Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

+ Phương trình a. sinx + b = 0 hoặc a. cosx + b = 0 (với a ≠ 0) có nghiệm nếu:

- 1 ≤ sinx (hoặc cosx) ≤ 1.

+ Xét phương trình a. sin² x + bsinx + c = 0 hoặc a. cos² x + b. cosx + c = 0 (với a ≠ 0):

Đặt sinx = t (hoặc cosx = t) phương trình đã cho trở thành: at² + bt + c = 0 (*)

Để phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm t₀ thỏa mãn điều kiện -1 ≤ t₀ ≤ 1

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho phương trình 2sinx + cos90⁰ = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. - 2 ≤ m ≤ 2

B. - 1 ≤ m ≤ 1

C. - 4 ≤ m ≤ 4

D. Đáp án khác

Bài giải:

Đáp án đúng là: A.

Hướng dẫn:

Ta có: 2sinx + cos90⁰ = m

⇒ 2sinx + 0 = m

⇒ sinx = m/2 (*)

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1

⇒ Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: - 1 ≤ m/2 ≤ 1 ⇒ - 2 ≤ m ≤ 2

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:

có nghiệm

A. 2

B. 4

C. 3

D. 1

Bài giải:

Đáp án đúng là: C.

Hướng dẫn:

Ta có:

⇒ sinx - 2sinx = m

⇒ - sinx = m

⇒ sinx = - m

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1

⇒ Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: - 1 ≤ -m ≤ 1 ⇒ - 1 ≤ m ≤ 1

⇒ m∈ {-1; 0; 1}

Ví dụ 3. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình:

sin2x - 2 (m - 1)sinxcos - (m - 1)cos2x = m có nghiệm?

A. 0≤ m≤ 1

B. m > 1

C. 0 < m < 1

D. m≤ 0

Bài giải:

Đáp án đúng là: A.

Hướng dẫn

Ta có: sin2 x - 2 (m - 1) sinx. cosx – (m – 1) cos2 x = m

⇒ 1 - cos2x - 2 (m - 1). sin2x - (m - 1). (1 + cos2x) = 2m

⇒ 1 - cos2x - 2 (m - 1)sin2x – m + 1 – (m - 1).cos2x – 2m = 0

⇒ -2 (m - 1) sin2x – mcos2x = 3m - 2

Để phương trình có nghiệm

Ví dụ 4. Để phương trình: sin² x+2 (m+1).sinx – 3m (m-2)= 0 có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Bài giải:

Đáp án đúng là: B.

Hướng dẫn:

Đặt t = sinx.

Điều kiện.

Phương trình có dạng: t² + 2 (m + 1).t – 3m (m - 2) = 0 (1).

Đặt f (t) = t² + 2 (m + 1)t – 3m (m - 2).

Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn [-1; 1] khi phương trình (1) có một nghiệm thuộc [-1; 1] hoặc có hai nghiệm thuộc [-1; 1]

Ví dụ 5: Để phương trình: có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số là:

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

=> Phương trình (1) trở thành: 3t²+ 4at – 4= 0 (2).

Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm trong đoạn.

Xét phương trình (2), ta có:

nên (2) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Ví dụ 6: Cho phương trình cos⁶ x + sin⁶ x = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 1/4 ≤ m ≤ 1

B. 1/2 ≤ m ≤ 1

C. 1/2 ≤ m ≤ 2

D. Đáp án khác

Bài giải:

Đáp án đúng là: B.

Hướng dẫn:

Ta có: cos⁶ x + sin⁶ x= m

⇒ (cos² x+ sin² x). (cos⁴ x – cos²x. sin² x+ sin⁴ x) =m

⇒ 1. [ (cos²x+ sin² x)² – 3. cos² x. sin² x= m

Ta luôn có: - 1 ≤ sin2x ≤ 1 nên 0 ≤ sin² 2x ≤ 1

=> Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm:

Ví dụ 7. Cho phương trình: 4 (sin⁴ x + cos⁴ x) - 8 (sin⁶ x + cos⁶ x) - 4sin² 4x = m, trong đó m là tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: D.

Hướng dẫn:

Ta có:

+ Ta tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. Rồi từ đó suy ra các giá trị của m để phương trình đã cho vô nghiệm.

(1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm thoả t₀ thuộc [-1; 1].

Ví dụ 8. Cho phương trình cos (x - 30⁰) + sin (x + 60⁰) = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 0 ≤ m ≤ 1

B. -1 ≤ m ≤ 2

C. - 1 ≤ m ≤ 1

D. Đáp án khác

Bài giải:

Đáp án đúng là: C.

Hướng dẫn:

Ta có: cos (x - 30⁰) - sin (x + 60⁰) + sinx = m

⇒ cosx. cos30⁰+ sinx. sin30⁰ - sinx. cos60⁰ - cosx. sin60⁰ + sinx = m

⇒ sinx = m (*)

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

⇒ - 1 ≤ m ≤ 1

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho phương trình: cosx. sinx – 2m – 2sinx + m. cosx = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.

A. 0 ≤ m ≤ 1

B. -1 ≤ m ≤ 2

C. - 2 ≤ m ≤ 1

D. -1 ≤ m ≤ 1

Hiển thị lời giải

Ta có: cosx. sinx – 2m -2sinx + m. cosx = 0

⇒ (cosx. sinx -2sinx) + (m. cosx – 2m) = 0

⇒ sinx (cosx- 2) + m (cosx- 2) = 0

⇒ (sinx + m). (cosx- 2) = 0

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình sinx= - m có nghiệm

⇒ - 1 ≤ m ≤ 1

Chọn D.

Câu 2: Cho phương trình cos2x + 4cosx + m = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. -7 ≤ m ≤ 1

B. -5 ≤ m ≤ 2

C. – 6 ≤ m ≤ 2

D. - 4 ≤ m ≤ 2

Hiển thị lời giải

Ta có: cos2x + 4cosx + m=0

⇒ 2cos² x – 1+ 4cosx+ m= 0

⇒ 2cos² x+ 4cosx + 2 + m-3= 0

⇒ 2 (cosx+ 1)² + m- 1= 0

⇒ 2 (cosx+1)² = 1- m

⇒ (cosx+ 1)² = (1-m)/2 (*)

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cosx+1 ≤ 2

⇒ 0 ≤ (cosx+1)² ≤ 4

Do đó để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

⇒ 0 ≤ (1-m)/2 ≤ 4 ⇒ 0 ≤ 1-m ≤ 8

⇒ - 7 ≤ m ≤ 1

Chọn A.

Câu 3: Cho phương trình cos (x + y) – cos (x - y) = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.

A. -3 ≤ m ≤ 1

B. -2 ≤ m ≤ 2

C. – 3 ≤ m ≤ 1

D. - 4 ≤ m ≤ 2

Hiển thị lời giải

Ta có: cos (x+ y) – cos (x- y) = m

⇔ cosx. cosy – sinx. siny – (cosx. cosy + sinx. sin y)= m

⇔ -2sinx. sin y = m (*)

Với mọi x; y ta có; - 1 ≤ sin⁡〖x ≤ 1 và-1 ≤ siny ≤ 1

⇒ - 1 ≤ sin⁡〖x. siny ≤ 1 ⇔ - 2 ≤ -2. sinx. siny ≤ 2

Do đó; để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*)có nghiệm

⇔ - 2 ≤ m ≤ 2

Chọn B.

Câu 4: Cho phương trình sin⁶ x - cos⁶ x + cos2x = m. Biết rằng, khi m thuộc đoạn [a; b] phương trình đã cho có nghiệm. Tính a + b

A. – 2

B. -1

C. 0

D. 1

Hiển thị lời giải

Ta có: sin⁶ x- cos⁶ x + cos2x= m

⇒ (sin² x- cossin² x). (sinsin⁴ x+ sin2 x. cos2 x+ cossin⁴x)+ cos2x = m

⇒ - cos2x. [ (sinsin² x+ cossin² x)sin² – sinsin² x. cossin² x] + cos2x= m

Chon C.

Câu 5: Cho phương trình: , trong đó m là tham số. Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Điều kiện: cos2x #0

Ta có: sin⁶ x+ cos⁶ x= (sin² x+ cos²x). (sin⁴ x- sin²x. cos²x + cos⁴ x)

= 1. [ (sin² x+ cos² x)2 – 3sin² x. cos² x] = 1- 3/4 sin² 2x

Khi đó phưởng trình đã cho trở thành:

Chọn C

Câu 6: Cho phương trình cos (90⁰- x)+ sin (180⁰- x) + sinx = 3m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm:

A. 3

B. 4

C. 2

D. 5

Hiển thị lời giải

Ta có: cos (90⁰- x) + sin (180⁰ – x) + sinx= 3m

⇒ sinx + sin x + sinx = 3m

⇒ 3sinx= 3m ⇒ sin x= m (*)

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên tử (*) suy ra phương trình đã cho có nghiệm

⇒ - 1 ≤ m ≤ 1

⇒ Có ba giá nguyên của m là – 1; 0; 1 để phương trình đã cho có nghiệm.

Chọn A.

Câu 7: Cho phương trình: sin² x + (m-1) sinx – m = 0. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình trên có nghiệm.

A. m > 2

B. m < 1

C. 1 < m < 10

D. Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Hiển thị lời giải

Ta có; sin² x+ (m-1)sinx – m= 0

⇒ sin² x – sinx + m. sinx- m= 0

⇒ sinx (sinx -1) + m. (sinx -1) = 0

⇒ (sinx – 1). (sinx+ m)= 0

Vì phương trình sinx= 1 có nghiệm là x= π/2+k2π

⇒ Phương trình đã cho luôn nhận x= π/2+k2π làm nghiệm

⇒ Với mọi giá trị của m thì phương trình đã cho luôn có nghiệm

Chọn D.

Câu 8: Cho phương trình sin2x + 2sin² x + 4cos² x = m. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. -3√ 2 ≤ m ≤ 3√ 2

B. 3- √ 2 ≤ m ≤ √ 2+3

C. 2- √ 2 ≤ m ≤ √ 2+2

D. -2√ 2 ≤ m ≤ 2√ 2

Hiển thị lời giải

Ta có: sin2x+ 2sin² x+ 4cos² x= m

⇒ sin2x + 2 (sin² x+ cos² x) + 2cos2 x = m

⇒ sin2x+ 2.1+ cos2x+ 1 = m

⇒ sin2x + cos2x + 3 = m

⇒ sin2x+ cos2x = m – 3

⇒ √ 2 sin⁡ (2x+ π/4)=m-3

Với mọi x ta luôn có - 1 ≤ sin⁡ (2x+ π/4) ≤ 1

⇒ - √ 2 ≤ √ 2 sin⁡ (2x+ π/4) ≤ √ 2

⇒ - √ 2 ≤ m-3 ≤ √ 2

⇒ 3- √ 2 ≤ m ≤ √ 2+3

Chọn B.

Câu 9: Để phương trình: có nghiệm, tham số m phải thỏa mãn điều kiện:

A. -1 ≤ m < -1/4

B. -2 ≤ m ≤ -1

C. 0 ≤ m ≤ 2

D. (- 1)/4 ≤ m ≤ 0

Hiển thị lời giải

Chọn A.

Câu 10: Để phương trình:

có nghiệm, tham số a phải thỏa điều kiện:

A. - 1 ≤ a ≤ 0.

B. - 2 ≤ a ≤ 2.

C. - 1/2 ≤ m ≤ 1/4.

D. - 2 ≤ m ≤ 0

Hiển thị lời giải

Chọn B.

Bài trước: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn - Chuyên đề Toán 11