Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Cho hàm số y = f (x) liên tục và xác định trên khoảng (đoạn) K. Với mỗi x ∈ K thì -x ∈ K.
+ Nếu f (x) = f (-x) thì hàm số y = f (x) là hàm số chẵn trên tập xác định.
+ Nếu f (-x) = -f (x) thì hàm số y = f (x) là hàm số lẻ trên tập xác định.
⇒ Để xác định được tính chẵn; lẻ của một hàm số lượng giác ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Với mỗi x ∈ D thì -x ∈ D.
Bước 2: Tính f (- x) và – f (x).
Bước 3: So sánh: f (x) và f (-x); f (-x) và -f (x) ⇒ Kết luận.
Bước 4: Nếu f (x) ≠ f (-x) và f (-x) ≠ -f (x) thì hàm số y = f (x) là hàm số không chẵn; không lẻ.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y= - cosx
B. y= -2sinx
C. y=2sin (-x).
D y= sinx- cosx
Bài giải:
Đáp án đúng là: A
Giải thích:
+ xét phương án A: hàm số y= - 2cosx có tập xác định D= R.
Ta có với x ∈ R ⇒ -x ∈ R v à f (-x)=-2cos (-x)=-2cosx.
⇒ f (x)= f (-x)
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Ví dụ 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = sinx
B. y = cosx
C. y = tanx
D. y = cot x
Bài giải:
Đáp án đúng là: B
Giải thích:
+ Hàm số y = sinx là hàm số lẻ.
+ Hàm số y = cosx là hàm số chẵn.
+ Hàm số y = tanx là hàm số lẻ.
+ Hàm số y = cotx là hàm số lẻ.
=> B là đáp án đúng.
Ví dụ 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y= - sinx
B. y= cosx- sinx
C. y= cosx+ sin2x.
D. y= cosx. sinx
Bài giải:
Đáp án đúng là: C
Giải thích:
Tất cả các hàm số đều có tập xác định D=R => ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D.
Lại có: f (-x) = f (x) hoặc f (-x) = -f (x).
+ Xét phương án A:
Với y = f (x) = -sinx.
Ta có f (-x) = -sin (-x) = sinx = - (-sinx) = -f (x).
=> Hàm số y = - sinx là hàm số lẻ.
+ Xét phương án B:
Với y = f (x) = cosx - sinx.
Ta có f (-x) = cos (-x) - sin (-x) = cosx + sinx ≠ ± f (x).
=> Hàm số y = cosx - sinx không chẵn, không lẻ.
+ Xét phương án C:
Với y = f (x) = cosx + sin2x.
Ta có f (-x) = cos (-x) + sin2(-x) = cosx + sin2x.
=> Hàm số y = f (x) = cosx + sin2x là hàm số chẵn.
+ Xét phương án D:
Với y = f (x) = cosx. sinx.
Ta có f (-x) = cos (-x) + sin (-x) = -cosx. sinx = -f (x).
=> Hàm số y = cosx. sinx là hàm số lẻ.
Ví dụ 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = |sinx|.
B. y = x2.sinx
C. y = x/cosx.
D. y = x + sinx.
Bài giải:
Đáp án đúng là: A
Giải thích:
+ Xét phương án A:
Hàm số có tập xác định D= R; ∀ x ∈ D thì -x ∈ D.
Ta có: f (-x) = |sin (-x)| = |- sinx| = |sinx|
⇒ f (x) = f (-x) nên hàm số y = |sinx| là hàm số chẵn
Ví dụ 5: Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số lẻ?
A. y= cosx+ sin2x.
B. y= sinx+ cosx.
C. y= - cosx.
D. y= sinx. cos 3x.
Bài giải:
Đáp án đúng là: D
Giải thích:
Các hàm số đã cho đều có tập xác định D = R
+ Xét phương án A:
Ta có: f (x) = cosx + sin2x
Và f (-x) = cos (-x) + sin2 (-x) = cosx + sin2x
⇒ f (x) = f (-x) nên hàm số y = cosx + sin2 x là hàm số chẵn.
+ Xét phương án B: y = sinx + cosx
Ta có: g (x) = sin x + cos x và g (-x) = sin (- x) + cos (- x) = - sinx + cosx
Ta có: (g (x) ≠ g (-x) và -g (x) ≠ g (-x) ⇒ Hàm số y = sinx + cosx là không chẵn; không lẻ.
+ Xét phương án C: y = h (x) = - cosx
Ta có: h (-x) = - cos (- x) = - cosx
⇒ h (x)= h (-x) nên hàm số y = - cosx là hàm số chẵn.
+ Xét phương án D: y = k (x) = sinx. cos3x
Ta có: k (-x) = sin (-x).cos (-3x) = - sin x. cos3x
Và - k (x) = - sinx. cos3x
⇒ k (-x) = - k (x) => Hàm số y = sinx. cos 3x là hàm số lẻ.
Ví dụ 6: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
A. y = cot4x.
B. y = (sinx + 1)/cosx.
C. y = tan2x.
D. y = |cotx|.
Bài giải:
Đáp án đúng là: A
Giải thích:
Một hàm số có đồ thị đối xứng với nhau qua gốc tọa độ nếu hàm số đó là hàm số lẻ.
+ xét phương án A: y = f (x) = cot 4x
⇒ f (-x) = cot (-4x) = - cot4x và –f (x) = - cot 4x
=> f (-x) = -f (x) nên hàm số y= f (x) là hàm số lẻ.
⇒ Đồ thị của hàm số y= f (x) đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Ví dụ 7: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A. y = sin (π /2 - x).
B. y = sin2x.
C. y = cotx/cosx.
D. y = tanx/sinx.
Bài giải:
Đáp án đúng là: C
Giải thích:
+ Xét phương án A: y = f (x) = sin (π/2 - x) = cosx. Đây là hàm số chẵn.
+ Xét phương án B: y = g (x) = sin2x hàm số này xác định với mọi x.
Ta có: g (-x) = sin2 (-x) = (- sinx)2 = sin2x
⇒ g (x) = g (-x) => Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
+ Xét phương án C. y = h (x) = cotx/cosx
Điều kiện xác định: { (sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0) ⇒ sin2x ≠ 0 ⇒ x ≠ kπ/2
Với mọi x thuộc tập xác định thì – x cũng thuộc tâp xác định.
Ta có: h (-x)= (cot (-x))/ (cos (-x))= (- cotx)/cosx; - h (x) = (- cotx)/cosx
⇒ h (-x) = -h (x) nên hàm số đã cho là hàm số lẻ.
⇒ Chọn C
Ví dụ 8: Hàm số y = cos2x. sin (x - π/4) là:
A. Hàm lẻ.
B. Hàm không tuần hoàn.
C. Hàm chẵn.
D. Hàm không chẵn không lẻ.
Bài giải:
Đáp án đúng là: D
Giải thích:
Tập xác định: D = R. Với ∀ x ∈ D thì -x ∈ D.
Ta có: f (-x) = cos (-2x).sin (-x - π/4) = -cos2x. sin (x + π/4)
Ta thấy: f (-x) ≠ f (x) và f (-x) ≠ -f (x).
=> Hàm số đã cho không chẵn không lẻ.
Ví dụ 9: Xác định tính chẳn lẻ của hàm số: y = 1 + 2x2 – cos3x
A. Hàm lẻ.
B. Hàm không tuần hoàn.
C. Hàm chẵn.
D. Hàm không chẳn không lẻ.
Bài giải:
Đáp án đúng là: C
Giải thích:
Tập xác định D = R là tập đối xứng.
Ta có: f (-x) = 1 + 2 (-x)2 – cos (-3x) = 1 + 2x2 - cos3x
=> f (x) = f (-x)
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Ví dụ 10: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = 2cos (x + π/2) + sin (π - 2x).
B. y = sin (x - π/4) + sin (π + x/4).
C. y = √ 2sin (x + π/4) - sinx.
D. y = √ (sinx) + √ (cosx).
Bài giải:
Đáp án đúng là: C
Giải thích:
+ Xét phương án A: y = 2cos (x + π/2) + sin (π - 2x) = -2sinx + sin2x.
Tập xác định: Hàm số xác định với mọi x.
Ta có: f (-x) = - 2sin (-x) + sin (-2x) = 2sinx – sin2x
Và – f (x) = 2sinx – sin2x
⇒ f (-x) = - f (x) nên đây là hàm số lẻ.
+ Xép phương án B: y = sin (x - π/4) + sin (π + x/4) = 2sinxcos (π/4) = √ (sinx). Đây là hàm số lẻ.
+ Xét phương án C: y=√ 2sin (x + π/4) - sinx = sinx + cosx - sinx = cosx. Đây là hàm số chẵn.
+ Xét phương án D: y = √ (sinx) + √ (cosx).
Tập xác định: Hàm số xác định 
Chọn x = π/4 ∈ D nhưng -x = -π/4 không thuộc D.
=> Hàm số y = √ (sinx)+√ (cosx) không chẵn, không lẻ.
Ví dụ 11: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A. y = x4 + cos (x - π/3).
B. y = x2017 + cos (x - π/2).
C. y = 2015 + cosx + sin2018x.
D. y = tan2017x + sin2018x.
Bài giải:
Đáp án đúng là: B
Giải thích:
+ Xét phương án A: y = x4 + cos (x - π/3)
Tập xác định: D = R.
Ta có: f (-x) = (-x)4 + cos (-x - π/3) = x4 + cos (x + π/3)
Ta có: (f (x) ≠ f (-x) và (-x) ≠ -f (x) nên hàm số đã cho không chẵn; không lẻ.
+ Xét phương án B: y = x2017 + cos (x - π/2).
Tập xác định: D = R
Ta có: g (-x) = (-x)2017 + sin (-x) = - x2017 - sinx
=> g (-x) = - g (x) nên hàm số này là hàm số lẻ.
+ Xét phương án C: y = h (x) = 2015 + cosx + sin2018x
Tập xác định D = R.
Ta có: h (-x) = 2015 + cos (-x) + sin2018 (-x)
Hay h (-x) = 2015 + cosx + [(-sinx)2018] = 2015 + cosx + sin2018x
⇒ h (x) = h (-x) nên hàm số này là hàm số chẵn.
+ Xét phương án D: y = k (x) = tan2017x + sin2018x
Hàm số xác đinh khi x ≠ π/2+kπ
Ta có: k (-x) = tan2017(-x) + sin2018 (-x) = [tan (-x)]2017 + [sin (-x)]2018
Hay k (-x) = -tan2017x + sin2018 x
⇒ (k (x) ≠ k (-x) và k (-x) ≠ -k (x) => Hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.
Ví dụ 12: Cho hàm số 
, với n ∈ Z. Xét các biểu thức sau:
1, Hàm số đã cho xác định trên...
2, Đồ thị hàm số đã cho có trục đối xứng....
3, Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
4, Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.
5, Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
6, Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ.
Số phát biểu đúng trong sáu phát biểu trên là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Bài giải:
Đáp án đúng là: B
Giải thích:
Hàm số đã xác định khi cosx ≠ 0 ⇒ x≠ π/2+kπ, k ∈ Z Vậy phát biểu 1 sai.
Ở đây ta cần chú ý: Các phát biểu 2; 3; 4; 5; 6 để xác định tính đúng sai ta chỉ cần đi xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho.
Ta có tập xác định của hàm số trên là D=R\ {π/2+kπ, k ∈ Z} là tập đối xứng.
=> Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Suy ra đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy. Vậy chỉ có phát biểu 2 và 3 là phát biểu đúng. Từ đây ta chọn B,
Ví dụ 13: Cho hàm số f (x) = |x|sinx. Phát biểu nào sau đây là đúng về hàm số đã cho?
A. Hàm số đã cho có tập xác định D = R\ {0}.
B. Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho có trục xứng.
D. Hàm số có tập giá trị là [-1; 1]
Bài giải:
Đáp án đúng là: B
Giải thích:
+ Hàm số đã cho xác định trên tập D = R nên ta loại A
+ Tiếp theo để xét tính đối xứng của đồ thị hàm số ta xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho.
Ta có: f (-x) = |-x|sin (-x) = -|x|sinx = -f (x)
=> Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Vậy đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ O. Vậy ta chọn đáp án B
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số f (x) = sin2x và g (x)= tan2x. Chọn mệnh đề đúng.
A. f (x) là hàm số chẵn, g (x) là hàm số lẻ.
B. f (x) là hàm số lẻ, g (x) là hàm số chẵn.
C. f (x) là hàm số chẵn, g (x) là hàm số chẵn.
D. f (x) và g (x) đều là hàm số lẻ.
Chọn B
+ Xét hàm số f (x) = sin2x.
TXĐ: D=R. Do đó: ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D.
Ta có: f (-x) = sin (-2x)=-sin2x=-f (x) ⇒ f (x) là hàm số lẻ.
+ Xét hàm số g (x)= tan2x.
TXĐ: D=R\ {π/2+kπ, k ∈ Z}. Do đó ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D.
Ta có g (-x)= tan2(-x)= (-tanx)2=tanx2=g (x) ⇒ g (x) là hàm số chẵn.
Câu 2: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
A. y=-2cosx.
B. y=-2sinx.
C. y=-2sinx2+2.
D. y=-2cosx+2.
Chọn B
Các hàm số ở cả bốn phương án có tập xác định D= R. Nên với mọi x ∈ R thì-x ∈ R
+ Xét phương án A: Ta có -2cos (-x)=-2cosx
⇒ hàm số y= - 2cosx là hàm số chẵn.
+ Xét phương án B: Ta có: -2sin (-x)=-2 (-sinx)=2sinx=-f (x)
⇒ hàm số y= - 2sinx là hàm số lẻ. Vậy ta chọn B.
Câu 3:Hãy chỉ ra hàm số nào là hàm số lẻ:
A. y=√ (sinx).
B. y=sin2x.
C. y=cotx/cosx.
D. y=tanx/sinx.
Chọn C
+ Xét phương án A:
do khi sinx > 0 thì sin (-x)=-sinx < 0, do đó √ (-sinx) không tồn tại, ta loại A.
+ Xét phương án B: Tập xác định D=R là tập đối xứng.
Ta có f (-x)= sin2( - x)= [sin (-x)]2 = [- sinx]2= sin2x
⇒ f (x)= f (-x) nên hàm số ở phương án B là hàm số chẵn
+ xét phương án C.
Điều kiện xác đinh: (sinx ≠ 0 va cosx ≠ 0 ⇒ sin2x ≠ 0 nên x ≠ kπ/2
Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định thì –x cũng thỏa mãn điều kiện
Ta có: f (-x)= (cot (-x))/ (cos (-x))= (-cotx)/cosx và-f (x)= (-cotx)/cosx
⇒ f (-x)= - f (x) nên hàm số này là hàm số lẻ.
⇒ Chọn C.
Câu 4:Hàm số y = tan2x/sin3x có tính chất nào sau đây?
A. Hàm số chẵn.
B. Hàm số lẻ.
C. Hàm không chẵn không lẻ.
D. Tập xác định D = R.
Chọn A
+ Ta loại D vì để hàm số đã cho xác định thì cos2x≠ 0 và sinx≠ 0 nên tập xác định của hàm số đã cho không thể là.
+ Ta có: f (-x)= tan (-2x)/ (sin3 (-x))= (-tan2x)/ (-sin3 x)= tan2x/ (sin3 x)
⇒ f (x)=f (-x) nên hàm số đã cho là hàm số chẵn
Câu 5:Câu 5: Hãy chỉ ra hàm số không có tính chẵn lẻ
A. y = sinx + tanx.
B. y = tanx + 1/sinx.
C. y = √ 2sin (x - π/4).
D. y = cos4 - sin4.
Chọn C.
Ta xét các phương án:
+Phương án A: Tập xác định: D=R\ {π/2+kπ}
Với ∀ x ∈ D thì -x ∈ D
Ta có: f (-x) = sin (-x) + tan (-x) = - sinx- tan x
Và - f (x)= -sin x – tanx
⇒ f (-x) = - f (x) nên hàm số y= sinx+tanx là hàm số lẻ.
+ Phương án B.
Điều kiện xác định: (sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0 ⇒ sin2x ≠ 0 nên x ≠ (k π)/2
Với ∀ x ∈ D thì -x ∈ D
Ta có: g (-x)= tan (-x)+ 1/sin (-x) =-tanx- 1/sinx=-g (x)
⇒ Hàm số này là hàm số lẻ.
+ Phương án C: y= √ 2 sin (x- π/4)= sinx- cosx
Hàm số này có tập xác định D= R.
Ta có: h (-x)= sin (- x) – cos (-x)= - sinx- cosx
Và – h (x)= - sinx+ cosx
⇒ (h (x) ≠ h (-x) và (-x) ≠ -h (x) ⇒ Hàm số này không là hàm số chẵn; cũng không là hàm số lẻ.
⇒ C đúng
Câu 6: Xét hai mệnh đề:
(I)Hàm số y = f (x) = tanx + cosx là hàm số lẻ
(II) Hàm số y = g (x) = tanx + sinx là hàm số lẻ
Trong hai mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I) đúng.
B. Chỉ (II) đúng.
C. Cả hai đúng.
D. Cả hai sai.
Chọn B
- Xét hàm số y= f (x)= tanx+ cosx
Ta có: f (-x) = tan (-x)+ cos (-x)= - tanx + cosx
Và – f (x)= - tanx- cosx
⇒ (f (x) ≠ f (-x)và f (-x) ≠ -f (x)
Suy ra hàm số ở (I) không phải hàm số chẵn cũng không phải hàm số lẻ.
- Xét hàm số y= g (x) = tanx + sinx
Ta có: g (-x)= tan (-x)+ sin (-x) = - tan x- sinx = - (tan x+ sinx)
⇒ g (-x)= - g (x) nên hàm số y= tanx + sinx là hàm số lẻ.
Vậy chỉ có mệnh đề (II) đúng.
Câu 7:Hàm số y = 10 - 2sin2x là:
A. Hàm số chẵn.
B. Hàm số lẻ.
C. Hàm không chẵn không lẻ.
D. Hàm số không tuần hoàn.
Chọn A
Tập xác định của hàm số D=R
Ta có: f (-x)= 10 – 2sin2( -x)= 10- 2. [ sin (-x)]2 =10- 2. sin2x
⇒ f (x)= f (-x) nên hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Câu 8:Cho các hàm số sau đây
(I) y = |sinx|.
(II) y = x2sinx.
(III) y = x/cosx.
(IV) y = x + sinx.
Hỏi có bao nhiêu hàm số là hàm lẻ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Chọn C
Ta xét các phương án:
+Phương án A:
Hàm số có tập xác định D=R.
Ta có f (-x) = |sin (-x) |= |-sinx|=|sinx|
⇒ f (x)= f (-x) nên hàm số này là hàm số chẵn.
+Phương án B
Hàm số có tập xác định D=R.
Ta có: g (-x)= (-x)2. sin (-x) = x2. (-sinx) = - x2. sinx
⇒ g (-x)= -g (x) nên hàm số y= x2. sinx là hàm số lẻ.
+Phương án C:
Hàm số có tập xác định: D=R\ {π/2+kπ}
Ta có: h (-x) = (- x)/cos (-x) = (- x)/cosx
⇒ h (-x) = - h (x) nên hàm số này là hàm số lẻ.
+ Phương án D.
Hàm số có tâp xác định D= R
Ta có: k (-x)= -x+ sin (-x) = - x- sin x=- (x+ sinx)
Suy ra: k (-x)=- k (x) nên hàm số này là hàm số lẻ/
⇒ Vậy có ba hàm số lẻ.
Câu 9:Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
A. y = sinx. cos2x.
B. y = sin3x. cos (x - π/2).
C. y = tanx/ (tan2 + 1).
D. y = cosx. sin3x.
Chọn B
+Hàm số lẻ thì đồ thị đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
Hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Ta đi tìm hàm số chẵn
+ Xét phương án A
Tập xác định D= R.
Ta có: f (-x)= sin (-x). cos (-2x) = -sinx. cos2x
⇒ f (-x) = - f (x) nên hàm số này là hàm số lẻ (loại).
+ Xét phương án B
ta có y=sin3x. cos (x-π/2)=sin3x. sinx=sin4x
Tập xác định D= R.
Ta có g (-x) = sin4 (-x)= [sin (-x)]4 = [-sinx]4= sin4x
⇒ g (x)= g (-x) nên hàm số này là hàm số chẵn (thỏa mãn)
Câu 10:Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A. y = 1 - sin2x
B. y = |cotx|. sin2x
C. y = x2tan2x - cotx.
D. y = 1 + |cotx + tanx|.
Chọn C
+ Xét phương án A.
Tập xác định D= R.
Ta có: f (- x)= 1-sin2 (-x)=1-sin2 x
⇒ Hàm số này là hàm số chẵn.
+ Xét phương án B:
Tập xác định: x ≠ kπ
Ta có: g (-x)=|cot (-x)|. sin2 (-x)=|- cotx|. [sin (-x)]2= |cotx|. sin2 x
⇒ g (x)= g (- x) nên hàm số này là hàm số chẵn.
+ Xét phương án C:
Điều kiện xác định: IMG_3
Ta có: h (-x)= (-x)2.tan (-2x) – cot (-x) = x2. (-tan 2x)+ cot x= -2.tan2x + cotx
⇒ h (-x)= - h (-x) nên hàm số này là hàm số lẻ.
Câu 11: Hàm số y = sinx. cos2x + tanx là:
A. Hàm số chẵn.
B. Hàm số lẻ
C. Vừa chẵn vừa lẻ.
D. Không chẵn không lẻ.
Chọn B
Hàm số đã cho có tập xác định D= R\ {π/2+kπ}, k ∈ Z.
Vậy với ∀ x ∈ D thì -x ∈ D.
Ta có f (-x)= sin (-x). cos2(-x) + tan (-x)= -sinx. cos2x - tanx =-f (x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Câu 12:Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = (1 + sin22x)/ (1 + cos3x) ta kết luận hàm số đã cho là:
A. Hàm số chẵn.
B. Hàm số lẻ.
C. Vừa chẵn vừa lẻ
D. Không chẵn không lẻ
Chọn A
Tập xác định của hàm số là D= R\ {(2k+1)π/3; k ∈ Z} là tập đối xứng.
Ta có f (-x)= (1+sin2(-2x))/ (1+cos (-3x))= (1+ (sin (-2x))2)/ (1+cos (-3x))= (1+sin2 2x)/ (1+cos3x).
⇒ f (x)= f (-x)nên hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Câu 13:Xét các mệnh đề sau:
I. Hàm số là hàm số lẻ.
II. Hàm số là hàm số chẵn.
III. Hàm số là hàm số lẻ.
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. (II) và (III).
D. Cả 3 Câu.
Chọn C
+ Ta loại I do khi sinx > 0 thì sin (-x) = -sinx < 0, do đó √ (-sinx) không tồn tại.
+ Xét II. Hàm số xác định khi: cosx ≥ 0
Do cosx =cos (- x) nên cos (- x) ≥ 0
Ta có: f (-x)= cos (-x). √ (cos (-x))= cosx. √ cosx
⇒ f (x)= f (-x) nên hàm số này là hàm số chẵn. Nên II đúng.
+ Với III: Hàm số xác định khi cosx ≥ 0
⇒ -π/2+k2π ≤ x ≤ π/2+k2π; k ∈ Z.
Tập xác định của hàm số là tập đối xứng.
Do vậy, ta xét f (-x)= sin (-x).√ (cos (-x))= -sinx. √ (cosx. ) =- f (x).
⇒ Hàm số này là hàm số lẻ ⇒ III đúng.
Vậy II và III đúng
Câu 14:Hãy chỉ ra hàm nào là hàm số chẵn:
A. y = sin2016x. cosx.
B. y = cotx/ (tan2+1).
C. y = sinx. cos6x.
D. y = cosx. sin3x.
Chọn A
+ Xét phương án A: TXĐ: D=R.
Ta có; f (-x)= sin2016 (-x). cos (-x)= sin2016x. cosx
⇒ f (x)= f (-x) nên hàm số đã cho là hàm số chẵn.
⇒ chọn A.
Các hàm số ở B, C, D đều là hàm số lẻ.
Câu 15: Khẳng định nào sau đây là sai?
A. y = |sinx| có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
B. y = cosx có đồ thị đối xứng qua trục Oy.
C. y = |tanx| có đồ thị đối xứng qua trục Oy.
D. y = cot x có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Chọn A
+Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng với nhau qua trục tung.
Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng với nhau qua trục gốc tọa độ.
+ Hàm số y= |sinx| có tập xác định D= R
Và f (-x)= |sin (-x)|= |- sinx|= |sinx|
⇒ f (-x)= f (x) nên hàm số này là hàm số chẵn.
⇒ Đồ thị của hàm số này nhận trục tung là trục đối xứng
⇒ A sai.
Câu 16:Tìm mệnh đề sai:
A. Hàm số y = x. sin3x là hàm chẵn.
B. Hàm số 
là hàm lẻ.
C. Hàm số 
là hàm chẵn.
D. Hàm số y=cos3x +sin3x là hàm số không chẵn không lẻ.
Chọn B
+ Xét phương án A:
Hàm số có tập xác định D= R.
Ta có: f (-x)= -x. sin3(-x)= -x. [-sin3x]= x. sin3x
⇒ f (x)= f (-x) nên hàm số này là hàm số chẵn
vậy A đúng.
+Xét phương án B: Tập xác định D là tập đối xứng.
Ta có: 
⇒ f (x)=f (-x). Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Vậy B sai.
Câu 17:Cho hàm số 
Hàm số trên là hàm số.
A. Hàm lẻ.
B. Hàm không tuần hoàn.
C. Hàm chẵn.
D. Hàm không chẵn không lẻ.
Chọn A
Ta có: - 1 ≤ cosx ≤ 1 với ∀ x ⇒ cosx+ 2 > 0
Do đó điều kiện xác định của hàm số là:
vậy tập xác định của D là tập đối xứng.
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Câu 18: Cho hai hàm số f (x)= 
và g (x)=sin√ (1-x). Kết luận nào sau đây đúng về tính chẵn lẻ của hai hàm số này?
A. Hai hàm số f (x); g (x) là hai hàm số lẻ.
B. Hàm số f (x) là hàm số chẵn; hàm số g (x) là hàm số lẻ.
C. Hàm số f (x) là hàm số lẻ; hàm số g (x) là hàm số không chẵn không lẻ.
D. Cả hai hàm số f (x); g (x) đều là hàm số không chẵn không lẻ.
Chọn D
+ Xét hàm số f (x)=
có tập xác định là D=R\ {3}.
Ta có x=-3 ∈ D nhưng -x=3 không thuộc D nên D không có tính đối xứng.
Do đó ta có kết luận hàm số f (x) không chẵn không lẻ.
+ Xét hàm số g (x)=sin√ (1-x) có tập xác định là D'= (-∞ 1].
Dễ thấy D’ không phải là tập đối xứng nên ta kết luận hàm số g (x) không chẵn không lẻ.
Vậy cả hai hàm số đã cho là không chẵn; không lẻ.
Câu 19:Xét tính chẵn lẻ của hàm số f (x)=sin2007 x+cosnx, với n ∈ Z:
A. Hàm số chẵn.
B. Hàm số lẻ.
C. Không chẵn không lẻ.
D. Vừa chẵn vừa lẻ.
Chọn C
Hàm số có tập xác định D=R.
Ta có f (-x)= sin2007(-x)+cos (-nx)=-sin2007 x+cosnx ≠ ± f (x).