Bài tập về cấp số nhân nâng cao cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11

A. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm a, b biết rằng 1, a, b là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng và 1; a²; b² là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Tính a + b.

Bài giải:

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

Từ (2) => b = ± a²

* Với b = a² thay vào (1) được:

* Với b = − a² thay vào (1) được:

+ Nếu:

Khi đó: a + b = − 4 + 3√ 2

+ Nếu:

Khi đó: a + b = − 4 − 3√ 2

Đáp án đúng là: D.

Ví dụ 2: Cho 4 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Trong đó, số hạng thứ hai nhỏ hơn số hạng thứ nhất 35, còn số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560. Tìm số hạng thứ 4?

Bài giải:

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

Thay (1) vào (2) ta được:

* Với q = 4 thay vào (1) được:

* Với q = - 4 thay vào (1) ta được:

Vậy số hạng thứ tư của cấp số nhân là:

Đáp án đúng là: D.

Ví dụ 3: Cho 4 số nguyên dương. Trong đó, 3 số đầu lập thành một cấp số cộng, 3 số hạng sau thành lập cấp số nhân. Biết rằng, tổng của số hạng đầu và số hạng cuối là 37, tổng của hai số hạng giữa là 36. Tìm số hạng thứ tư.

Bài giải:

Gọi 4 số nguyên dương cần tìm là: a, b, c, d.

* Theo bài ra có: a, b, c là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng.

=> a + c = 2b (1)

* Ba số hạng b, c, d là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân.

=> bd = c² (2)

* Biết rằng: a + d = 37 (3) và b + c = 36 (4)

* Từ (4) có: b = 36 - c thay vào (1) được:

a + c = 72- 2c ⇔ a = 72- 3c, thay a vào (3) được:

d = 37- 72 + 3c ⇔ d = - 35 + 3c.

* Thay b, d vào (2) được:

+ Với c = 20 => b = 16, a = 12, d = 95.

+ Với (loại- vì bốn số đó là các số nguyên dương)

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 4: 3 số khác nhau có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân hoặc là các số hạng thứ 2 thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu tiên của cấp số cộng để tổng của chúng là 820?

Bài giải:

Gọi u₁; u₂; u₃ là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân, với công bội là q.

Theo bài ra ta có: u₁ = a₂, u₂ = a₉, u₃ = a₄₄ với a₂, a₉, a₄₄ là các số hạng của một cấp số cộng với công sai d.

Ta có:

Lấy (1) – (2) ta được:

Vì u₁; u₂; u₃ khác nhau nên chọn q = 5..

Theo bài ra ta có:

Mà q = 5 => u₁ = 7

=> u₂ = u₁q = 35.

Ta có:

Theo đề bài ta có: S_n = 820 nên

Kết luận phải lấy 20 số hạng đầu tiên để tổng của chúng bằng 820.

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 5: Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 2 và u₁ − 12u₂ − 6u₃ đạt giá trị lớn nhất. Tìm số hạng thứ 8 của cấp số nhân đã cho.

Bài giải:

* Trước tiên ta đi tìm công bội của cấp số nhân.

Gọi q là công bội của cấp số nhân (u_n)

Ta có:

=> Để u₁ − 12u₂ − 6u₃ đạt giá trị lớn nhất thì q = -1.

* Số hạng thứ 8 của cấp số nhân đã cho là: u₈ = u₁.q⁷ = 2. (-1)⁷ = - 2.

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 6: Tính các cạnh của 1 hình hộp chữ nhật; biết thể tích của nó là a³; diện tích toàn phần là 6a² và 3 cạnh lập thành cấp số nhân?

Bài giải:

Gọi x; y; z là 3 canh của hình hộp chữ nhật.

Theo giả thiết ta có:

V = xyz nên:

=> q = 1

Khi đó 3 cạnh của hình hộp chữ nhật là a; a; a.

Đáp án đúng là: D.

Ví dụ 7: Cho dãy số (u_n) thỏa mãn: . Giá trị nhỏ nhất của n để

Bài giải:

Ta có:

Đặt:

=> (v_n) là cấp số nhân với và công bội q = 3.

Suy ra:

Yêu cầu bài toán trở thành:

Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn bài toán là n = 146.

Đáp án đúng là: D.

Ví dụ 8: Cho dãy số (u_n) xác định bởi: . Tính số hạng thứ 2018 của dãy.

Bài giải:

Ta có:

Đặt:

Khi đó ta được dãy mới; là cấp số nhân với: v₁ = 6 và q = 2

Đáp án đúng là: D.

B. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho 3 số dương có tổng 65 lập thành một cấp số nhân tăng. Nếu bớt 1 đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tính tích của 3 số đó?

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Gọi u₁; u₂; u₃ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Theo đề: u₁ − 1; u₂; u₃ − 19 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Do đó, ta có hệ phương trình sau:

Lấy (1) chia (2) vế chia vế ta được

Vì u₁; u₂; u₃ theo thứ tự lập thành cấp số nhân tăng dần nên chọn q = 3 => u₁ = 5

Vậy u₁ = 5; u₂ = 15 và u₃ = 45. Tích ba số đó là: 5.15.45= 3375.

Câu 2: Tìm công bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7; số hạng cuối là 448 và tổng số các số hạng là 889.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Theo đề bài ta có

Thế (3) vào (2) ta được: 448q − u₁ = 889 (q − 1) (*)

Thay u₁ = 7 vào (*) ta được:

Vậy công bội của cấp số nhân là q = 2.

Câu 3: Một cấp số cộng và một cấp số nhân đều là các dãy tăng. Các số hạng thứ nhất của hai dãy số đều bằng 3; các số hạng thứ hai bằng nhau. Tỉ số giữa các số hạng thứ ba của cấp số nhân và cấp số cộng là . Tìm ba số hạng của cấp số nhân.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Gọi u₁; u₂; u₃ là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng có công sai d.

Gọi a₁; a₂; a₃ là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân có công bội q.

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

Ta có (2) ⇔ 15q² = 27 + 18d thay (1) vào ta được:

Vì cấp số nhân là dãy tăng nên ta chọn q = 3.

=> ba số hạng của cấp số nhân là: 3; 9; 27.

Câu 4: 3 số khác nhau có tổng bằng 114 là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc coi là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ hai mươi lăm của một cấp số cộng. Tìm số lớn nhất trong 3 số đó?

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Gọi u₁; u₂; u₃ là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân, với công bội là q.

Theo đề bài: u₁ = a₁, u₂ = a₄, u₃ = a₂₅, với a₁, a₄, a₂₅ là các số hạng của một cấp số cộng với công sai d.

Ta có:

Lấy phương trình (1) – (2) được:

Vì u₁; u₂; u₃ khác nhau nên chọn q = 7.

Theo đề bài có:

Kết luận ba số cần tìm: u = 2, u₂ = 14, u₃ = 98.

Câu 5: Một cấp số cộng và cấp số nhân đều có số hạng đầu tiên là bằng 5, số hạng thứ 2 của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ 2 của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ 3 của hai cấp số thì bằng nhau. Tìm số hạng thứ 3 của cấp số nhân.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Gọi u₁; u₂; u₃ là ba số hạng đầu tiên liên tiếp của cấp số cộng, với công sai d.

Gọi a₁; a₂; a₃ là ba số hạng đầu tiên liên tiếp của cấp số nhân, với công bội q.

Theo đề bài ta có:

Thế (1) vào (2) được:

* Với q = 3 => d = 20.

=> a₁ = 5; a₂= 15 và a₃ = 45.

Với q = -1 => a₁ = 5, a₂ = - 5, a₃ = 5.

Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân là 45 hoặc 5.

Câu 6: 3 số x, y, z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q (q ≠ 1), đồng thời các số x, 2y, 3z theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công sai d (d ≠ 0). Hãy tìm q?

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

* Do ba số x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên:

* Do các số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:

x + 3z = 2.2y thay (1) vào ta được:

x+ 3xq2 = 4xq mà x ≠ 0 nên:

Vậy công bội

Câu 7: Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng và b, c, a là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, đồng thời a. b. c= 125. Tính a. b

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

* Do a, b, c là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng nên: a + c = 2b

* b, c, a là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên ba = c²

Ta có hệ phương trình:

Thay (2) vào (3) được: c³ = 125 => c= 5

Thay c = 5 vào (1) và (2):

Vậy a= b= c= 5 hoặc a= - 10;

;c=5

=> Tích a. b bằng 25.

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình: x³ + (5 − m)x² + (6 − 5m)x − 6m = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân?

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

* Ta có: x³ + (5 − m)x² + (6 − 5m)x − 6m = 0

* Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

* Do các nghiệm này lập thành cấp số nhân và ta sắp xếp các nghiệm này theo thứ tự tăng dần được các dãy số sau:

- 3; -2; m lập thành cấp số nhân

- 3; m; - 2 lập thành cấp số nhân

m; -3; - 2lập thành cấp số nhân

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn đầu bài.

Câu 9: Cho dãy số (a_n) xác định bởi a₁, a_{n + 1} = q. a_n + 3 với mọi n ≥ 1 trong đó q là hằng số, a ≠ 0, q ≠ 1. Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng

. Tính α + 2β

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ta có:

Đặt

Khi đó

Vậy

Do đó:

Cách 2.

Theo giả thiết ta có a₁ = 5, a₂ = 5q + 3 Áp dụng công thức tổng quát, ta được

Suy ra

hay

α + 2β = 5 + 2.3 = 11

Bài trước: Bài toán thực tế về cấp số nhân cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11