Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

+ Để chứng minh một đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) ta chứng minh a // b trong đó b ⊂ mặt phẳng (P).

+ Để chứng minh hai đường thẳng song song ta dùng tính chất đường trung bình của tam giác; đường trung bình của hình thang hay định lí Talet đảo.

+ Định lí: Nếu 3 mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt thì 3 giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. MN // mặt phẳng (ABCD)

B. MN // mặt phẳng (SAB)

C. MN // mặt phẳng (SCD)

D. MN // mặt phẳng (SBC)

Bài giải:

Xét ∆ SAC có M; N lần lượt là trung điểm của SA; SC

⇒ MN là đường trung bình của ∆ SAC

=> MN // AC mà AC ⊂ mặt phẳng (ABCD) nên MN // mặt phẳng (ABCD)

Khẳng định A là đúng.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N là hai điểm trên SA; SB sao cho: SM/SA = SN/SB = 1/3. Vị trí tương đối giữa MN và (ABCD) là:

A. MN nằm trên mặt phẳng (ABCD)

B. MN cắt mặt phẳng (ABCD)

C. MN song song mặt phẳng (ABCD)

D. MN và mặt phẳng (ABCD) chéo nhau.

Bài giải:

Theo định lí Talet, ta có: SM/SA = SN/SB => MN//AB

Mà AB nằm trong mặt phẳng (ABCD) => MN // mặt phẳng (ABCD)

Chọn đáp án: C

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của ∆ ABD; Q thuộc cạnh AB sao cho AQ = 2QB; gọi P là trung điểm của AB Khẳng định nào sau đây đúng?

A. MN // mp (BCD)

B. GQ // mp (BCD)

C. MN cắt (BCD)

D. Q thuộc mp (CDP)

Bài giải:

Gọi M là trung điểm của BD

Vì G là trọng tâm ∆ ABD nên AG/AM = 2/3 (1)

Điểm Q thuộc AB thỏa mãn: AQ = 2QB nên AQ/AB = 2/3 (2)

Từ (1) và (2) => AG/AM = AQ/AB

⇒ GQ // BD (định lí Ta-let đảo)

Mặt khác BD nằm trong mặt phẳng (BCD) => GQ // mặt phẳng (BCD)

Khẳng định đúng là: B

Ví dụ 4: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O; O₁ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF; gọi M là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?

A. OO₁ // mp (BEC)

B. OO₁ // mp (AFD)

C. OO₁ // mp (EFM)

D. MO₁ cắt mp (BEC)

Bài giải:

+ Xét ∆ ACE có O; O1 lần lượt là trung điểm của AC; AE (tính chất hình hình hành)

=> OO1 là đường trung bình trong ∆ ACE và OO₁ // EC.

Mà EC thuộc mặt phẳng (BEC) và mặt phẳng (EFC)

⇒ OO₁ // mặt phẳng (BEC) và OO₁ // mặt phẳng (EFC)

+ Tương tự: OO1 là đường trung bình của ∆ BFD nên OO₁ // FD

Mà FD nằm trong mặt phẳng (AFD)

⇒ OO₁ // mặt phẳng (AFD)

Khẳng định sai là: D

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N; P; Q; R; S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AC; BD; AB; CD; AD; BC. Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng?

A. P; Q; R; S

B. M; P; R; S

C. M; R; S; N

D. M; N; P; Q

Bài giải:

+ Tam giác ABD có PS là đường trung bình nên PS // AB (1)

+ Tam giác ABC có PQ là đường trung bình nên RQ // AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: PS // RQ nên 4 điểm P; R; Q; S đồng phẳng

+ Tương tự, ta có được PM // NQ // BD

=> 4 điểm P; M; N; Q đồng phẳng.

+ Và NR // AD // MS suy ra M; R: N; S đồng phẳng

Chọn đáp án: B

Ví dụ 6: Cho hình chóp S. ABC; gọi G₁; G₂ lần lượt là trọng tâm tam giác SAC và SBC. Gọi M là trung điểm của SA. Đường thẳng nào song song với mặt phẳng (ABC)?

A. G₁M

B. G₂M

C. G₁G₂

D. G₁S

Bài giải:

+ Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AC và BC.

+ Do G₁; G₂ lần lượt là trọng tâm ∆ SAC và ∆ SBC nên:

(SG₁)/SH = (SG₂)/SK = 2/3

⇒ G₁G₂ // HK

Mà HK ⊂ mặt phẳng (ABC) nên G₁G₂ // mặt phẳng (ABC)

Chọn đáp án: C

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD; lấy điểm M trên cạnh AB sao cho: AM/AB = 1/4. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho MN // mặt phẳng (BCD). Tính tỉ số AN/NC?

A. 3

B. 1/3

C. 1/4

D. 4

Bài giải:

+ Từ MN // mặt phẳng (BCD) ta chứng minh MN // BC

+ Thật vậy; giả sử MN cắt BC tại P

Mà BC ⊂ mặt phẳng (BCD)

⇒ Đường thẳng MN cắt mặt phẳng (BCD) tại P

⇒ Mâu thuẫn với MN// mặt phẳng (BCD)

Vậy MN // BC

+ Xét ∆ ABC có: MN // BC

Chọn đáp án: B

Ví dụ 8: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M; N; P và Q lần lượt là trung điểm của AB; CD; SA và SD. Mặt phẳng nào song song với đường thẳng MN?

A. (PBA)

B. (QCD)

C. (PQB)

D. (QAB)

Bài giải:

+ Xét mặt phẳng (ABCD) có M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD

⇒ MN là đường trung bình của hình bình hành.

⇒ MN // AD // BC (1)

+ Xét mặt phẳng (SAD) có P và Q lần lượt là trung điểm của SA và SD.

⇒ PQ là đường trunh bình của ∆ SAD.

⇒ PQ // AD (2)

Từ (1) và (2) => PQ // MN // AD // BC

⇒ MN // mặt phẳng (PQB)

Chọn đáp án: C

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, I là trung điểm cạnh SC. Khẳng định nào sau đây SAI?

A. IO // mp (SAB)

B. IO // mp (SAD)

C. mp (IBD) cắt hình chóp S. ABCD theo thiết diện là một tứ giác

D. (IBD) ∩ (SAC) = IO

Hiển thị lời giải

Chọn C

+ Xét tam giác SAC có I và O lần lượt là trung điểm của SC và AC nên IO là đường trung bình của tam giác SAC

⇒ IO // SA

+ Ta có: mp (IBD) cắt hình chóp theo thiết diện là tam giác IBD nên C sai

+ Ta có: (IBD) ∩ (SAC) = IO nên D đúng.

Câu 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G₁ và G₂ lần lượt là trọng tâm các ∆ BCD và ACD. Chọn mệnh đề sai:

A. G₁G₂ // (ABD)

B. G₁G₂ // (ABC)

C. BG₁, AG₂ và CD đồng quy

D. G₁G₂ = (2/3)AB

Hiển thị lời giải

Chọn D

+ Do G₁ và G₂ lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD nên BG₁; AG₂ và CD đồng qui tại M (M là trung điểm của CD)

⇒ C đúng

+ Xét tam giác AMB có:

(MG₁)/MB = (MG₂)/MA = 1/3 (tính chất trọng tâm tam giác)

⇒ G₁G₂ // AB (định lí Ta let đảo)

⇒ A đúng

⇒ B đúng

Chọn D

Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (α) qua BD và song song với SA, mặt phẳng (α) cắt SC tại K. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. SK = 2KC

B. SK = 3KC

C. SK = KC

D. SK = (1/2)KC

Hiển thị lời giải

Chọn C

+ Gọi O là giao điểm của AC và BD

Do mặt phẳng (α) qua BD nên O ∈ (α)

+ Trong tam giác SAC, kẻ OK // SA (k ∈ SC)

+ Trong tam giác SAC ta có

là đường trung bình của Δ SAC

Vậy SK = KC

Câu 4: Cho tứ diện ABCD và M là điểm ở trên cạnh AC. Gọi mặt phẳng (α) qua và M song song với AB và CD. Mặt phẳng (α) cắt BC; BD; AD lần lượt tại N; P, Q. Tìm mệnh đề đúng?

A. PQ // mp (ABC)

B. MN // mp (ABD)

C. NP // (AQC)

D. PQ // BC

Hiển thị lời giải

Chọn D

+ Trên mp (ABC) kẻ MN // AB; N ∈ BC

+ Trên mp (BCD) kẻ NP // CD; P ∈ BD

⇒ (α) chính là mặt phẳng (MNP)

+ Ta tìm giao tuyến của mp (MNP) và (ABD)

nên (MNP) ∩ (ABD) = PQ // MN // AB

⇒ PQ // mp (ABC); A đúng

+ theo cách dựng, MN // AB mà AB ⊂ (ABD)

⇒ MN // (ABD); B đúng

+ Theo cách dựng NP // CD mà CD ⊂ (AQC)

⇒ NP // mp (AQC); C đúng

Câu 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB; CD và SA. Gọi giao tuyến của mp (MNP) và mặt phẳng (SAD) là PQ (Q ∈ SD). Tìm mặt phẳng song song với SC?

A. (APQ)

B. (BMQ)

C. (PNB)

D. (PQN)

Hiển thị lời giải

+ Xét tứ giác ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của AB và DC

⇒ MN là đường trung bình của hình ABCD

⇒ MN // AD // BC

+ Xét giao tuyến của (MNP) và (SAD):

Trong mp (SAD); dựng Px // AD cắt SD tại Q

+ Ta có: PQ // AD và P là trung điểm của SA

⇒ Q là trung điểm của SD.

+ Xét mp (SCD) có N và Q lần lượt là trung điểm của CD; SD nên NQ // SC

Mà NP ⊂ mp (PQN) nên SC // mp (PQN)

Chọn D

Câu 6: Cho hình chóp S. ABC có SA = SB = AB = a; SC = AC = 2a. Gọi G là trọng tâm ∆ SAC và H là trực tâm tam giác SAB. Gọi M là trung điểm SA và N là trung điểm của BC. Tìm đường thẳng song song với mp (ABC)?

A. GH

B. HN

C. GM

D. HM

Hiển thị lời giải

+ Xét tam giác SAB có; SA = SB = AB = a

⇒ tam giác SAB là tam giác đều nên trực tâm H đồng thời là trọng tâm của tam giác SAB.

+ Gọi I và T lần lượt là trung điểm của AB; AC

Do G và H là trọng tâm hai tam giác SAC và SAB nên:

SH/SI = SG/ST = 2/3

⇒ HG // IT

+ Mà IT ⊂ mp (ABC) nên HG // mp (ABC)

Chọn A

Câu 7: Cho hình chóp S. ABCD. Trong tam giác SAB có ∠ SAB = 90°; SA = SB đường cao AH. Lấy điểm M trên cạnh SA sao cho: SM = 3MD. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho NC = 3NS. Gọi K là trung điểm của SD. Tìm đường thẳng song song với mặt phẳng (ABCD).

A. HN

B. KM

C. MN

D. HK

Hiển thị lời giải

+ Xét tam giác SAB có: ∠ SAB = 90°; SA = SB

⇒ Tam giác SAB vuông cân tại S.

Mà AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến nên H là trung điểm của SB

+ Xét tam giác SBD có: H và K lần lượt là trung điểm của SB; SD

⇒ HK là đường trung bình của tam giác SBD nên HK // BD

Mà BD ⊂ mp (ABCD) nên: HK // mp (ABCD)

Chọn D

Câu 8: Cho hình chóp S. ABCD. Trên các cạnh AD; AB; SB; SD lần lượt lấy các điểm M; N; P; Q sao cho MQ // NP và MQ = NP. Tìm mặt phẳng song song với đường thẳng PQ.

A. (SMD)

B. (PNC)

C. (DCN)

D. Không có mặt phẳng nào song song PQ

Hiển thị lời giải

+ Ta có; MQ // NP

⇒ bốn điểm M; N; P và Q đồng phẳng

+ Xét tứ giác MNPQ có: MQ // NP và MQ = NP

⇒ Tứ giác MNPQ là hình bình hành

⇒ MN // PQ

+ Mà MN ⊂ mp (DCN)

⇒ MN // mp (DCN)

Chọn C

Bài tiếp: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng. Tìm thiết diện qua 1 điểm và song song với đường thẳng - Chuyên đề Toán 11