Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

Để đưa một phương trình về phương trình lượng giác cơ bản; ta cần sử dụng các phép biến đổi tương đương; các công thức lượng giác: công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng. .. để đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình: cos² (x- 30⁰) - sin² (x- 30⁰) = sin (x+ 30⁰)

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Ví dụ 2. Giải phương trình cos (60⁰+ x) + cos (60⁰-x)= 1.

A. x = 30⁰+ k. 180⁰

B. x= 60⁰ + k. 180⁰

C. x =90⁰ +k. 360⁰

D. x= k. 360⁰

Bài giải:

Đáp án đúng là: D.

Hướng dẫn:

Ta có: cos (60⁰ + x) + cos (60⁰ - x) = 1

⇒ 2cos 60⁰. cosx = 1

⇒ cosx = 1

⇒ x = k. 360⁰

Ví dụ 3. Giải phương trình: sin²x = 1/2

A. x = π + k2π

B. x = π/4 + k π/2

C. x = π/2 + kπ

D. Đáp án khác

Bài giải:

Đáp án đúng là: B.

Hướng dẫn:

Ta có: sin² x = 1/2

⇒ (1 - cos2x)/2 = 1/2

⇒ cos2x = 0

⇒ 2x = π/2 + kπ

⇒ x = π/4 + k π/2

Ví dụ 4. Giải phương trình: sin² x - sin² x. cos² x = 1

A. x = π/4 + kπ

B. x = π/2 + kπ

C. x = π/2 + k2π

D. x = kπ

Bài giải:

Đáp án đúng là: C.

Hướng dẫn:

Ta có: sin² x – sin² x. cos² x = 1

⇔ sin² x (1 - cos² x) = 1

⇔ sin² x. sin²x = 1

⇔ sin⁴ x = 1

⇔ sin² x = 1

⇔ cosx = 0

⇔ x = π/2 + kπ

Ví dụ 5. Giải phương trình cos (x + 30⁰) - √ 3/2. cosx = 1/2

A. x = π/2 + k2π

B. x = 3π/2 + kπ

C. x = π/2 + kπ

D. x = kπ

Bài giải:

Đáp án đúng là: C.

Hướng dẫn:

Ta có: cos (x + 30⁰) - √ 3/2. cosx = 1/2

⇔ cosx. cos30⁰- sinx. sin30⁰- √ 3/2. cosx = 1/2

⇔ cosx. √ 3/2-sinx. 1/2 - √ 3/2. cosx = 1/2

⇔ -sin⁡x. 1/2 = 1/2

⇔ sinx =- 1

⇔ x = 3π/2 + k2π

Ví dụ 6. Giải phương trình:

A. x = (- π)/6 + k. π

B. x = (- π)/12 + k. π

C. x = (π)/12 + k. π

D. Đáp án khác

Bài giải:

⇔ tan (x + π/4) = tan π/6

⇔ x + π/4 = π/6 + kπ

⇔ x = (- π)/12 + k. π

Ví dụ 7. Giải phương trình: cos (x + 30⁰). cos (x - 30⁰) = 1/2

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: D.

Hướng dẫn:

Ta có: cos (x + 30⁰) + cos (x - 30⁰) = 1/2

⇔ 1/2 [cos 2x + cos60⁰) = 1/2

⇔ cos2x + cos 60⁰ = 1

⇔ cos2x + 1/2 = 1

⇔ cos2x = 1/ (2) = cos60⁰

Ví dụ 8. Giải phương trình sin²x - cos²x = sinx

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Bài giải:

Đáp án đúng là: C.

Hướng dẫn:

Ta có; sin²x- cos²x= sin x

- cos 2x= cos (90⁰- x)

cos (180⁰- 2x) = cos (90⁰ - x)

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Giải phương trình tanx. tan3x = 1

A. x = π/2 + kπ

B. x = π/4 + kπ/2

C. x = π/3 + kπ

D. x = π/4 + kπ

Hiển thị lời giải

Ta có: tanx. tan 3x= 1

⇔ tanx=1/tan3x

⇔ tanx= cot 3x

⇔ tanx= tan (π/2-3x)

⇔ x= π/2-3x+k2π

⇔ 4x= π/2+k2π

⇔ x= π/8+kπ/2

Chọn B.

Câu 2:Giải phương trình: (sinx+ cosx)² =2

A. x= π/3+kπ

B. x= π/4+kπ

C. x= π/4+k2π

D. x= π/8+kπ

Hiển thị lời giải

Ta có; (sinx+ cosx)² = 2

⇒ sin² x+ cos²x+ 2sinx. cosx= 2

⇒ 1+ sin2x= 2 ⇒ sin2x= 1

⇒ 2x= π/2+k2π ⇒ x= π/4+kπ

Chọn C.

Câu 3:Giải phương trình: sin⁴x- cos⁴x = 1

A. x= π/2+kπ

B. x= π/2+k2π

C. x= π/4+k2π

D. x= π/4+kπ

Hiển thị lời giải

Ta có: sin²x- cos²x=1

⇒ (sin²x- cos²x). (sin²x+ cos²x) = 1

⇒ -cos2x. 1= 1 ⇒ cos2x= -1

⇒ 2x= π+k2π ⇒ x= π/2+kπ

Chọn A.

Câu 4:Giải phương trình: 4cos² x+ cos2x + 1= 0

A. x= π/2+k2π

B. x= π/4+kπ

C. x= π/2+kπ

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Ta có: 4cos² x + cos2x + 1 = 0

⇔ 4. (1+cos2x)/2 + cos2x + 1 = 0

⇔ 2 (1+ cos2x) + cos2x + 1 = 0

⇔ 3cos2x + 3= 0 ⇔ 3cos 2x= - 3

⇔ cos2x= - 1

⇔ 2x= π+k2π ⇔ x= π/2+kπ

Chọn C.

Câu 5:Giải phương trình: 2. tanx. cosx + 2cosx= 0

A. x= π/2+kπ

B. x= -π/4+kπ

C. Cả A và B đúng

D. Tất cả sai

Hiển thị lời giải

Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+ kπ

Ta có: 2tanx. cosx + 2cosx = 0

⇒ cosx. (2tanx + 2) = 0

Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của phương trình đã cho là: x= -π/4+kπ

Chọn B.

Câu 6:Đâu không phải là một họ nghiệm của phương trình: sin2x –sinx + 2cosx – cos²x – sin²x= 0?

A. x= π/3+k2π

B. x=- π/3+k2π

C. x= 3π/2+k2π

D. x= π/6+k2π

Hiển thị lời giải

Ta có: sin2x –sinx + 2cosx – cos²x – sin²x= 0

⇒ (sin2x + 2cosx) –sinx - (cos² x+ sin²x) = 0

⇒ (2sinx. cosx + 2cosx) – sinx – 1=0

⇒ 2cosx. ( sin x+1) – (sinx+1)= 0

⇒ (2cosx – 1). (sinx+ 1) = 0

Chọn D.

Câu 7:Giải phương trình: 2sin²x+ 4cos²x= 3?

A. x= π/4+ kπ

B. x= π/4+ kπ/2

C. x= π/2+kπ

D. x= π/4+ kπ/4

Hiển thị lời giải

Áp dụng công thức hạ bậc ta có:

2sin²x+ 4cos²x= 3

⇔ 1- cos2x + 2. ( 1+ cos2x) = 3

⇔ 1- cos 2x +2+ 2cos2x = 3

⇔ cos2 x = 0

⇔ 2x= π/2+kπ ⇒ x= π/4+ kπ/2

Chọn B.

Câu 8:Giải phương trình:

A. x= π/4+kπ

B. x= π/4+k2π

C. x= π/2+kπ

D. x= -π/4+kπ

Hiển thị lời giải

Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ.

Khi đó ta có:

Chọn A.

Câu 9:Tìm nghiệm dương bé nhất của phương trình:

A. x= π/3

B. x= π/8

C. x= π/6

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Điều kiện:

⇔ 4cotx = 4

cot x= 1

⇔ x= π/4+kπ (thỏa mãn điều kiện).

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x= π/4 (khi k = 0)

Chọn D.

Bài trước: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên khoảng (đoạn) - Chuyên đề Toán 11 Bài tiếp: Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác - Chuyên đề Toán 11