Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
+ Phương trình bậc nhất đối với sin x và cosx có dạng: a. sinx + b. cosx = c
Trong đó: a, b và c là các hằng số.
+ Cách giải phương trình:
• Cách 1:
• Cách 2:
* Lưu ý:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình 
:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Ví dụ 2. Phương trình: 
có các nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Ví dụ 3. Phương trình: 
có các họ nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Hướng dẫn:
Ví dụ 4. Phương trình: 
có các nghiệm là
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Ví dụ 5. Phương trình 
có nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Ví dụ 6. Phương trình 
có nghiệm là
A. 
B. 
C. 
D. Tất cả sai
Bài giải:
Ví dụ 7: Phương trình: 
có nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
Ví dụ 8. Phương trình:
có nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải:
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Phương trình: 
có các nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Chọn A.
Câu 2: Phương trình: 
có nghiệm là:
A. 
B. 
C. 
D. Vô nghiệm
Chọn D.
Câu 3: Giải phương trình 
A. 
B. 
C. Vô nghiệm
D. 
⇒ 2cos2x+ 2sin2x= 2
⇒ cos2x + sin2x= 1
⇒ (cos2x+ sin2x)2 = 1
⇒ cos22x + 2. cos2x. sin2x + sin2 2x= 1
⇒ (cos2 2x+ sin2 2x) + 2. cos2x. sin2x= 1
⇒ 1+ sin4x= 1 ⇒ sin4x= 0 (loại do không thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Chọn C.
Câu 4: Giải phương trình: sinx. tanx- 2cosx -2sinx + cosx. tanx =0
A. 
B.
C. 
D. Tất cả đều sai
Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ
Ta có: sinx. tanx – 2cosx – 2sinx + cosx. tanx= 0
⇒ (sinx. tanx+ cosx. tanx) - 2 (cosx+ sinx) = 0
⇒ tanx (sinx+ cosx) – 2 (cosx+ sinx) = 0
⇒ (tanx- 2). (sinx+ cosx) = 0
+ Nếu tanx= 2 thì x=arctan2+kπ
+ Nếu sinx+ cosx = 0 ⇒ sinx= - cosx
⇒ tanx = - 1 ⇒ x= (- π)/4+kπ
Kết hợp điều kiện; suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
Chọn C.
Câu 5: Giải phương trình: 
A. 
B 
C. 
D. 
Chọn B.
Câu 6:Giải phương trình: 
A. 
B. 
C. 
D. 
Chọn A.
Câu 7: Giải phương trình: sin2x + 2cos2x + sinx - 3cosx – 2 = 0?
A. 
B. 
C. 
D. 
Ta có: sin2x + 2cos2 x+ sinx – 3cosx - 2= 0
⇒ (sin2x+ sinx) + (2cos2s + cosx) – (4cosx+2) =0
⇒ (2sinx. cosx+ sinx) + cosx. (2cosx+1) – 2 (2cosx+ 1)= 0
⇒ sinx. (2cosx+ 1) + cosx. (2cosx+1) – 2 (2cosx+ 1)= 0
⇒ (2cosx+1). (sinx+ cosx – 2)= 0
Câu 8: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: - 2sinx -2cosx= 2cos2x – 1?
A. 
B. 
C. 
D. 
Ta có: - 2sinx- 2cosx = 2cos2 x- 1
⇒ - 2 (sinx- cosx) – (2cos2 x- 1) = 0
⇒ - 2 (sinx –cosx) – cos2x= 0
⇒ - 2 (sinx- cosx) – (cosx- sinx). (cosx+ sinx) =0 (vì cos2x= cos2 x- sin2x)
⇒ (sinx – cosx). (-2- cosx- sinx) = 0
