Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải & Ví dụ
- Phương trình sinx = a (1)
♦ |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm.
♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.
Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là: x = α + k2π, k ∈ Z và x = π - α + k2π, k ∈ Z.
Nếu α thỏa mãn điều kiện: và sinα = a thì ta viết α = arcsin a.
Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là: x = arcsina + k2π, k ∈ Z và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.
Các trường hợp đặc biệt:
![Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản ảnh 2](/images/sgk/2/1/a19-2.jpg)
- Phương trình cosx = a (2)
♦ |a| > 1: phương trình (2) vô nghiệm.
♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a.
Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là x = α + k2π, k ∈ Z và x = -α + k2π, k ∈ Z.
Nếu α thỏa mãn điều kiện và cosα = a thì ta viết α = arccos a.
Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là
x = arccosa + k2π, k ∈ Z
và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.
Các trường hợp đặc biệt:
![Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản ảnh 3](/images/sgk/2/2/a19-2.jpg)
- Phương trình tanx = a (3)
Điều kiện:
Nếu α thỏa mãn điều kiện và tanα = a thì ta viết α = arctan a.
Khi đó các nghiệm của phương trình (3) là
x = arctana + kπ, k ∈ Z
- Phương trình cotx = a (4)
Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.
Nếu α thỏa mãn điều kiện và cotα = a thì ta viết α = arccot a.
Khi đó các nghiệm của phương trình (4) là
x = arccota + kπ, k ∈ Z
Ví dụ minh họa
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sinx = sin (π /6)
b) 2cosx = 1
c) tanx – 1 = 0
d) cotx = tan2x.
Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:
a) cos2 x - sin2x =0.
b) 2sin (2x – 40º) = √ 3
Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:
![Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản ảnh 5](/images/sgk/2/4/a19-2.jpg)
Hướng dẫn giải:
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác:
a) sinx = sinπ /6
![Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản ảnh 6](/images/sgk/2/5/a19-2.jpg)
b)
![Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản ảnh 7](/images/sgk/2/6/a19-2.jpg)
c) tanx = 1
⇔ cosx = π /4 + kπ (k ∈ Z)
d) cotx = tan2x
![Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản ảnh 8](/images/sgk/2/7/a19-2.jpg)
Bài 2: Giải các phương trình lượng giác:
a) cos2x - sin2x = 0
⇔ cos2x - 2 sinx cosx = 0
⇔ cosx (cosx - 2 sinx) = 0
![Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản ảnh 9](/images/sgk/2/8/a19-2.jpg)
b) 2 sin (2x - 40º) = √ 3
⇔ sin (2x - 40º) = √ 3/2
![Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản ảnh 10](/images/sgk/2/9/a19-2.jpg)
Bài 3: Giải các phương trình lượng giác:
a) sin (2x + 1) = cos (3x + 2)
![Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản ảnh 11](/images/sgk/2/10/a19-2.jpg)
b)
![Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản ảnh 12](/images/sgk/2/11/a19-2.jpg)
⇔ sinx + 1 = 1 + 4k
⇔ sinx = 4k (k ∈ Z)
Nếu |4k| > 1⇔ |k| > 1/4 => phương trình vô nghiệm
Nếu |4k| ≤ 1 mà k nguyên ⇒ k = 0.
Khi đó: sinx = 0 ⇔ x = mπ (m ∈ Z)
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) cos (3x + π) = 0
b) cos (π /2 - x) = sin2x
Bài giải:
![Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản ảnh 13](/images/sgk/2/12/a19-2.jpg)
![Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản ảnh 14](/images/sgk/2/13/a19-2.jpg)
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) sinx. cosx = 1
b) cos2 x - sin2 x + 1 = 0
Bài giải:
![Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản ảnh 15](/images/sgk/2/14/a19-2.jpg)
![Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản ảnh 16](/images/sgk/2/15/a19-2.jpg)
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) cos2 x - 3cosx + 2 = 0
b) 1/ (cos2 x) - 2 = 0.
Bài giải:
![Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản ảnh 17](/images/sgk/2/16/a19-2.jpg)
![Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản ảnh 18](/images/sgk/2/17/a19-2.jpg)
Bài 4: Giải phương trình: (√ 3 - 1) sinx = 2sin2x.
Bài giải:
![Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản ảnh 19](/images/sgk/2/18/a19-2.jpg)
Bài 5: Giải phương trình: (√ 3 - 1) sinx + (√ 3 + 1) cosx = 2√ 2 sin2x
Bài giải:
![Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản ảnh 20](/images/sgk/2/19/a19-2.jpg)
![Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản ảnh 21](/images/sgk/2/20/a19-2.jpg)