Trang chủ > Lớp 11 > Chuyên đề Toán 11 (có đáp án) > Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn - Chuyên đề Toán 11

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn - Chuyên đề Toán 11

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phương trình 2sin2x+ 4cosx = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0; 3000)

A. 954

B. 955

C. 956

D. 957

Bài giải:

Ta có: 2sin2x + 4cosx = 0

⇒ 4. sinx. cos+ 4cosx= 0

⇒ 4cosx. ( sinx+ 1) = 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 1

Mà k nguyên nên k∈ {0; 1; 2; 3; …; 954} có 955 giá trị của k thỏa mãn.

⇒ Phương trình có 955 nghiệm thuộc khoảng (0; 3000)

Chọn B.

Ví dụ 2. Cho phương trình 2sinx+ 2cosx – cos2x=0. Tìm số nghiệm của phương trình thuộc (0; 2000).

A. 624

B. 652

C. 645

D. 636

Bài giải:

Ta có: 2sinx+ 2cosx – cos2x = 0

⇒ (2sinx+ 2cosx) – (cos2 x – sin2 x)= 0

⇒ 2 (sinx + cosx) - (cosx- sinx). (cosx+ sinx)= 0

⇒ (sinx+ cosx). (2- cosx + sinx) = 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 2

Mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3.. ;635; 636}. Do đó; phương trình đã cho có 636 nghiệm trong khoảng (0; 2000)

Chọn D.

Ví dụ 3. Phương trình 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x – 3= cos4x. (2sin2x+ 1) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (10; 1000)?

A. 1207

B. 1260

C. 1261

D. 1208

Bài giải:

Ta có: 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x – 3= cos4x

⇒ 1+ cos2x + 1+ cos4x + 1+ cos6x- 3 = 2. cos4x. sin2x + cos4x

⇒ cos2x+ cos4x+ cos6x = 2cos 4x. sin2x + cos4x

⇒ cos2x+ cos6x – 2cos 4x. sin2x=0

⇒ 2cos 4x. cos2x – 2. cos4x. sin2x= 0

⇒ 2cos 4x. (cos2x – sin2x) = 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 3

⇒ 12,23 < k < 1272,8

Mà k nguyên nên k∈ {13; 14; …1271; 1272}

⇒ có 1260 số thỏa mãn.

Chọn B.

Ví dụ 4. Phương trình

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 4
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0; 108π)

A. 3025

B. 3026

C. 3027

D. Tất cả sai

Bài giải:

Điều kiện: ( 1+2cosx).sinx ≠ 0

Với điều kiện trên phương trình trên tương đương:

( 1- 2cosx). (1+ cosx) = (1+ 2cosx). sinx

⇒ 1+ cosx – 2cosx – 2cos2 x= sinx + 2sinx. cosx

⇒ 2cos2 x – 1 + cosx+ sinx + 2sinx. cosx= 0

⇒ cos2x + cosx + sinx + sin2x=0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 5

Mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3; .. ; 3027}

⇒ Phương trình đã cho có 3027 nghiệm.

Chọn C.

Ví dụ 5. Phương trình

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 6
có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài giải:

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 7

Vì x nguyên dương nên (3k- 2)∈Ư (98)= {1; 2; 7; 14; 49; 98}

Từ đó ta tính được k∈ {1; 3; 17} – chú ý k nguyên.

+ k= 1 ⇒ x= 12

+ k= 3 ⇒ x = 4

+ k= 17 ⇒ x = 12

⇒ Phương trình có hai nghiệm nguyên dương là 12 và 4

Chọn B.

Ví dụ 6. Phương trình:

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 8
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0; 2017π)

A. 4033

B. 4032

C. 4035

D. 4036

Bài giải:

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 9

⇒ (1- cos2x)2 + (cosx- sinx)4=1

⇒ 1- 2cos2x + cos22x + (cos2x + sin2x – 2. cosx. sinx)2= 1

⇒ 1- 2cos2x + cos22x + (1- sin2x)2 - 1= 0

⇒ - 2cos2x + cos22x + 1- 2sin2x+ sin22x = 0

⇒ (cos22x + sin22x) +1 – 2. (cos2x+ sin2x)= 0

⇒ 2- 2 (cos2x + sin2x) = 0

⇒ cos2x + sin2x = 1

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 10

Mà k nguyên nên k∈ {0; 1; 2;... ; 2016} ⇒ có 2017 nghiệm

Kết hợp 2 trường hợp có 4033 nghiệm trong khoảng đang xét.

Chọn A.

Ví dụ 7. Tìm số nghiệm của phương trình: tan4x – tan2x – 4tanx= 4tan4x. tan2x. tanx trên đoạn [0; 2π]?

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Bài giải:

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 11

Ta có: tan4x – tan2x – 4tanx = 4tan4x. tan2x. tanx

⇒ tan4x – tan2x = 4tan4x. tan2x. tanx + 4 tanx

⇒ tan4x - tan2x = 4tanx. (tan 4x. tan2x + 1)

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 12

Chọn B.

Ví dụ 8. Tính tổng các nghiệm của phương trình

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 13
trên khoảng (0; π)?

A. π/4

B. π/3

C. π

D. Đáp án khác

Bài giải:

Điều kiện:

Ta có: tan 3x + cot (π/2+x)=0

⇒ tan3x – tanx = 0 ⇒ tan3x= tanx

⇒ 3x = x+kπ ⇒ 2x= kπ

⇒ x= kπ/2 (không thỏa mãn điều kiện)

Do đó; phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Ví dụ 9. Tìm số nghiệm của phương trình sin (cosx) = 0 trên khoảng (0; 4π)?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Bài giải:

Ta có: sin (cosx)=0

⇒ cosx = kπ (*)

Do với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1 nên từ (*) suy ra: k= 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 14

Mà k nguyên nên k∈ {0; 1; 2; 3}.

⇒ Phương trình đã cho có 4 nghiệm trên khoảng (0; 4π)

Chọn C.

Ví dụ 10: Cho phương trình: 2cos23x + (3- 2m)cos3x + m-2= 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc khoảng

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 15
?

A. 1 < m < 2

B. 2 < m ≤ 3

C. 1 < m ≤ 2

D. 2 < m < 3

Bài giải:

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 16

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho phương trình: (cos4 x- sin4 x). (2cos2x+5) – 3 = 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (π; 4π)

A. 5

B. 7

C. 6

D. 8

Ta có: (cos4 x- sin4 x). (2cos2x+ 5) – 3 = 0.

⇒ (cos2 x- sin2 x). (cos2 x+ sin2x). (2cos 2x + 5) – 3= 0

⇒ cos2x. 1. (2cos 2x + 5) - 3= 0

⇒ 2cos22x + 5cos 2x – 3=0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 17

⇒ Phương trình có ba nghiệm đối với họ nghiệm này.

Kết hợp cả hai trường hợp; suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc (π; 4π)

Chọn C.

Câu 2:Tìm số nghiệm của phương trình

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 18
trên đoạn [0; 2π]

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 19

Chọn B.

Câu 3:Tìm số nghiệm của phương trình: sinx. cosx + |sinx+cosx|= 1 trên (0; 2π)?

A. 2

B. 4

C. 3

D. 5

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 20

⇒ 0 < k < 4 mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3}.

Vậy phương trình có ba nghiệm trên khoảng đang xét.

Chọn C.

Câu 4:Tìm số nghiệm của phương trình

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 21
trên đoạn [2π; 10π]?

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Điều kiện: cosx ≠ -√ 3/2

Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình:

2sin2 x-cosx+2-5sinx+sin2x = 0

⇒ (sin2x – cosx) + (2sin2x – 5sinx + 2) =0

⇒ (2sinx. cosx – cosx) + (2sin2x – 5sinx + 2) = 0

⇒ cosx. ( 2sinx- 1) + (sinx- 2). (2sinx – 1)= 0

⇒ (2sinx – 1). (cosx + sinx- 2) = 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 22

Kết hợp 2 trường hợp; suy ra phương trình có tất cả 8 nghiệm trên đoạn [2π; 10π]

Chọn C.

Câu 5:Tìm số nghiệm của phương trình: cos2x. (tan2 x – cos2x)= cos3x- cos2 x+ 1 trên khoảng (0; 6π)?

A. 9

B. 8

C. 10

D. 11

IMG_2

+ Trường hợp 1: Nếu cosx=- 1

⇒ x= π+k2π. Ta có: 0 < x < 6π nên: 0 < π+k2π < 6π

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 23

⇒ Kết hợp hai trường hợp suy ra số nghiệm của phương trình thuộc khoảng (0; 6π) là 9 nghiệm.

Chọn A.

Câu 6:Cho phương trình: m. sin2x – 3sinx. cosx – m- 1 = 0. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-4; 7] để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc (0; 3π/2). Số các phần tử của tập S là:

A. 4

B. 3

C. 5

D. 6

Ta có: m. sin2 x – 3sinx. cosx – m- 1= 0

⇒ m. ( sin2 x- 1) - 3sinx. cosx – 1=0

⇒ - m. cos2 x – 3sinx. cosx – 1=0

⇒ m. cos2 x+ 3sinx. cosx + 1= 0

+ Nhận thấy cosx=0 không thỏa phương trình.

Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 24

⇒ tan2 x+3tanx + m+ 1=0 (*)

Đặt t= tanx; phương trình (*) trở thành: t2 + 3t + m + 1= 0

Để phương trình đã cho có ba nghiệm thuộc (0; 3π/2) khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu

⇒ a. c= m+ 1 < 0 ⇒ m < - 1

Mà m nguyên và m∈ [-4; 7]

⇒ m∈ {-4; -3; -2}.

⇒ Tập S có 3 phần tử.

Chọn B.

Câu 7:Cho phương trình: ( cosx+ 1). (4cos 2x – m. cosx)= m. sin2 x. Số các giá trị nguyên của m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn [0; 2π/3] là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Ta có: (cosx+ 1). (4cos2x – m. cosx) = m. sin2x

⇒ (cosx+ 1). (4cos2x – m. cosx) = m. (1- cos2 x)

⇒ (cosx+ 1). (4cos2x- m. cosx) – m. ( 1- cosx). (1+ cosx) =0

⇒ (cosx+ 1)( 4cos2x -m. cosx - m+m. cosx)= 0

⇒ (cosx+ 1). (4cos 2x – m) = 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 25

Câu 8:Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình: (sinx-1). [2cos2x- (2m+1).cosx + m]=0 có đúng bốn nghiệm thuộc đoạn [0; 2π]

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Ta có: (sinx- 1). [2cos2 x – (2m+ 1).cosx + m] = 0

⇒ (sinx -1). (2cosx- 1). (cosx – m) = 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 26

Kết luận: Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 9:Biết rằng khi m= m0 thì phương trình: 2sin2 x – (5m+ 1).sinx +2m2 + 2m = 0 có đúng 5 nghiệm thuộc khoảng

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 27
. Tìm mệnh đề đúng?

A. m0= - 2

B. m0= 1

C.

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 28

D.

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 29

Đặt t= sinx (- 1 ≤ t ≤ 1).

Phương trình đã cho trở thành: 2t2 – (5m+1).t + 2m2 + 2m=0 (*)

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 30
Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ảnh 31

Chọn D.