Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
+ Cho một phương trình lượng giác để quy phương trình đó về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ta cần: sử dụng các công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng...
+ Sau đó; áp dụng cách giải phương trình phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác để giải phương trình
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Phương trình 
có nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Hướng dẫn:
Ví dụ 2: Giải phương trình sinx. cosx. (2cosx -1) = 0
A. 
B.
C. 
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Hướng dẫn:
Ta có: sinx. cosx. (2cosx-1)=0
⇒ 2sinx. cosx. ( 2cosx- 1) = 0
⇒ sin2x. (2cosx- 1) = 0
+ Trường hợp 1. Nếu sin2x = 0 ⇒ 2x = k. π nên x = kπ/2
+ trường hợp 2. Nếu 2cosx - 1 ⇒ cosx = 1/2 = cos π/3
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là kπ/2; π/3 + k2π và (-π)/3 + k2π
Ví dụ 3: Nghiệm của phương trình sinx. cosx = 1 là:
A. x = k2π.
B. x = π /4 + kπ.
C. Phương trình vô nghiệm
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Ta có: sinx. cosx = 1 ⇒ 2sinx. cosx = 2
⇒ sin2x = 2 (vô lí vì với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sin2x ≤ 1)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Ví dụ 4: Giải phương trình 8. sin x. cosx. cos2x + 1 = 0
A. 
B. 
C. 
D.
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Ta có: 8sinx. cosx. cos2x + 1 = 0
4sin2x. cos2x + 1 = 0 (vì 2sinx. cosx = sin2x)
2. sin4x + 1 = 0 (vì 2. sin2x. cos2x = sin4x)
sin 4x = (- 1)/2 = sin (-π)/6
Ví dụ 5: Giải phương trình
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Ta có:
Ví dụ 6: Giải phương trình cot2x. cotx = 1.
A. 
B. 
C. 
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: D.
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 7: Nghiệm của phương trình tan3x. cot2x = 1 là:
A. 
B. 
C. k <
D. Vô nghiệm.
Bài giải:
Đáp án đúng là: D.
Hướng dẫn:
Điều kiện:
Ta có: tan3x. cot 2x = 1
⇒ tan 3x = 1/cot2x
⇒ tan 3x = tan 2x (vì tan2x. cot 2x = 1)
⇒ 3x = 2x + kπ
⇒ x = kπ
Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 8. Phương trình: 
có nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Đáp án đúng là: B
Hướng dẫn:
Ta có:
Ví dụ 9. Nghiệm của phương trình cos4 x - sin4x là:
Bài giải:
Đáp án đúng là: D.
Hướng dẫn:
Ta cos: cos4 x - sin4 x = 0
⇒ (cos2 x - sin2 x) (cos2 x + sin2 x) = 1
⇒ cos2x - sin2 x = 1 (vì cos2x + sin2 x = 1)
⇒ cos2x = 1
⇒ 2x = k2π
⇒ x = kπ
Ví dụ 10: Phương trình 4cos2 x – 2sin2 x = 0 tương đương với phương trình nào sau đây?
A. 1 + 2sin2x = 0
B. 2 - 4sin2x = 0
C. 1 + 3cos2x = 0
D. 1 - 2cos2x = 0
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức hạ bậc ta có:
4cos2 x – 2sin2 x = 0
⇒ 2. (1 + cos2x) – (1 – cos2x) = 0
⇒ 1 + 3cos2x = 0
Ví dụ 11: Phương trình: 
có nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D.
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Điều kiện
So sánh với điều kiện, ta nhận x = π/6 + k. π/3.
Ví dụ 12. Phương trình sin3x + cos3 x + sin2x. cosx + cos2 x. sinx = 
có nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Điều kiện: 
Ta có: sin3x + cos3 x + sin3x. cosx + cos3x. sinx = 
⇒ (sinx + cosx). (sin2 x - sinx. cosx + cos2x) + sinx. cosx (sinx + cosx)= I
⇒ (sinx + cosx). (1 – sinx. cosx) + sinx. cosx. ( sinx + cosx) =
⇒ (sinx + cosx). (1- sinx. cosx + sinx. cosx) =
⇒ sinx + cosx =
⇒ (sinx + cosx)2 = 2sin2x
⇒ sin2x + cos2x + 2sinx. cosx = 2sin2x
⇒ 1+ sin2x = 2sin2x
⇒ sin2x= 1
⇒ 2x = π/2 + k2π
⇒ x = π/4 + kπ
So sánh điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x = π/4 + kπ
Ví dụ 13. Phương trình 
có nghiệm là:
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. Vô nghiệm.
Bài giải:
⇒ 1- 2sin2 x. cos2x= sin2x+ cos2x
⇒ 1- 2sin2 x. cos2 x= 1
⇒ 2sin2x. cos2 x= 0 ⇒ sinx. cosx=0
⇒ sin2x= 0 ⇒ 2x=kπ
⇒ x= kπ/2 (không thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 14. Giải phương trình: cos2x. cosx + sin3x. cosx = sin2x. sinx – sinx. cos3x
A. 
B. 
C. 
D.
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Ta có: cos2x. cosx + sin3x. cosx= sin2x. sinx – sinx. cos3x
⇒ (cos2x. cosx – sin2x. sinx)+ (sin3x. cosx + sinx. cos3x) = 0
⇒ cos3x + sin4x= 0 ⇒ cos 3x = -sin 4x
⇒ cos3x= cos (π/2+4x)
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:Nghiệm của phương trình 
là:
A. 
B. 
C.
D. 
Chọn A.
Câu 2:Phương trình (2sinx+1). (4cosx- 4) = 0 có nghiệm là
A. 
B. 
C. 
D. 
Chọn B
Câu 3: Nghiệm của phương trình sinx. cosx = cos (π/2-2x) là:
A. x = kπ
B. x = kπ /2
c. x = kπ /8
D. x = kπ /4
Chọn B.
Câu 4: Giải phương trình: cos3x. cos 5x = cosx. cos7x.
A. x = kπ
B. x = kπ/4
C. x = kπ/2
D. Đáp án khác
Ta có: cos 3x. cos 5x= cos x. cos 7x
⇒ 1/2 (cos8x+cos2x)= 1/2 (cos8x+cos6x)
⇒ cos8x+ cos2x= cos8x + cos6x
⇒ cos 2x= cos 6x
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= kπ/4
Chọn B.
Câu 5:Tất cả các nghiệm của phương trình 
là
A. 
B. 
C. 
D. 
Chọn A.
Câu 6:Giải phương trình 2sinx. cosx. (1+tanx). (1+cotx)= 2
A. x = k. π
B. x = k2π.
C. x = kπ/2.
D. Phương trình vô nghiệm
Điều kiện:
⇒ (sinx+ cosx)2 = 1
⇒ sin2 x+ cos2 x+ 2sinx. cosx =1
⇒ 1+ 2sinx. cosx=1 ⇒ 2sinx. cosx= 0
⇒ sin2x= 0 (loại vì không thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trìn đã cho vô nghiệm.
Chọn C.
Câu 7: Nghiệm của phương trình sin 3x. cos 2x = 1/2 sin 5x
A. 
B. 
C. 
D. x = kπ
Ta có: sin3x. cos2x= 1/2. sin 5x
⇒ 1/2 (sin5x + sinx) = 1/2 sin5x
⇒ 1/2 sinx= 0 ⇒ sinx=0
⇒ x=k. π
Chọn D.
Câu 8: Giải phương trình cos 4x+ cos 6x = cosx
A. 
B. 
C.
D. 
Ta có; cos 4x + cos6x= cosx
⇒ 2. cos 5x. cosx – cosx= 0
⇒ cos x. (2cos5x- 1) = 0
Chọn D.
Câu 9: Giải phương trình 
có các nghiệm là;
A. 
B.
C. 
D. 
Chọn A.
Câu 10: Tìm nghiệm của phương trình của phương trình 
A. 
B. 
C.
D.
Chọn B.
Câu 11: Giải phương trình sin4x + cos4 x= 3/4
A. 
B. 
C. 
D. 
Chọn C.
Câu 12: Phương trình 
có nghiệm là:
A. 
B. 
C.
D.
Chọn B
