Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.

+ Bước 2: Lập phương trình; bất phương trình.

+ Bước 3: Giải phương trình; bất phương trình.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y = 2x³ – 6x²+ 2000. Phương trình y'= 0 có mấy nghiệm?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Bài giải:

+ Ta có đạo hàm: y' = 6x² - 12x

+ Cho y' = 0 < => 6x² - 12x = 0

Vậy phương trình y’ = 0 có hai nghiệm.

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 2.Cho hàm số y = x³ - 4x² + 5x - 9. Với giá trị nào của x thì y'> 0?

Bài giải:

Ví dụ 3.Cho hàm số y = x⁴ + 2x³ – k. x² + x - 10. Tìm k để phương trình y' = 1 có một nghiệm là x = 1?

A. k = 5 B. k = -5 C. k = 2 D. k = - 3

Bài giải:

+ Ta có đạo hàm: y' = 4x³ + 6x² - 2kx + 1.

+ Để y’ = 1 thì 4x³ + 6x² - 2kx + 1 = 1

⇔ 4x³ + 6x² – 2kx = 0. (*)

Do phương trình y’ = 1 có một nghiệm là x = 1 nên phương trình (*) có một nghiệm x = 1. => 4.13 + 6.12 – 2. k. 1 = 0

⇔ 10 - 2k = 0

⇔ k = 5.

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 4. Cho hàm số y = 4x + √x - 10. Nghiệm của phương trình y' = 0 là:

A. x = 1 B. x = 4 C. x = 9 D. Vô nghiệm

Bài giải:

⇒ Phương trình y’ = 0 vô nghiệm.

Chọn D.

Ví dụ 5. Cho hàm số y = (2x - 1)/ (x + 1). Với những giá trị nào của x thì y’ > 0

A. R. B. x> 0 C. R\ {-1} D. -1

Bài giải:

Ví dụ 6. Cho hàm số y = (2x - 2)/ (x - 3). Giải phương trình y' = -4.

A. x = - 2 B. x = 4 hoặc x = 2 C. x = 2 D x = - 3

Bài giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x≠3.

Đạo hàm của hàm số đã cho với x≠3 là:

Ví dụ 7. Cho hàm số y = (x³ + x²)/ (x - 1). Phương trình y' = 0 có mấy nghiệm nguyên?

A. 1 B. 0 C. 2 D. 3

Bài giải:

+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm x≠1. Khi đó, đạo hàm của hàm số là:

Ví dụ 8.Cho hàm số y = 2mx – mx³. Với những giá trị nào của m để x = -1 là nghiệm của bất phương trình y'< 1?

A. m > - 1 B. m < 1 C. m= 1 D. m < - 1

Bài giải:

Ta có đạo hàm: y’ = 2m - 3mx²

Bất phương trình y' < 1 khi 2m - 3mx² < 1

Do x = -1 là nghiệm của bât phương trình nên ta có: 2m - 3m. (-1)² < 1

⇔ - m < 1 hay m > - 1.

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 9. Cho hàm số y = 2 (m-1)x³- 6 (m+ 2)x²+ 2. Tìm m để y' ≥ 0; ∀ x∈R?

A. m < - 2 B. m> 2 C. m > -2 D. m= -2

Bài giải:

+ Hàm số xác định với ∀x∈R.

+ Đạo hàm của hàm số: y' = 6 (m - 1) x² - 12 (m + 2).x

+ Để y' ≥ 0; ∀ x∈R:

< => 6 (m - 1) x² - 12 (m + 2).x ≥ 0 đúng ∀ x∈R (*)

+ Với m = 1 thì (*) trở thành: -36 x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 (loại)

+ Với m≠1 thì để (*) đúng với mọi x thì:

Ví dụ 10. Tìm m để các hàm số y = mx³ - 3mx² + (9m - 3) x + 3 có y' ≤ 0; ∀x∈R.

A. m< 1 B. m< 0 C. m ≤ 0 D. m > 0

Bài giải:

Hàm số đã cho xác định với ∀x.

Đạo hàm của hàm số là: y' = 3mx² – 6mx + 9m - 3

Để y' ≤ 0; ∀x∈R thì 3mx² – 6mx + 9m - 3 ≤ 0; ∀x∈R (*)

+ Nếu m = 0 thì (*) trở thành: - 3≤ 0 (luôn đúng với mọi x)

⇒ m = 0 thỏa mãn.

+ Nếu m≠0 thì để (*) luôn đúng với mọi x khi và chỉ khi:

Ví dụ 11. Cho hàm số y = (kx - 1)/ (x - 1). Xác định các giá trị của k để y'< 0; ∀ x≠1

A. k < - 1 B. k> 1 C. k< - 2 D. k > 3

Bài giải:

Hàm số đã cho có đạo hàm với mọi x≠1.

Với ∀x≠1 hàm số có đạo hàm là:

Ví dụ 12. Cho hàm số y = √ (2x² + 4). Với những giá trị nào của x thì y' = 0?

A. x= 0 B. x= 1 C. x= 2 D. Không có giá trị nào thỏa mãn

Bài giải:

Hàm số đã cho xác định với ∀ x.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số y = x³ – x² + 2000x + 8. Phương trình y' = 0 có mấy nghiệm?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Hiển thị lời giải

Ta có đạo hàm: y'=3x²-2x+2000

+ Để y'=0 thì 3x²-2x+2000= 0 (*)

Phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình y’= 0 vô nghiệm.

Chọn A.

Câu 2: Cho hàm số y= 2x³-4x²+2x-9. Với giá trị nào của x thì y'< 0?

A. x< 1 B. x< 1/3 C. x > 1 hoặc x< 1/3 D. 1/3< x < 1

Hiển thị lời giải

+ Ta có đạo hàm y'=6x²-8x+2

+ Để y'< 0 thì 6x²-8x+2 < 0 ⇔ 1/3< x< 1

Vậy để y’> 0 thì 1/3 < x < 1

Chọn D.

Câu 3: Cho hàm số y = x⁴ - 3x³ + 2k. x² + 4x - 6. Tìm k để phương trình y'=1 có một nghiệm là x = 1?

A. k= 1/2 B. k= 2/3 C. k= 2 D. k= - 3

Hiển thị lời giải

+ Ta có đạo hàm: y'= 4x³ - 9x² + 4kx+ 4.

+ Để y’= 1 thì 4x³- 9x² + 4kx+ 4 = 1

⇔ 4x³ - 9x² + 4kx + 3 = 0. (*)

Do phương trình y’= 1 có một nghiệm là x= 1 nên phương trình (*) có một nghiệm x= 1. Suy ra: 4.13 - 9.12+ 4. k. 1 + 3= 0 ⇔ 4k - 2 = 0

⇔ k= 1/2.

Chọn A.

Câu 4: Cho hàm số y = x² - 32√x + 8. Nghiệm của phương trình y' = 0 là

A. x = 1 B. x = 4 C. x = 9 D. Vô nghiệm

Hiển thị lời giải

Với mọi x> 0; hàm số đã cho có đạo hàm đạo hàm: y'=2x- 16/√x.

Để y'=0 thì 2x- 16/√x = 0 ⇒ 2x√x-16=0

⇔ x√x=8 ⇔ √x= 2 nên x= 4.

Chọn B.

Câu 5: Cho hàm số y = (x + 2)/ (x - 3). Với những giá trị nào của x thì y’ > 0

A. R. B. x > 0 C. R\ {3} D. Không có giá trị nào

Hiển thị lời giải

Câu 6: Cho hàm số y = (3x + 1)/ (2x + 2). Giải phương trình y' = 4.

Hiển thị lời giải

Hàm số đã cho xác định với mọi x≠-1.

Đạo hàm của hàm số đã cho với x≠-1 là:

Câu 7: Cho hàm số y = (2 x² - 2x)/ (x + 1). Phương trình y' = 0 có nghiệm là?

A. x = -1 hoặc x = 0 B. x = 0 C. x = 1 hoặc x = -1 D. x = 2 hoặc x = - 1

Hiển thị lời giải

+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm x≠-1. Khi đó; đạo hàm của hàm số là:

Câu 8: Cho hàm số y = x³ – mx² + 3x + 3. Với những giá trị nào của m để x= 6 là nghiệm của bất phương trình y'< 3?

A. m > 6 B. m > 9 C. m < - 6 D. m < 9

Hiển thị lời giải

Ta có đạo hàm: y’= 3x² – 2mx + 3

Bất phương trình y’ < 3 khi 3x²-2mx+3 < 3 ⇔ 3x² – 2mx < 0

Do x= 6 là nghiệm của bât phương trình nên ta có: 3.6² – 2. m. 6 < 0

⇔ 108- 12m < 0 hay m > 9.

Chọn B.

Câu 9: Cho hàm số y = (m+1)x³- 3 (2m- 1)x²+ x tìm m để y' ≤ 0; ∀ x∈R?

A. m < - 2 B. m> 2 C. m > -2 D. Không có giá trị nào

Hiển thị lời giải

+ Hàm số xác định với mọi x ∈ R.

+ Đạo hàm của hàm số: y'=3 (m+1) x²-6 (2m-1).x +1

+ Để y' ≤ 0; ∀ x∈R khi và chỉ khi:

3 (m+1) x²-6 (2m-1).x+1 ≤ 0 đúng mọi x ∈ R (*)

+ Với m= -1 thì (*)trở thành: 18 x+ 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ (- 1)/18 (loại)

+ Với m≠-1 thì để (*) đúng với mọi x thì:

Câu 10: Tìm m để các hàm số y = mx³- (m- 2)x² + (m+ 1) x+ 7 có y' ≤ 0; ∀x∈R.

A. m< 4 B. m> - 2 C. m ≤ 4 D. m ≤ -4

Hiển thị lời giải

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Đạo hàm của hàm số là: y' = 3mx² – 2 (m-2)x + m+ 1

Để y' ≤ 0; ∀x∈R thì 3mx² – 2 (m-2)x + m+ 1 ≤ 0; ∀x∈R (*)

+ Nếu m= 0 thì (*) trở thành: 4x + 1 ≤ 0 nên x ≤ (- 1)/4

⇒ m= 0 không thỏa mãn.

+ Để (*) luôn đúng với mọi x khi và chỉ khi:

Câu 11: Cho hàm số y = (2x+k)/ (4x-1). Xác định các giá trị của k để y'< 0; ∀ x≠1/4

Hiển thị lời giải

Hàm số đã cho có đạo hàm với mọi x≠1/4.

Với mọi x≠1/4 hàm số có đạo hàm là:

Câu 12: Cho hàm số y = √ (x²+4x+19). Xác định các giá trị của x là nghiệm của bất phương trình y’ < 0?

A. x< -2 B. x> 4 C. x< 1 D. x> 2

Hiển thị lời giải

+ Ta có: x²+4x + 19= (x+2)² + 15 > 0 với mọi x nên hàm số đã cho luôn xác định và có đạo hàm với mọi x.

Bài trước: Đạo hàm của hàm hợp - Chuyên đề Toán 11 Bài tiếp: Tính đạo hàm tại 1 điểm - Chuyên đề Toán 11