Trang chủ > Lớp 11 > Chuyên đề Toán 11 (có đáp án) > Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm - Chuyên đề Toán 11

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f (x) đi qua điểm M (x1; y1)

Cách 1:

- Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M có hệ số góc là k có dạng:

y = k (x – x1) + y1.

- (d) tiếp xúc với đồ thị (C) tại N (x0; y0) khi hệ: Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 1 có nghiệm xo

Cách 2:

- Gọi N (x0; y0) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) và tiếp tuyến (d) qua điểm M, nên (d) cũng có dạng y = y’0(x – x0) + y0.

- (d) đi qua điểm nên có phương trình: y1 = y0' (x1 – x0) + y0 (*)

- Từ phương trình (*) ta tìm được tọa độ điểm N (x0; y0), từ đây ta tìm được phương trình đường thẳng (d)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hàm số y = 2x3 - 3x2 + 5 có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A (19/12; 4) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số.

Bài giải:

Tập xác định D = R

Đạo hàm: y’ = 6x2 – 6x

Gọi M (x0; y0)∈ (C) ⇔ y0 = 2x03 - 3x02 + 5 và y' (x0) = 6x02 - 6x0

Phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại M có dạng:

y – y0 = y’ (x0) (x – x0)

⇔ y - 2x03 + 3x02 - 5 = (6x02 - 6x0) (x - x0)

⇔ (6x02- 6x0)x - 4x03 + 3x03 + 5 = y

A ∈ Δ ⇔ 4 = (6x02 - 6x0). (19/12) - 4x03 + 3x03 + 5

⇔ 8x03 - 25x02 + 19x0 - 2 = 0

⇔ x0 = 1 hoặc x0 = 2 hoặc x0 = 1/8

Với x0 = 1 ⇒ Δ: y = 4

Với x0 = 2 ⇒ Δ: y = 12x - 15

Với x0 = 1/8 ⇒ Δ: y = (-21/32)x + 645/128

Bài 2: Cho hàm số: Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 2 có đồ thị là (C) và điểm A (0; m). Xác định m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox.

Bài giải:

TXĐ: D = R\ {1}

Gọi điểm M (x0; y0).

Ta có y’ = -3/ (x - 1)2

Tiếp tuyến Δ tại M của (C) có phương trình:

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 3

Vì tiếp tuyến qua A (0; m) nên ta có:

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 4

Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 5

Khi đó:

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 6

Ta có: (*) có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 7

Vậy 1 ≠ m > (-2/3) là những giá trị cần tìm

Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (m – 1)x + 2m có đồ thị là (Cm). Tìm m để từ điểm M (1; 2) vẽ đến (Cm) đúng hai tiếp tuyến.

Bài giải:

Ta có: y' = 3x2 - 4x + m - 1. Gọi A (a; b) là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

y = (3a2 - 4a + m - 1)(x - a) + a3 - 2x2 + (m - 1)a + 2m

Vì M ∈ Δ ⇔ 2 = (3a2 - 4a + m - 1)(1 - a) + a3 - 2x2 + (m - 1)a + 2m

⇔ 2a3 + 5a2 - 4a + 3m - 3 = 0 (*)

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) có đúng hai nghiệm phân biệt. (1)

Xét hàm số: h (t) = 2t3 + 5t2 - 4t, t∈ R.

Ta có: h’ (t) = 6t2 + 10t - 4. Cho h’ (t) = 0 ⇒ Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 8

Bảng biến thiên:

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 9

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (1)

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 10 là những giá trị cần tìm.

Bài 4: Cho hàm số y = (1/3)x3 - 2x2 + 3x có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A (4/9; 4/3) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số.

Bài giải:

Ta có: y' = x2 - 4x + 3. Gọi A (a; b) là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 11

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 3x

Với a = 1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4/3

Với a = 8/3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-5/9)x + 128/81

Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 12, biết tiếp tuyến đi qua điểm M (6; 4).

Bài giải:

Ta có: Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 13

Gọi A (a; b) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 14

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (3/4)x - 1/2

Với a = 3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4

Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C): Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 15 biết d đi qua điểm A (-6; 5)

Bài giải:

Ta có: Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 16

Gọi A (a; b) là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 17

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -x - 1

Với a = 6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-1/4)(x - 6) + 2 = (-1/4)x + 7/2

Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x3 – 2x2 + x + 4 đi qua điểm M (-4; -24)

Bài giải:

Ta có: y' = 3x2 - 4x + 1. Gọi A (a; b) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

y = (3a2 - 4a + 1)(x - a) + a3 - 2a2 + a + 4

Vì A (-4; -24) ∈ Δ ⇔ -24 = (3a2 - 4a + 1)(-4 - a) + a3 - 2a2 + a + 4

⇔ -2a3 - 10a2 + 16a + 24 = 0

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 18

Với a = -6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 133 (x + 6) - 240 = 133x + 508

Với a = 2, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5 (x - 2) + 6 = 5x - 10

Với a = -1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 8 (x + 1) + 2 = 8x + 10

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 19 tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm (-6; 5) là

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 20

Đáp án: B

Chọn B

Ta có:

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 21

Gọi A (a; b) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 22

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -x-1

Với a = 6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-1/4)(x-6)+2 = (-1/4)x + 7/2

Bài 2: Tiếp tuyến kẻ từ điểm (2; 3) tới đồ thị hàm số Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 23 là:

A. y = -28x + 59; y = x + 1

B. y = -24x + 51; y = x + 1

C. y = -28x + 59

D. y = - 28x + 59; y = -24x + 51

Đáp án: C

Chọn C

Ta có:

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 24

Gọi A (a; b) là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 25

Với a = 3/2, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -28 (x-3/2) + 17 = -28x + 59

Bài 3: Cho hàm số: Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 26 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A (- 1; 0) là:

A. y = (3/4)x

B. y = (3/4)(x+1)

C. y = 3 (x + 1)

D. y = 3x + 1

Đáp án: B

Chọn B.

Ta có:

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 27

Gọi d là phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k

Vì A (-1; 0) ∈ d suy ra d: y = k (x + 1) = kx + k

d tiếp xúc với (C) khi hệ

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 28
có nghiệm

Thay (2) vào (1) ta được x = 1, suy ra k = y’ (1) = 3/4

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A (-1; 0) là: y = (3/4)(x+1)

Bài 4: Qua điểm A (0; 2) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x4 - 2x2 + 2

A. 2 B. 3 C. 0 D. 1

Đáp án: B

Chọn B.

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho.

Vì A (0; 2) ∈ d nên phương trình của d có dạng: y = kx + 2

Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 29
có nghiệm

Thay (2) và (1) ta suy ra được:

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 30

Chứng tỏ từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài 5: Cho hàm số y = - x4 + 2x2 có đồ thị (C). Xét hai mệnh đề:

(I) Đường thẳng Δ: y = 1 là tiếp tuyến với (C) tại M (-1; 1) và tại N (1; 1)

(II) Trục hoành là tiếp tuyến với (C) tại gốc toạ độ

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II)

C. Cả hai đều sai

D. Cả hai đều đúng

Đáp án: D

Chọn đáp án D

Ta có y’ (-1) = y’ (1) = 0 ⇒ (I) đúng

Ta có y’ (0) = 0 ⇒ (II) đúng

Bài 6: Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x – 1 có đồ thị là (C). Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C):

A. 2 B. 1 C. 3 D. 0

Đáp án: B

Chọn đáp án B.

Xét đường thẳng kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có dạng d: y = k (x – 2)

d là tiếp tuyến của (C)

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 31

Phương trình bậc ba có duy nhất một nghiệm tương ứng cho ta một giá trị k. Vậy có một tiếp tuyến.

Bài 7: Đường thẳng y = 3x + m là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 2 khi m bằng

A. 1 hoặc -1

B. 4 hoặc 0

C. 2 hoặc -2

D. 3 hoặc -3

Đáp án: B

Chọn B.

Đường thẳng y = 3x + m và đồ thị hàm số y = x3 + 2 tiếp xúc nhau

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 32

Bài 8: Định m để đồ thị hàm số y = x3 – mx2 + 1 tiếp xúc với đường thẳng d: y = 5?

A. m = -3 B. m = 3 C. m = -1 D. m = 2

Đáp án: A

Chọn A

Đường thẳng y = 5 và đồ thị hàm số y = x3 – mx2 + 1 tiếp xúc nhau

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 33

+ Với x = 0 thay vào (1) không thỏa mãn

+ Với x = 2m/3 thay vào (1) ta có: m3 = -27⇔ m = -3

Bài 9: Phương trình tiếp tuyến của (C): y = x3 biết nó đi qua điểm M (2; 0) là:

A. y = 27x ± 54

B. y = 27x – 9; y = 27x – 2

C. y = 27x ± 27

D. y = 0; y = 27x – 54

Đáp án: D

Chọn D.

+ y’ = 3x2

+ Gọi A (a; b) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là:

y = 3a2(x – a) + a3 (d)

+ Vì tiếp tuyến (d) đí qua M (2; 0) nên ta có phương trình:

0 = 3a2(2 – a) + a3

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 34

+ Với a = 0 thay vào (d) ta có tiếp tuyến y = 0

+ Với a = 3 thay vào (d) ta có tiếp tuyến y = 27x – 54

Bài 10: Cho hàm số y = x2 – 5x – 8 có đồ thị (C). Khi đường thẳng y = 3x + m tiếp xúc với (C) thì tiếp điểm sẽ có tọa độ là:

A. M (4; 12) B. M (- 4; 12) C. M (-4; - 12) D. M (4; - 12)

Đáp án: D

Đáp án D

Đường thẳng d: y = 3x + m tiếp xúc với (C) ⇒ d là tiếp tuyến với (C) tại A (a; b)

y’ = 2x – 5

y’ (a) = 3 ⇒ a = 4, b = -12

Bài 11: Cho hàm số: Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 35 có đồ thị (C). Từ điểm M (2; -1) có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình:

A. y = -x + 1 và y = x – 3

B. y = 2x – 5 và y = -2x + 3

C. y = -x – 1 và y = - x + 3

D. y = x + 1 và y = - x – 3

Đáp án: A

Chọn A

Gọi N (a; b) là tiếp điểm

y’ = x/2 - 1

Phương trình tiếp tuyến tại N là:

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 36

Mà tiếp tuyến đi qua M (2; -1)

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 37

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến là: y = -x + 1

Với a = 4. Phương trình tiếp tuyến: y = x – 3

Bài 12: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 6x + 1 (C). Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) trong các phương trình sau, biết tiếp tuyến đi qua điểm N (0; 1).

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 38

Đáp án: C

Chọn C

Gọi M (a; b) là tiếp điểm

Ta có: y’ = 3x2 + 6x – 6

Phương trình tiếp tuyến có dạng:

y = (3a2+6a-6)(x-a)+a3+3a2-6a+1

Vì tiếp tuyến đi qua N (0; 1) nên ta có:

1 = (3a2+6a-6)(0-a)+a3+3a2-6a+1

⇔ 2a3+3a2 = 0

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 39

a = 0. Phương trình tiếp tuyến: y = -6x + 1

a = -3/2. Phương trình tiếp tuyến: y = (-33/4)x + 1

Bài 13: Cho hàm số y = x4 + x2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm M (-1; 3).

A. y = -6x – 2

B. y = -6x – 9

C. y = -6x – 3

D. y = -6x – 8

Đáp án: C

Chọn C

Ta có: y’ = 4x3 + 2x. Gọi M (a; b) là tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến có dạng:

y = (4a3+2a)(x-a)+a4+a2+1

Vì tiếp tuyến đi qua M (-1; 3) nên ta có:

3 = (4a3+2a)(-1-a)+a4+a2+1

⇔ 3a4+4a3+a2+2a+2 = 0

⇔ (a+1)2(3a2-2a+2) = 0

⇔ a = -1

Phương trình tiếp tuyến: y = -6x – 3

Bài 14: Cho hàm số: Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 40 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A (4; 3)

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 41

Đáp án: D

Chọn D

Hàm số xác định với mọi x ≠ 1. Ta có:

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 42

Gọi M (a; b) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):

Vì tiếp tuyến đi qua A (4; 3) nên ta có:

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 43

+ a = 7. Phương trình tiếp tuyến y = (-1/9)x + 31/9

+ a = - 3. Phương trình tiếp tuyến y = (-1/4)x - 1/4

Bài 15: Cho hàm số: Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 44 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A (- 7; 5).

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 45

Đáp án: D

Chọn D

Ta có

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 46

Gọi M (a; b) là tiếp điểm. Do tiếp tuyến đi qua A (-7; 5) nên ta có:

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 47

Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là:

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm ảnh 48