Trang chủ > Lớp 11 > Chuyên đề Toán 11 (có đáp án) > Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa - Chuyên đề Toán 11

Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a, b), xo ∈ (a, b). Nếu tồn tại, giới hạn (hữu hạn) Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa ảnh 1 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f (x) tại xo, kí hiệu là f' (xo) hay y’ (xo), tức là:

Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa ảnh 2
Lưu ý:
Đại lượng Δx = x – x0 gọi là số gia của đối số x tại x0.
Đại lượng Δy = f (x) – f (x0) = f (x0 + Δx) – f (x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số.
Như vậy: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1: Với Δ x là số gia của đối số tại xo, tính: Δ y = f (xo + Δ x) - f (xo)

Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa ảnh 4

Lưu ý: Trong định nghĩa trên đây, thay xo bởi x ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x ∈ (a, b)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hàm số Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa ảnh 5 có Δ x là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp ánbằng bao nhiêu?

Bài giải:

Tập xác định của hàm số đã cho là D = [2/3; +∞)

Với Δ x là số gia của đối số tại x = 2 sao cho 2 + Δ x ∈ D, thì:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 2: Cho hàm số f (x) = 3x + 5. Tính đạo hàm của hàm số đã cho bằng định nghĩa.

Bài giải:

Tập xác định của hàm số đã cho là D = R

Ta có Δ y = 3 (x+Δ x) + 5 - 3x - 5 = 3Δ x

Khi đó:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 3: Cho hàm số: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp ánĐạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1?

Bài giải:

Với Δ x là số gia của đối số tại x = 1, ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f (x)= 2x3 + 1 tại x = 2

Bài giải:

Ta có: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài giải:

Ta có: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 6: Tính đạo hàm của hàm số:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài giải:

Ta có: f (0) = 0, do đó:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 7: Tính đạo hàm của hàm số:Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp ánbằng định nghĩa

Bài giải:

Tập xác định của hàm số đã cho là D = R\ {-1}

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án
B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số f (x) = x2 + 2x, có Δ x là số gia của đối số tại x = 1, Δ y là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó Δ y bằng:

A. (Δ x)2 + 2Δ x

B. (Δ x)2 + 4Δ x

C. (Δ x)2 + 2Δ x - 3

D. 3

Đáp án: B

Δ y = f (1 + Δ x) - f (1) = (1 + Δ x)2 + 2 (1 + Δ x) - (1 + 2) = (Δ x)2 + 4Δ x

Đáp án B

Bài 2: Cho hàm số: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1 là:

A. 1/4 B. -1/2 C. 0 D. 1/2

Đáp án: A

Với Δ x là số gia của đối số tại x = 1, ta có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án A

Bài 3: Cho hàm số f (x) = |x + 1|. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. f (x) liên tục tại x = -1

B. f (x) có đạo hàm tại x = -1

C. f (-1) = 0

D. f (x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -1

Đáp án: B

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Suy ra không tồn tại giới hạn của tỉ sốChuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp ánkhi x → -1

Do đó hàm số đã cho không có đạo hàm tại x = -1

Vậy chọn đáp án là B

Bài 4: Số gia của hàm số f (x) = 2x2 - 1 tại x0 = 1 ứng với số gia Δ x = 0,1 bằng:

A. 1

B. 1,42

C. 2,02

D. 0,42

Đáp án: B

chọn đáp án là B

Bài 5: Cho hàm số y = √ x, Δ x là số gia của đối số tại x. Khi đó Δ y/Δ x bằng:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án: C

Δ y = f (x0 + Δ x) - f (x0)

Vậy chọn đáp án là C

Bài 6: Cho hàm số:Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1?

A. 1 B. 0 C. 1/4 D. -1/4

Đáp án: C

Ta có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy chọn đáp án là C

Bài 7: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f (x) = 2x3 + 1 tại x = 2?

A. 10

B. 24

C. 22

D. 42

Đáp án: B

Ta có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy chọn đáp án là B

Bài 8: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

A. 1/2 B. -1/√ 2 C. 0 D. 3

Đáp án: A

Ta có f (0) = 0, do đó:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy chọn đáp án là A

Bài 9: Hàm số: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp áncó Δ x là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó Δ y/Δ x bằng?

Đáp án: A

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy chọn đáp án là A

Bài 10: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f (x) = x2 + 1 tại x = 1?

A. 1/2 B. 1 C. 0 D. 2

Đáp án: D

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy chọn đáp án là D