm của AD, tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) và hình chóp S. ABCD
a) Ta có P ∈ (SAB) ∩ (PCD) (1)
Trong mp (ABCD) gọi H = AB ∩ CD, có
Từ (1) và (2) suy ra (SAB) ∩ (PCD) = HP
b)
+ Bước 1: Chọn mp (SCD) chứa SC.
+ Bước 2: Tìm giao tuyến của (MAB) và (SCD):
Có M, H là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MAB) và (SCD)
⇒ HM = (MAB) ∩ (SCD)
Giao tuyến HM cắt SC tại điểm I
Vậy I là giao điểm của SC với mp (ABM)
c) Trong mp (SAD) gọi G = SA ∩ MN, có
Lại có P ∈ (SAB) ∩ (MNP) (4)
Từ (3) và (4) ⇒ (SAB) ∩ (MNP) = GP.
Gọi K, L lần lượt là giao điểm của GP với SB và AB.
Suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác MNLK.
Câu 8: Cho hình chóp S. ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA, SD, P là điểm thuộc cạnh SB sao cho: SP = 3PB
a) Tìm giao điểm Q của SC và (MNP)
b) Tìm giao tuyến của (MNP) và (ABCD)
a) Gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta có SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD)
+ Trong mp (SBD) gọi E là giao điểm của PN và SO
Từ (1) và (2) suy ra: ME = (MNP) ∩ (SAC)
+ Trong mp (SAC) gọi Q là giao điểm của ME và SC
+ Trong mp (SBD) gọi K là giao diểm của PN và BD
+ Trong mp (SAB) gọi H là giao điểm của PM và AB.
Từ (3) và (4) suy ra: HK = (MNP) ∩ (ABCD)
Câu 9: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của SD.
a) Tìm giao điểm I của BM với mp (SAC). Chứng minh: BI = 2IM
b) Tìm giao điểm E của SA với mp (BCM). Chứng minh E là trung điểm của SA
a) Có: S ∈ (SAC) ∩ (SBD) (1)
+ Trong mp (ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD
⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD) (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra: SO = (SAC) ∩ (SBD)
+ Trong mp (SBD) gọi I là giao điểm của BM và SO
Trong tam giác SBD có I là giao điểm của hai đường trung tuyến SO và BM suy ra I là trọng tâm của tam giac SBD.
⇒ BI = 2IM
b) C ∈ (BCM) ∩ (SAC) (3)
Từ (3) và (4) suy ra: CI = (BCM) ∩ (SAC)
+ Trong mp (SAC) gọi E là giao điểm của SA và CI
⇒ E = SA ∩ (BCI)
+ Vì I trọng tâm của tam giác SBD nên SI = (2/3)SO
+ Trong tam giác SAC có SO là đường trung tuyến và SI = (2/3)SO nên I cũng là trọng tâm của tam giác SAC.
Do đó CI là đường trung tuyến của tam giác SAC nên E trung điểm của SA
Câu 10: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB và AB = 2CD. Gọi I, J, K lần lượt là ba điểm trên các cạnh SA; AB; BC
a) Tìm giao điểm của IK và mp (SBD)
b) Tìm giao điểm F của SD và mp (IJK)
a) Chọn mp (SAK) chứa IK
+ S ∈ (SBD) ∩ (SAK) (1)
+ Trong mp (ABCD) gọi O là giao điểm của AK và BD
⇒ O ∈ (SAK) ∩ (SBD) (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra:
SO = (SAK) ∩ (SBD)
+ Trong mp (SAK) gọi E là giao điểm của IK và SO
b) Trong mp (ABCD) gọi P, Q lần lượt là giao điểm của JK với AD và CD.
Có:
⇒ Δ KBJ = Δ KCQ (g. c. g)
⇒ JB = CQ
+ Lại có: JB = DC (Vì JB = DC = (1/2)AB). Do đó C là trung điểm của DQ, và BJCQ là hình bình hành.
+ Trong tam giác DPQ có CJ là đường trung bình. Do đó A là trung điểm của DP.
Có I ∈ (SAD) ∩ (IJK) (3)
Có
Từ (3) và (4) suy ra: IP = (SAD) ∩ (IJK)
+ Trong mp (SAD) gọi giao điềm của SD và IP là F
Câu 11: Cho tứ diện S. ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD
a) Tìm giao điểm E của CD với mp (IJK). Chứng minh: DE = DC
b) Tìm giao điểm F của AD với mp (IJK). Chứng minh: FA = 2 FD
c) Chứng minh: FK // IJ
d) Gọi M và N là hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD. Tìm giao điểm của MN với mp (IJK)
a) Trong mp (BCD) gọi E là giao điểm của CD và JK
+ Trong tam giác CEJ có: DH = (1/2).CJ nên DH là đường trung bình của tam giác này. Suy ra D trung điểm của CE
Vậy DE = DC
b)
+ Ta có:
+ E là giao điểm của CD và JK:
+ Từ (1) và (2) suy ra: EI = (ACD) ∩ (IJK)
+ Trong mp (ACD) gọi F là giao điềm của AD và (IJK)
+ Có F là giao điểm của hai đường trung tuyến AD và EI của tam giác ACE, suy ra F là trọng tâm của tam giác này.
⇒ FA = 2FD
c) Tương tự câu b) có K là trọng tâm của tam giác BCE
Theo tính chất trọng tâm có: EF/EI = EK/EJ = 2/3 ⇒ FK //IJ
d) Chọn mp (ABN) chứa MN
+ Trong mp (BCD) gọi P là giao điểm của BN và JK
Câu 12: Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC; BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng (α) đi qua AC cắt SE; SB lần lượt tại M; N. Một mặt phẳng (β) đi qua BC cắt SD; SA tương ứng tại P và Q.
a) Gọi I = AM ∩ DN, J = BP ∩ EQ. Chứng minh: S; I; J; G thẳng hàng
b) Giả sử K = AN ∩ DM, L = BQ ∩ EP. Chứng minh S; K; L thẳng hàng
a) Ta có:
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có: S; I; J; G là điểm chung của hai mặt phẳng (SBD) và (SAE) nên chúng thẳng hàng.
b)
Ta có:
S ∈ (SAB) ∩ (SDE)
Vậy S; K; L là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SDE) nên chúng thẳng hàng.