Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.
Về dạng này điểm chung thứ nhất thường dễ tìm. Điểm chung còn lại học sinh phải tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, đồng thời chúng lại thuộc mặt phẳng thứ ba và chúng không song song. Giao điểm của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai.
Lưu ý: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa là giao tuyến là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. Tìm mệnh đề sai?
A. Hình chóp S. ABCD có 4 mặt bên.
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO.
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI.
D. Đường thẳng SO nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt.
Bài giải:
Xét các phương án:
+ Phương án A:
Hình chóp S. ABCD có 4 mặt bên là: (SAB); (SBC); (SCD) và (SAD) => A đúng.
+ Phương án B:
Ta có:
=> B đúng
+ Tương tự, ta có SI = (SAD) ∩ (SBC) => C đúng.
+ Đường thẳng SO không nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt => D sai.
Đáp án cần chọn là: D.
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD).
A. SO trong đó O là giao điểm của AC và BD.
B. SI trong đó I là giao điểm của AB và CD.
C. SE trong đó E là giao điểm của AD và BC.
D. Đáp án khác
Bài giải:
+ Ta có: S ∈ (SAC) ∩ (SBD) (1)
+ Trong mp (ABCD) gọi giao điểm của AC và BD là O. ( bạn đọc tự vẽ hình)
- Vì:
+ Từ (1) và (2) => SO = (SAC) ∩ (SBD)
Đáp án đúng là: A
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD)
A. SO trong đó O là giao điểm của AC và BD
B. SI trong đó I là giao điểm của AB và CD
C. SE trong đó E là giao điểm của AD và BC
D. Đáp án khác
Bài giải:
+ Ta có: S ∈ (SAB) ∩ (SCD) (1)
+ Trong mp (ABCD) gọi giao điểm của AB và CD là I. (bạn đọc tự vẽ hình)
Vì: 
+ Từ (1) và (2) => SI = (SAB) ∩ (SCD)
Đáp án đúng là: B
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và (GAB) là:
A. AN trong đó N là trung điểm CD
B. AM trong đó M là trung điểm của AB.
C. AH trong đó H là hình chiếu của A lên BG.
D. AK trong đó K là hình chiếu của C lên BD.
Bài giải:
+ Ta có: A ∈ (ABG) ∩ (ACD) (1)
+ Gọi N là giao điểm của BG và CD. Khi đó N là trung điểm CD.
Từ (1) và (2) => NA = (ABG) ∩ (ACD)
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 5: Cho điểm A không nằm trên mp (α) - chứa tam giác BCD. Lấy E; F là các điểm lần lượt nằm trên cạnh AB; AC. Khi EF và BC cắt nhau tại I; thì I không là điểm chung của 2 mặt phẳng nào sau đây?
A. (BCD) và (DEF)
B. (BCD) và (ABC)
C. (BCD) và (AEF)
D. (BCD) và (ABD)
Bài giải:
+ Do I là giao điểm của EF và BC nên I ∈ BC; I ∈ (BCD). (1)
+ Hơn nữa I ∈ EF mà
Từ (1) và (2) suy ra:
Đáp án đúng là: D
Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AC và CD. Giao tuyến của 2 mặt phẳng (MBD) và (ABN) là:
A. Đường thẳng MN
B. Đường thẳng AM
C. Đường thẳng BG (G là trọng tâm tam giác ACD)
D. Đường thẳng AH (H là trực tâm tam giác ACD)
Bài giải:
+ Ta có: B ∈ (MBD) ∩ (ABN). (1)
+ Vì M; N lần lượt là trung điểm của AC và CD nên suy ra AN và DM là hai trung tuyến của tam giác ACD. Gọi giao điểm của AN và DM là G. Khi đó: G là trọng tâm tam giác ACD
Từ (1) và (2) suy ra: BG = (ABN) ∩ (MBD)
Chọn C
Ví dụ 7: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB// CD). Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hình chóp S. ABCD có mặt bên
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO (O là giao điểm của AC và BD)
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI (I là giao điểm của AD và BC)
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung bình của ABCD
Bài giải:
+ Hình chóp S. ABCD có mặt bên (SAB), (SBC); (SCD) và (SAD) nên A đúng.
+ S và O là hai điểm chung của (SAC) và (SBD) nên B đúng.
+ S và I là hai điểm chung của (SAD) và (SBC) nên C đúng.
+ Giao tuyến của (SAB) và (SAD) là SA, rõ ràng SA không thể là đường trung bình của hình thang ABCD.
Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD và M là một điểm trên đoạn AO. Gọi I và J là hai điểm trên cạnh BC; BD. Giả sử IJ cắt CD tại K, BO cắt IJ tại E và cắt CD tại H, ME cắt AH tại F. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MIJ) và (ACD) là đường thẳng:
A. KM
B. AK
C. MF
D. KF
Bài giải:
+ Do K là giao điểm của IJ và CD nên: K ∈ (MIJ) ∩ (ACD) (1)
+ Ta có F là giao điểm của ME và AH
Mà AH ⊂ (ACD), ME ⊂ (MIJ) nên F ∈ (MIJ) ∩ (ACD) (2)
Từ (1) và (2) có (MIJ) ∩ (ACD) = KF
Đáp án đúng: D.
Ví dụ 9: Cho hình chóp S. ABCD. Gọi I là trung điểm của SD, J là điểm trên SC và không trùng trung điểm SC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (AIJ) là:
A. AK với K là giao điểm IJ và BC
B. AH với H là giao điểm IJ và AB
C. AG với G là giao điểm IJ và AD
D. AF với F là giao điểm IJ và CD
Bài giải:
+ A là điểm chung thứ nhất của (ABCD) và (AIJ)
+ IJ và CD cắt nhau tại F, còn IJ không cắt BC; AD; AB
Nên F là điểm chung thứ hai của (ABCD) và (AIJ)
Vậy giao tuyến của (ABCD) và (AIJ) là AF
Đáp án đúng là: D.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho tứ diện S. ABC. Lấy điểm E; F lần lượt trên đoạn SA; SB và điểm G trọng tâm tam giác ABC. Tìm giao tuyến của mp (EFG) và mp (SBC)
A. FM trong đó M là giao điểm của AB và EG.
B. FN trong đó N là giao điểm của AB và EF.
C. FT trong đó T là giao điểm của EG và SB.
D. Đáp án khác
+ Trong mp (SAB); gọi H là giao điểm của EF và AB.
+ Trong mp (ABC); gọi HG cắt AC; BC lần lượt tại I và J.
+ Ta có:
Và
Từ (1) và (2) suy ra: JF = (EFG) ∩ (SBC)
Chọn D
Câu 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M; N lần lượt là trung điểm AD và BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC) là:
A. SD
B. SO
C. SG (G là trung điểm của AB)
D. SF (F là trung điểm của MD)
+ Ta có: S ∈ (SMN) ∩ (SAC) (1)
+ Trong mặt phẳng (ABCD) có:
AM = NC = 1/2 AD và AM // NC
⇒ Tứ giác AM CN là hình bình hành.
Mà O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của MN (tính chất hình bình hành)
+ Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra: SO = (SAC) ∩ (SMN)
Chọn B
Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SA và SB; gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Tứ giác IJCD là hình thang
B. Giao tuyến của (SAB) và (IBC) là IB.
C. Giao tuyến của (SBD) và (JCD) là JD.
D. Giao tuyến của (IAC) và (JBD) là AO.
+ Ta có IJ là đường trung bình của tam giác SAB
⇒ IJ // AB
Mà AB // CD (vì ABCD là hình chữ nhật)
⇒ IJ // CD
⇒ Tứ giác IJCD là hình thang. Do đó A đúng.
+ Ta có:
I ∈ (SAB) ∩ (IBC) Và B ∈ (SAB) ∩ (IBC)
⇒ IB = (SAB) ∩ (IBC)
Do đó B đúng
+ Ta có:
J ∈ (SBD) ∩ (JBD) Và D ∈ (SBD) ∩ (JBD)
⇒ JD = (SBD) ∩ (JBD)
Do đó C đúng
+ Trong mặt phẳng (IJCD), gọi M là giao điểm của IC và JD
Khi đó: giao tuyến của (IAC) và (JBD) là MO
Do đó D sai
Chọn D
Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang (AD // BC). Gọi M là trung điểm CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC) là:
A. SI (I là giao điểm của AC và BM)
B. SJ (J là giao điểm của AM và BD)
C. SO (O là giao điểm của AC và BD)
D. SP (P là giao điểm của AB và CD)
+ Ta có:
S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SBM) và (SAC) (1)
+ Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra: SI = (SBM) ∩ (SAC)
Chọn A
Câu 5: Cho 4 điểm A; B; C; D không đồng phẳng. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (KAD) là
A. IK B. BC C. AK D. DK
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) là IK
Chọn A
Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy hình thang (AB // CD). Gọi I là giao điểm của AC và BD. Trên cạnh SB; lấy điểm M. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ADM) và (SAC).
A. SI
B. AE với E là giao điểm của DM và SI
C. DM
D. DE với E là giao điểm của DM và SI
+ Ta có: A ∈ (ADM) ∩ (SAC) (1)
+ Trong mặt phẳng (SBD), gọi E là giao điểm của SI và DM.
Ta có:
E ∈ SI ⊂ (SAC) nên E ∈ (SAC)
E ∈ DM ⊂ (ADM) nên E ∈ (ADM)
Do đó E ∈ (ADM) ∩ (SAC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EA = (ADM) ∩ (SAC)
Chọn B
Câu 7: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I và J là 2 điểm lần lượt trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD. Gọi H; K lần lượt là giao điểm của IJ với CD; MH và AC. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (ACD) và (IJM):
A. KI B. KJ C. MI D. MH
+ Trong mặt phẳng (BCD); ta có IJ cắt CD tại H nên H ∈ (ACD)
+ 3 điểm H; I và J thẳng hàng suy ra bốn điểm M; I; J; H đồng phẳng
⇒ Trong mặt phẳng (IJH), MH cắt IJ tại H và MH ⊂ (IJM) (1)
+ Mặt khác:
Từ (1) và (2) suy ra: MH = (ACD) ∩ (IJM)
Chọn D
Câu 8: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm trên đoạn thẳng AG, BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?
A. AM = (ACD) ∩ (ABG)
B. A; J; M thẳng hàng
C. J là trung điểm AM
D DJ = (ACD) ∩ (BDJ)
Chọn C
vậy A đúng
+ ba điểm A; J và M cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt (ACD) và (ABG) nên A; J; M thẳng hàng, vậy B đúng.
+ Vì I là điểm tùy ý trên AG nên J không phải lúc nào cũng là trung điểm của AM.
Câu 9: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang ABCD; AD//BC. Gọi I là giao điểm của AB và CD, M là trung điểm SC. DM cắt mặt phẳng (SAB) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?
A. S, I; J thẳng hàng
B. DM ⊂ mp (SCI)
C. JM ⊂ mp (SAB)
D. SI = (SAB) ∩ (SCD)
Chọn C
+ Ba điểm S; I và J thẳng hàng vì ba điểm cùng thuộc hai mp (SAB) và (SCD) nên A đúng
Khi đó; giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SI
⇒ D đúng
+ M ∈ SC ⇒ M ∈ (SCI) nên DM ⊂ mp (SCI), vậy B đúng
+ M ∉ (SAB) nên JM ⊄ mp (SAB). Vậy C sai