Đạo hàm cấp cao của hàm số - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
+ Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số y= f (x) có đạo hàm tại trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’= f’ (x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y= f (x) và được kí hiệu là y'' hay f'' (x), tức là: f''= (f')'.
+ Đạo hàm cấp n: Cho hàm số y= f (x) có đạo hàm cấp n-1 (với n thuộc số tự nhiên, n ≥ 2) là f(n-1)(x). Nếu f(n-1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số
y = f (x) và được kí hiệu là f(n), tức là: f( (n)) (x) = (f( (n-1)) (x))'
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số sau y = x10 + 9x2 + 8x + 10
A. 90x8 + 18
B. 10x9 + 18x
C. 9x8 + 18
D. Tất cả sai
Bài giải:
+ Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'= 10x9+ 18x + 8
⇒ Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''= (10x9+18x+8)' = 90x8+ 18
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= x8+ x4+x+ √x
Bài giải:
Hàm số có đạo hàm nếu x < 0.
+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:
Ví dụ 3. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y = sin (3x – 1)
A. – 27cos (3x- 1)
B. 27. cos (3x- 1)
C. 9. sin (3x- 1)
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đạo hàm cấp một của hàm số đã cho là: y' = 3 cos (3x-1)
Đạo hàm cấp hai của hàm số là; y'' = [3. cos (3x-1)]'= -9 sin (3x-1)
Đạo hàm cấp ba của hàm số là y''' = [-9 sin (3x-1)]'= -27 cos (3x-1)
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 4. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos (2x + x2)
A. - [cos (2x+ x2 ) (2+ 2x)2 + 2sin (2x+ x2)]
B. cos (2x+ x2) (2+ 2x)2 + 2sin (2x+ x2)
C. - [cos (2x+ x2) (2+ 2x)2 - 2sin (2x+ x2)]
D. - [cos (2x+ x2) (2+ 2x)2 + sin (2x+ x2 )]
Bài giải:
Đạo hàm cấp một của hàm số là:
y' = -sin (2x+ x2). (2x+ x2)'= -sin (2x+ x2). (2+2x)
Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
y''= [- sin (2x+ x2). (2+2x)]'
=- {[sin (2x+ x2)]'. ( 2+2x)+sin (2x+ x2 ). (2+2x)'}
= - {cos (2x+ x2). (2x+ x2) ' (2+ 2x)+ sin (2x+ x2). 2}
= - [cos (2x+ x2) (2+ 2x)2 + 2sin (2x+ x2)]
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 5. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= (x-1)/ (3x-6)?
Bài giải:
Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠2. Khi đó; đạo hàm cấp một của hàm số là
Ví dụ 6: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y = (2x+ x2) (x2 – 1)
A. 12+ 24x
B. 12x2 + 12x- 2
C. 12x+ 24
D. 6x+ 12
Bài giải:
Ta có: y = (2x + x2) (x2 - 1) = 2x3 - 2x + x4 – x2
+ Đạo hàm cấp một của hàm số là: y' = 6x2 - 2 + 4x3 - 2x
+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''= (6x2-2+4x3-2x)' = 12x + 12x2 - 2
+ Đạo hàm cấp ba của hàm số là: y''' = (12x + 12x2 - 2)' = 12 + 24x
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 7: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= √ (x2-1)
Bài giải:
Hàm số có đạo hàm khi x > 1 hoặc x < -1 (khi đó x2 -1> 0)
Ví dụ 8: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y = sin (2x - 1) – cos (2x - 4)
A. y’’= - 4sin (2x- 1)+ 4 cos (2x-4)
B. y’’= - 4sin (2x- 1)- 4 cos (2x-4)
C. y’’= 4sin (2x- 1)- 4 cos (2x-4)
D. y’’= 4sin (2x- 1)+ 4 cos (2x-4)
Bài giải:
Đạo hàm cấp một của hàm số là: y' = 2 cos (2x-1)+2sin (2x-4)
Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
y''= [2 cos (2x-1)+2 sin (2x-4)]' = - 4sin (2x- 1)+ 4 cos (2x-4)
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 9: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y = (x2+1)3.
A. 3. ( x2+1) 2+6x2 (x2+1)
B. 3. ( x2+1) 2+12x2 (x2+1)
C. 6. ( x2+1) 2-12x2 (x2+1)
D. 6. ( x2+1) 2+24x2 (x2+1)
Bài giải:
Đạo hàm cấp một của hàm số là: y' = 3 (x2+1)2. (x2+1)' = 6x. ( x2+1) 2
Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
y'' = 6. ( x2+1) 2 + 6x. [ (x2+1) 2]'
= 6. ( x2+1) 2 + 6x. 2 (x2+1). (x2+1)'
= 6. ( x2+1) 2 + 24x2 (x2+1)
Đáp án đúng là: D.
Ví dụ 10: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= √ (x3+ 2x2)
Bài giải:
Ví dụ 11. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y = tan2x
Bài giải:
Đạo hàm cấp một của hàm số là: y' = 2 (1 + tan2 2x)
Đạ hàm cấp hai của hàm số là:
y'' = 2. ( 1+tan2 2x)’= 2.2. tan2x. ( tan2x)’
= 4tan2 x (1+ tan22x). (2x)’
= 8tan2x (1+ tan22x)
= 8. tan2x+ 8tan32x
Đạo hàm cấp ba của hàm số là:
Ví dụ 12: Tính đạo hàm cấp bốn của hàm số y = 1/x
Bài giải:
Hàm số có đạo hàm tại điểm x≠0
Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'= (- 1)/x2
Ví dụ 13: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = 1/ (x2-5x+6)
Bài giải:
Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠2; x≠3
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số sau y = x9 – x4 + 8x2+ 3
A. 504x6 - 24x
B. 72x6 - 24x+ 3
C. 72x7 - 24x+ 3
D. Tất cả sai
+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:
y'= 9x8 -4x3 + 16x
+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
y''= (9x8-4x3+16x)' = 72x7 – 12x2 + 16
+ Đạo hàm cấp ba của hàm số là:
y'''=504x6-24x
Chon A.
Câu 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= x7-2x2+9x+ 2√x
Hàm số có đạo hàm nếu x > 0.
+ Đạo hàm cấp một của hàm số là
Câu 3: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y=2 cos (10- 2x)
A. –16 sin (10- 2x)
B. – 16 cos (10- 2x)
C. - 8. sin (10- 2x)
D. Đáp án khác
Đạo hàm cấp một của hàm số đã cho là: y^'=4sin (10-2x)
Đạo hàm cấp hai của hàm số là; y''= [4. sin (10-2x)]'= -8 cos (10-2x)
Đạo hàm cấp ba của hàm số là y''^'= [-8 cos (10-2x)]'= -16 sin (10-2x)
Chọn A.
Câu 4: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= sin (x2- 9)
A. 4x2. sin (x2 – 9) - 2. cos (x2 – 9)
B. - 2x2. sin (x2 – 9)+ 2. cos (x2 – 9)
C. - 4x2. sin (x2 – 9)+ 2. cos (x2 – 9)
D. Đáp án khác
Đạo hàm cấp một của hàm số là:
y'=cos (x2-9). (x2-9)'=cos (x2-9).2x
Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
y''= [cos (x2-9)]'. 2x+cos (x2-9). (2x)'
⇔ y''=-2x. sin (x2-9).2x+2 cos (x2-9) = - 4x2. sin (x2 – 9)+ 2. cos (x2– 9)
Chọn C.
Câu 5: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = (x+3)/ (x-6)?
Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠6. Khi đó; đạo hàm cấp một của hàm số là:
Câu 6: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= (x3 – 1) (x+1)
A. 12+ 24x
B. 24x+ 6
C. 12x+ 24
D. 24x+ 12
Ta có: y = (x3 – 1)( x+1)= x4 + x3 – x- 1
+ Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=4x3+3x2-1
+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''= (4x3+ 3x2-1)'=12x2+6x
+ Đạo hàm cấp ba của hàm số là: y'''= (12x2+6x)'=24x+6
Chọn B.
Câu 7: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y = x. sinx
A. cosx + x. sinx
B. 2sinx+ x. cosx
C. 2cosx- x. sinx
D. Đáp án khác
+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:
y'= (x)'. sinx+x. ( sinx)' = sinx+ x. cosx
+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
y''= (sinx+ x. cosx)'=cosx+ (x)'. cosx+x. (cosx)'
=cosx+cosx-x. sinx=2. cosx-x. sinx
Chọn C
Câu 8: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= 3cos (x+ 1) - 8. sin (3x+ 10)
A. y''= -3 cos (x+1)+72 sin (3x+10)
B. y''= -3 cos (x+1)+36 sin (3x+10)
C. y''= -3 cos (x+1) -72sin (3x+10)
D. Tất cả đều sai
Đạo hàm cấp một của hàm số là:
y'= -3 sin (x+1)-24 cos (3x+10)
Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
y''= -3 cos (x+1)+72 sin (3x+10)
Chọn A.
Câu 9: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= (x3+2x-1)2.
A. y''= (3x2+2)( 6x2+4)- (x3+2x-1).12x
B. y''= (3x2+2)( 3x2+2)+ (x3+2x-1).12x
C. y''= (3x2+2)( 6x2+4)+ (x3+2x-1).12x
D. Tất cả sai
Đạo hàm cấp một của hàm số là:
y'=2 (x3+2x-1). (x3+2x-1)^'
=2. (x3+2x-1). (3x2+2)= (x3+2x-1). (6x2+4)
Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
y''= (x3+2x-1)' (6x2+4)+ (x3+2x-1). (6x2+4)'
⇔ y''= (3x2+2)( 6x2+4)+ (x3+2x-1).12x
Chọn C.
Câu 10: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= √ (2x+1)+x2
Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x > 1/2
Câu 11: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y = cot (2- 2x)
Đạo hàm cấp một của hàm số là:
y'=- [1+cot2 (2- 2x)] (2-2x)'= 2 [1+ cot2 (2-2x)])
Đạ hàm cấp hai của hàm số là:
y''=2 [1+cot2 (2- 2x)]’ = 2.2. cot (2- 2x). [cot (2-2x)]'
y''=4 cot (2-2x). [-1 (1+ cot2 (2-2x)]. ( 2-2x)'
⇔ y''=8 cot (2-2x) [1+ cot2 (2-2x)] = 8cot (2- 2x)+ 8cot3( 2- 2x)
Đạo hàm cấp ba của hàm số là:
y'''= (8 cot (2- 2x)+8cot3 (2- 2x)) '
Câu 12: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= 1/ (2x-2)
Hàm số có đạo hàm tại điểm x≠1
Câu 13: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos (x2+x+ 1)
A. y''= -cos (x2+x+1). (2x+1) 2 – 2 sin (x2 + x+ 1)
B. y''= cos (x2+x+1). (2x+1) 2 + 2 sin (x2 + x+ 1)
C. y''= -cos (x2+x+1). (2x+1) 2 - sin (x2 + x+ 1)
D. Tất cả sai
Đạo hàm cáp một của hàm số là:
y'= -sin (x2+x+1). (x2+x+1)'= -sin (x2+x+1). (2x+1)
Đạo hàm cấp hai của hàm số là;
y''= [-sin (x2+x+1)]'. (2x+1)+ [-sin (x2+x+1)]. (2x+1)'
⇔ y''= -cos (x2+x+1). (2x+1) 2 – 2 sin (x2 + x+ 1)
Chọn A
Câu 14: Tính đạo hàm cấp 4 của hàm số; y= (x2+x+1)/ (x+1)
Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x≠-1
Câu 15: Cho hàm số: y=sin (3x- π/3). Tính đạo hàm cấp năm của hàm số
Đạo hàm cấp một là; y'=3. cos (3x- π/3)
Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''=-9. sin (3x- π/3)
Đạo hàm cấp ba của hàm số là: y'''=-27. cos (3x- π/3)
Đạo hàm cấp bốn của hàm số: y( (4))=81 sin (3x- π/3)
Đạo hàm cấp năm của hàm số: y( (5))=243. cos (3x- π/3)