Tính đơn điệu của hàm số lượng giác - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
+ Hàm số y= sinx đồng biến trên mỗi khoảng ((- π)/2+k2π; π/2+k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (( π)/2+k2π; 3π/2+k2π)với k ∈ Z.
+ Hàm số y= cosx đồng biến trên mỗi khoảng (-π+k2π; k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π+k2π) với k ∈ Z.
+ Hàm số y= tanx đồng biến trên mỗi khoảng ((-π)/2+kπ; π/2+kπ) với k ∈ Z.
+ Hàm số y= cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π+ kπ)với k ∈ Z.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số y = sinx. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (π/2; π), nghịch biến trên khoảng (π; 3π/2).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3π/2; -π/2), nghịch biến trên khoảng (-π/2; π/2).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; π/2), nghịch biến trên khoảng (-π/2; 0).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-π/2; π/2), nghịch biến trên khoảng (π/2; 3π/2).
Lời giải:
Chọn D
Hàm số y= sinx đồng biến khi x thuộc góc phần tư thứ I và thứ IV;
nghịch biến khi x thuộc góc phần tư thứ II và thứ III.
Ví dụ 2: Bảng biến thiên của hàm số y=f (x)=cos2x trên đoạn [-π/2; 3π/2] là:
A. 
B.
C.
D. 
Bài giải:
Đáp án đúng là: A
Giải thích:
Ta có thể loại luôn phương án B, C; D vì: Tại f (0) = cos0 = 1 và y = f (π) = cos2π = 1.
Các bảng biến thiên B; C; D đều không thỏa mãn.
Ví dụ 3: Cho hàm số y=cos (x/2). Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-π; π] là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Đáp án đúng là: C
Giải thích:
Ta có thể loại luôn đáp án A và B vì: f (π/2) = cos (π/4) = √ 2/2.
Tiếp theo xét giá trị hàm số tại hai đầu mút có: f (-π)=f (π)=0 thì ta loại đáp án D.
Ví dụ 4: Xét hàm số y= sinx trên đoạn [-π; 0]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-π; -π/2) và (-π/2; 0).
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-π; -π/2); nghịch biến trên khoảng (-π/2; 0).
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-π; -π/2); đồng biến trên khoảng (-π/2; 0).
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-π; -π/2) và (-π/2; 0).
Bài giải:
Đáp án đúng là: C
Giải thích:
Cách 1: Từ lý thuyết về các hàm số lượng giác cơ bản ở trên ta có hàm số y = sinx nghịch biến trên khoảng (-π; -π/2) và đồng biến trên khoảng (-π/2; 0)
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Do ở đề bài, các phương án A, B, C, D chỉ xuất hiện hai khoảng là (-π; -π/2) và (-π/2; 0)
nên ta sẽ dùng máy tính cầm tay chức năng MODE 7: TABLE để giải bài toán.
+ Ấn MODE → 7
Máy hiện F (X)= thì ta nhập sinX ⇒ START? Nhập -π END? Nhập 0 STEP? Nhập π/10
Lúc này từ bảng giá trị của hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (-π; -π/2) và đồng biến trên khoảng (-π/2; 0).
Ví dụ 5: Xét hàm số y= cosx trên đoạn [-π; π]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-π; 0) và (0; π).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-π; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; π).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-π; 0) và đồng biến trên khoảng (0; π).
D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng (-π; 0) và (0; π).
Bài giải:
Đáp án đúng là: B
Giải thích:
Theo lý thuyết ta có hàm số y= cosx đồng biến trên mỗi khoảng (-π+k2π; k2π) và nghịch biến trên khoảng (k2π; π+k2π) k ∈ Z
Từ đây ta có với k=0 hàm số y= cosx đồng biến trên khoảng (-π; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; π)
Ví dụ 6: Với k ∈ Z, kết luận nào sau đây về hàm số y= tan2x là sai?
A. Hàm số y= tan 2x tuần hoàn với chu kỳ T= π/2.
B. Hàm số y= tan2x luôn đồng biến trên mỗi khoảng (-π/2+kπ/2; π/2+kπ/2).
C. Hàm số y= tan2x nhận đường thẳng x= π/4+kπ/2 là một đường tiệm cận.
D. Hàm số y= tan2x là hàm số lẻ.
Bài giải:
Kết luận sai là: B
Giải thích:
Ta thấy hàm số y= tan2x luôn đồng biến trên mỗi khoảng (-π/2+kπ; π/2+kπ/),
⇒ Hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng -π/2+kπ< 2x< π/2+kπ
⇒ -π/4+kπ/2 < x< π/4+kπ/2.
=> B là sai.
Ví dụ 7: Hãy chọn mệnh đề sai: Trong khoảng (π/2+k2π; π+k2π) thì:
A. Hàm số y = sinx là hàm số nghịch biến.
B. Hàm số y= cosx là hàm số nghịch biến.
C. Hàm số y= tanx là hàm số đồng biến.
D. Hàm số y= cot x là hàm số đồng biến.
Bài giải:
Mệnh đề sai là: D
Giải thích:
Thật vậy với 2π/3; 3π/4 ∈ (-π/2; π) ta có:
2π/3 < 3π/4 ⇒ cot2π/3=-√ 3/3%nbsp; > -1=cot3π/4
Ví dụ 8: Trong khoảng (0; π/2), hàm số y= sinx- cosx là hàm số:
A. Đồng biến.
B. Nghịch biến.
C. Không đổi.
D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến.
Bài giải:
Đáp án đúng là: A
Giải thích:
Cách 1: Ta thấy trên khoảng (0; π/2) hàm f (x)= sinx đồng biến và hàm g (x)= - cosx đồng biến. suy ra trên (0; π/2) hàm số y= sinx- cosx đồng biến.
Cách 2: Sử dụng máy tính. Dùng TABLE ta xác định được hàm số y= sinx- cosx tăng trên (0; π/2)
Ví dụ 9: Xét sự biến thiên của hàm số y=tan2x trên một chu kì tuần hoàn. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; π/4) và (π/4; π/2).
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; π/4) và nghịch biến trên khoảng (π/4; π/2).
C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng (0; π/2).
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; π/4) và đồng biến trên khoảng (π/4; π/2).
Bài giải:
Đáp án đúng là: A
Giải thích:
Tập xác định của hàm số đã cho là D=R\ {π/4; π/2}
Hàm số y= tan2x tuần hoàn với chu kì π/2 dựa vào các phương án A; B; C; D thì ta sẽ xét tính đơn điệu của hàm số trên (0; π/2)\ {π/4}
Dựa theo kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số y= tanx ở phần lý thuyết ta có thể suy ra với hàm số y = tan2x đồng biến trên khoảng (0; π/4) và (π/4; π/2)
Ví dụ 10: Xét sự biến thiên của hàm số y= 1 - sinx trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các kết luận sau, kết luận nào sai?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-π/2; 0).
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; π/2).
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (π/2; π)
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (π/2; 3π/2)
Bài giải:
Đáp án đúng là: D
Giải thích:
Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2π và kết hợp với các phương án đề bài thì ta sẽ xét sự biến thiên của hàm số trên [π/2; 3π/2]
Ta có hàm số: y=sinx
* Đồng biến trên khoảng (-π/2; π/2)
* Nghịch biến trên khoảng (π/2; 3π/2)
=> Hàm số y=1- sinx
* Nghịch biến trên khoảng (-π/2; π/2)
* Đồng biến trên khoảng (π/2; 3π/2)
Dưới đây là đồ thị của hàm số y= 1- sinx và hàm số y= sinx trên R
Ví dụ 11: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. y=|tanx| đồng biến trong [-π/2; π/2].
B. y=|tanx| là hàm số chẵn trên D= D=R\ {π/2+kπ} k ∈ Z.
C. y=|tanx| có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
D. y=|tanx| luôn nghịch biến trong (-π/2; π/2).
Bài giải:
Khẳng định đúng là: B
Giải thích:
Ta được đồ thị như hình vẽ trên.
+ Ta thấy hàm số y=|tanx| nghịch biến trên (-π/2; 0) và đồng biến trên (0; π/2) => Loại A và D
+ Với B ta có f (-x)= |tan (-x)|=|tanx|=f (x) ⇒ hàm số y=|tanx| là hàm số chẵn.
⇒ B đúng
+ Với C ta thấy đồ thị hàm số đã cho không đối xứng qua gốc tọa độ.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Chọn mệnh đề đúng?
A. Hàm số y= tanx luôn luôn tăng.
B. Hàm số y= tanx luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số y= tanx tăng trong các khoảng (π+k2π; 2π+k2π), k ∈ Z.
D. Hàm số y= tanx tăng trong các khoảng (k2π; π+k2π), k ∈ Z
Chọn B
+Với A ta thấy hàm số y= tanx không xác định tại các điểm
x= π/2+kπ (k ∈ Z) nên tồn tại các điểm làm
cho hàm số bị gián đoạn
⇒ hàm số không thể luôn tăng.
+ Với B ta thấy B đúng vì hàm số y= tanx đồng biến trên mỗi khoảng xác định: (-π/2+kπ; π/2+kπ), k ∈ Z
Từ đây loại C và D
Câu 2:Với x ∈ (31π/4; 33π/4), mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số y= cot x nghịch biến.
B. Hàm số y= tanx nghịch biến.
C. Hàm số y= sinx đồng biến.
D. Hàm số y= cosx nghịch biến.
Bài giải:
Chọn C
Ta có (31π/4; 33π/4)= (-π/4+8π; π/4+8π) thuộc góc phần tư thứ I và II.
Mà hàm số y=sinx đồng biến ở góc phần tư thứ I và II.
⇒ hàm số y= sin x đồng biến trên khoảng đã cho.
Câu 3:Cho x ∈ (0; π/4), mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Cả hai hàm số y= -sin 2x và y= - 1+ cos2x đều nghịch biến.
B. Cả hai hàm số y= - sin2x và y= - 1+ cos2x đều đồng biến.
C. Hàm số y= - sin2x nghịch biến, hàm số y= -1+ cos2x đồng biến.
D. Hàm số y= - sin2x đồng biến, hàm số y= - 1+ cos2x nghịch biến.
Chọn A
Ta có x ∈ (0; π/4) ⇒ 2x ∈ (0; π/2) thuộc góc phần tư thứ I. Do đó:
+ Hàm số y= sin2x đồng biến ⇒ y= - sin2x nghịch biến.
+Hàm số y= cos2x nghịch biến ⇒ y= - 1+ cos2x nghịch biến.
Câu 4:Hàm số y= sin 2x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. (0; π/4).
B. (π/2; π).
C. (π; 3π/2).
D. (3π/2; 2π).
Chọn A
Ta thấy x ∈ (0; π/4) ⇒ 2x ∈ (0; π/2) thuộc góc phần tư thứ I.
Do đó hàm số y= sin2x đồng biến.
Câu 5:Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng (-π/3; π/6)?
A. y=tan (2x+π/6).
B. y=cot (2x+π/6).
C. y=sin (2x+π/6).
D. y=cos (2x+π/6).
Chọn C
Ta có x ∈ (-π/3; π/6) ⇒ (2x+π/6) ∈ (-π/2; π/2) thuộc góc phần tư thứ VI và thứ I.
Do đó hàm số y=sin (2x+π/6) đồng biến trên khoảng (-π/3; π/6).
Câu 6:Với x ∈ (31π/4; 33π/4), mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số y= cot x nghịch biến.
B. Hàm số y= tanx nghịch biến.
C. Hàm số y= sinx đồng biến.
D. Hàm số y= cosx nghịch biến.
Chọn C
Ta có (31π/4; 33π/4)= (-π/4+8π; 8π+π/4) thuộc góc phần tư thứ I và IV.
⇒ Hàm số y= sinx đồng biến trên khoảng đó.
Câu 7:Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng (-π/3; π/6)?
A. y=tan (2x+π/6).
B. y=cot (2x+π/6).
C. y=sin (2x+π/6).
D. y=cos (2x+π/6).
Chọn C
Ta có x ∈ (-π/3; π/6) ⇒ (2x+π/6) ∈ (-π/2; π/2) thuộc góc phần tư thứ VI và thứ I.
Do đó hàm số y=sin (2x+π/6) đồng biến trên khoảng (-π/3; π/6).
Câu 8:Hàm số y= cos2x nghịch biến trên khoảng (k ∈ Z)?
A. (kπ; π/2+kπ).
B. (π/2+kπ; π+kπ).
C. (-π/+k2π; π/2+k2π).
D. (π/2+k2π; 3π/2+k2π).
Chọn A
Hàm số y= cos2x nghịch biến khi và chỉ khi:
k2π< 2x< π+k2π ⇒ kπ< x< π/2+kπ, k ∈ Z
Câu 9:Xét các mệnh đề sau:
(I):∀ x ∈ (π; 3π/2): Hàm số y=1/sinx giảm.
(II):∀ x ∈ (π; 3π/2): Hàm số y=1/cosx giảm.
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên:
A. Chỉ (I) đúng.
B. Chỉ (II) đúng.
C. Cả hai đúng.
D. Cả hai sai.
Chọn B
∀ x ∈ (π; 3π/2): Hàm số y= sinx giảm và sin x< 0 ∀ x ∈ (π; 3π/2),
suy ra y=1/sinx tăng:
⇒ Câu (I) sai
+∀ x ∈ (π; 3π/2): Hàm số y= cosx tăng và cos< 0, ∀ x ∈ (π; 3π/2),
suy ra hàm y=1/cosx giảm.
Câu (II) đúng.
Câu 10: Cho hàm số y=4sin (x+π/6)cos (x-π/6)-sin2x. Kết luận nào sau đây là đúng về sự biến thiên của hàm số đã cho?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (0; π/4) và (3π/4; π).
B. Hàm số đã cho đồng biến trên (0; π).
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; 3π/4).
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; π/4) và nghịch biến trên khoảng (π/4; π).
Chọn A
Ta có y=4sin (x+π/6)cos (x-π/6) -sin2x = 2 (sin2x+sinπ/3)-sin2x=sin2x+√ 3.
Xét sự biến thiên của hàm số y=sin2x+√ 3, ta sử dụng TABLE để xét các mệnh đề.
Ta thấy với trên (0; π/4) thì giá trị của hàm số luôn tăng.