Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
1) Nếu số hạng tổng quát cho dưới dạng thì:
Thu gọn un, dựa vào biểu thức thu gọn để chặn un.
Ta cũng có thể chặn tổng: bằng một tổng mà ta có thể biết được chặn trên, chặn dưới của nó.
2) Nếu dãy số (un) cho bởi một hệ thức truy hồi thì:
Dự đoán chặn trên, chặn dưới rồi chứng minh bằng phương pháp chứng minh quy nạp.
Ta cũng có thể xét tính đơn điệu (nếu có) sau đó giải bất phương trình un+1 − un dựa vào đó chặn (un).
3) Nếu số hạng tổng quát cho bởi công thức thì ta dựa vào phương pháp đánh giá (chú ý n ∈ N*)
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét tính bị chặn của các dãy số (un) có
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
D. Bị chặn dưới
Bài giải:
* Với n∈ N* ta có: nên dãy số bị chặn dưới bởi 0
+ Lại có: với n ∈ N* => Dãy (un) bị chặn trên bởi 2.
=> Dãy số (un) bị chặn.
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 2: Xét tính bị chặn của các dãy số (un) biết un = (− 1)n
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
D. Bị chặn dưới
Bài giải:
Ta có:
=> − 1 ≤ un ≤ 1 với mọi n nên (un) là dãy số bị chặn.
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 3: Xét tính bị chặn của các dãy số (un) biết un = 4n − 2
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
D. Bị chặn dưới
Bài giải:
Ta có: n ≥ 1 nên 4n − 2 ≥ 2 => dãy số (un) bị chặn dưới bởi 2 và dãy (un) không bị chặn trên.
Đáp án đúng là: D.
Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi . Chọn mệnh đề sai.
A. Dãy số (un) bị chặn trên.
B. Dãy số (un) bị chặn dưới.
C. Dãy số tăng.
D. Dãy số không bị chặn.
Bài giải:
+ Xét hiệu:
Vậy (un) là dãy số tăng.
+ Ta có:
=> ∀ n ∈ N*; un < 2 nên (un) bị chặn trên. (1)
Vì (un) là dãy số tăng nên
=> (un) bị chặn dưới. (2)
Từ (1) và (2) suy ra (un) bị chặn.
=> D sai.
Mệnh đề sai là: D.
Ví dụ 5: Cho dãy số (un) xác định bởi un = 1 + (n − 1). 2n. Chọn mệnh đề sai.
A. Dãy số tăng.
B. Công thức truy hồi của dãy số là:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 11](/images/sgk/2/10/a4p-2.jpg)
C. 5 số hạng đầu tiên của dãy số là 1,5,17,49,129.
D. Dãy số bị chặn trên.
Bài giải:
+ Ta có:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 12](/images/sgk/2/11/a4p-2.jpg)
=> C đúng
+ Xét hiệu:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 13](/images/sgk/2/12/a4p-2.jpg)
Vậy công thức truy hồi:
+ Ta có: un+1 − un = (n+1). 2n > 0
Suy ra dãy số (un) là dãy số tăng.
Ta có: un = 1 + (n − 1).2n ≥ 1 với ∀ n ≥ 1
=> (un) là dãy số bị chặn dưới.
=> D sai.
Mệnh đề sai là: D.
Ví dụ 6: Cho dãy số (un) xác định bởi . Chọn mệnh đề đúng.
A. Dãy số (un) bị chặn trên; không bị chặn dưới.
B. Dãy số (un) bị chặn dưới; không bị chặn trên.
C. Dãy số (un) không bị chặn.
D. Dãy số (un) bị chặn.
Bài giải:
Công thức un được viết lại:
Với mọi n ∈ N* ta có: 2n2 + 4 > 0
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 17](/images/sgk/2/16/a4p-2.jpg)
=> (un) bị chặn trên bởi
+ Lại có: với mọi n ∈ N* thì: n2 + 1 > 0 và 2n2 + 4 > 0
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 19](/images/sgk/2/18/a4p-2.jpg)
=> (un) bị chặn dưới bởi 0.
Vậy dãy số (un) là bị chặn
Mệnh đề đúng là: D.
Ví dụ 7: Cho dãy số (un) xác định bởi . Chọn mệnh đề sai.
A. Dãy số tăng.
B. Dãy số bị chặn trên.
C. Dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.
D. Dãy số bị chặn.
Bài giải:
* Ta viết lại:
Xét hiệu số:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 22](/images/sgk/2/21/a4p-2.jpg)
Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.
* Ta có:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 23](/images/sgk/2/22/a4p-2.jpg)
Suy ra (un) là một dãy số bị chặn.
Kết luận (un) là một dãy số tăng và bị chặn.
Mệnh đề sai là: C.
Ví dụ 8: Cho dãy số (un) được xác định bởi un = n2 − 4n + 3. Tìm mệnh đề sai.
A. Công thức truy hồi của dãy số là:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 24](/images/sgk/2/23/a4p-2.jpg)
B. Dãy số bị chặn dưới.
C. Tổng n số hạng đầu tiên của dãy số là
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 25](/images/sgk/2/24/a4p-2.jpg)
D. Dãy số bị chặn trên.
Bài giải:
* Ta có: u1 = 12 − 4.1 + 3 = 0
Xét hiệu:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 26](/images/sgk/2/25/a4p-2.jpg)
Vậy công thức truy hồi:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 27](/images/sgk/2/26/a4p-2.jpg)
* Ta có: un = n2 − 4n + 4 − 1 = (n − 2)2 − 1 ≥ 1 với ∀ n ≥ 1
Vậy dãy số bị chặn dưới, nhưng không bị chặn trên.
*Ta có:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 28](/images/sgk/2/27/a4p-2.jpg)
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 29](/images/sgk/2/28/a4p-2.jpg)
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 30](/images/sgk/2/29/a4p-2.jpg)
Mệnh đề sai là: D.
Ví dụ 9: Cho dãy số (un) xác định bởi . Tìm mệnh đề đúng nhất?
A. Dãy số bị chặn trên; không bị chặn dưới.
B. Dãy số bị chặn dưới; không bị chặn trên.
C. Dãy số không bị chặn.
D. Dãy số bị chặn.
Bài giải:
+ Rõ ràng un > 0 với mọi n nên (un) bị chặn dưới bởi 0.
+ Lại có:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 32](/images/sgk/2/31/a4p-2.jpg)
Suy ra:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 33](/images/sgk/2/32/a4p-2.jpg)
=> (un) bị chặn trên.
Kết luận (un) bị chặn.
Mệnh đề đúng là: D.
Ví dụ 10: Cho dãy số (un) xác định bởi . Chọn mệnh đề đúng?
A. Dãy số bị chặn.
B. Dãy số bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.
C. Dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.
D. Dãy số không bị chặn.
Bài giải:
* Rõ ràng un > 0 với ∀ n ∈ N* nên (un) bị chặn dưới bởi 0.
* Ta có: .
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 36](/images/sgk/2/35/a4p-2.jpg)
=> (un) bị chặn trên bởi 2.
Kết luận (un) bị chặn.
Mệnh đề đúng là: A.
Ví dụ 11: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) biết
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai
Bài giải:
* Với mọi n ∈ N*; ta có un > 0. Xét tỉ số
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 38](/images/sgk/2/37/a4p-2.jpg)
=> un+1 < un nên dãy (un) là dãy số giảm.
* Vì dãy số (un) là dãy số giảm nên un ≤ u1 = 2 ∀ n
Suy ra: 0 < un ≤ 2 ∀ n ∈ N*
=> dãy (un) là dãy bị chặn.
Đáp án đúng là: D.
Ví dụ 12: Cho dãy số . Xét dãy số yn = xn+1 − xn. Khẳng định nào đúng về dãy (yn)
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới
D. Giảm, chặn trên
Bài giải:
Ta có:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 40](/images/sgk/2/39/a4p-2.jpg)
Do đó:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 41](/images/sgk/2/40/a4p-2.jpg)
Ta chứng minh dãy (yn) tăng.
Ta có:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 42](/images/sgk/2/41/a4p-2.jpg)
Ta chứng minh dãy (yn) bị chặn.
Trước hết ta chứng minh: xn ≤ 4 (n− 1) (1) với n ≥ 2
* Với n = 2, ta có: x2 = 4x1 = 4 nên (1) đúng với n = 2.
* Giả sử (1) đúng với n = k, tức là: xk ≤ 4 (k− 1). Ta chứng minh đúng với n = k + 1
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 43](/images/sgk/2/42/a4p-2.jpg)
Nên (1) đúng với n = k + 1. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra (1) đúng
Ta có:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 44](/images/sgk/2/43/a4p-2.jpg)
Vậy bài toán được chứng minh.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Xét tính bị chặn của dãy số (un): un = 4 − 3n − n2
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
D. Bị chặn dưới
Đáp án: C
Ta có
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 45](/images/sgk/2/44/a4p-2.jpg)
=> dãy số (un) bị chặn trên; dãy (un) không bị chặn dưới.
Câu 2: Xét tính bị chặn của dãy số (un) biết:
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
D. Bị chặn dưới
Đáp án: A
Ta có:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 47](/images/sgk/2/46/a4p-2.jpg)
+ Với mọi n ∈ N* ta có 2n > 0 và n2 − n + 1 > 0
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 48](/images/sgk/2/47/a4p-2.jpg)
+ Áp dụng bất đẳng thức Cô- si ta được: n2 + 1 ≥ 2n
=> n2 − n + 1 ≥ n nên
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 49](/images/sgk/2/48/a4p-2.jpg)
=> un ≤ 3 (2).
Từ (1) và (2) suy ra dãy số (un) là bị chặn.
Câu 3: Xét tính bị chặn của dãy số (un) biết:
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
D. Bị chặn dưới
Đáp án: A
* Với mọi n nguyên dương ta có:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 51](/images/sgk/2/50/a4p-2.jpg)
* Lại có:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 52](/images/sgk/2/51/a4p-2.jpg)
Vậy 0 < un ≤ 2 nên dãy số (un) là dãy số bị chặn.
Câu 4: Cho dãy số (un) xác đinh bởi: . Tìm mệnh đề đúng?
A. Dãy số bị chặn trên.
B. Dãy số bị chặn dưới.
C. Dãy số bị chặn.
D. Dãy số không bị chặn.
Đáp án: C
* Với mọi n ∈ N* ta có: un > 0
=> (un) bị chặn dưới bởi 0.
Lại có:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 54](/images/sgk/2/53/a4p-2.jpg)
Suy ra
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 55](/images/sgk/2/54/a4p-2.jpg)
=> (un) bị chặn trên bởi
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 56](/images/sgk/2/55/a4p-2.jpg)
Kết luận (un) bị chặn.
Câu 5: Cho dãy số (un) xác đinh bởi: . Tìm mệnh đề sai?
A. Dãy số bị chặn
B. Dãy số bị chặn trên; không bị chặn dưới.
C. Dãy số bị chặn dưới; không bị chặn trên.
D. Dãy số không bị chặn.
Đáp án: A
+ Với mọi n ∈ N* ta có un > 0 nên dãy số bị chặn dưới bởi 0.
+ Lại có:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 58](/images/sgk/2/57/a4p-2.jpg)
Suy ra:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 59](/images/sgk/2/58/a4p-2.jpg)
Nên (un) bị chặn trên.
Kết luận (un) bị chặn.
Câu 5: Cho dãy số (un) xác đinh bởi: . Tìm mệnh đề sai?
A. Với mọi n ∈ N*; un < 15
B. Dãy số (un) là dãy số tăng.
C. Dãy số (un) bị chặn dưới.
D. Dãy số (un) bị chặn.
Đáp án: D
* Ta dùng quy nạp chứng minh: với mọi n ∈ N*; un < 15
Ta có u1 = 1 < 15 nên đúng với n= 1.
Giả sử đúng với n = k; k ∈ N* tức là có: uk < 15.
khi đó
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 61](/images/sgk/2/60/a4p-2.jpg)
Vậy un < 15 với ∀ n ∈ N*. (1)
* Ta có
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 62](/images/sgk/2/61/a4p-2.jpg)
=> dãy số (un) tăng
=> un ≥ u1 = 1 nên (un) bị chặn dưới bởi 1.
Câu 6: Cho dãy số (un) xác đinh bởi: . Tìm mệnh đề đúng?
A. Dãy số bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.
B. Dãy số bị chặm dưới nhưng không bị chặn trên.
C. Dãy số bị chặn.
D. Dãy số không bị chặn.
Đáp án: C
*Với k = 2,3... n ta có
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 64](/images/sgk/2/63/a4p-2.jpg)
Do đó:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 65](/images/sgk/2/64/a4p-2.jpg)
Vế cộng vế suy ra:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 66](/images/sgk/2/65/a4p-2.jpg)
=> (un) bị chặn trên bởi 2.
* Mặt khác; với ∀ n ∈ N* ta có: un > 0
=> (un) bị chặn dưới bởi 0.
=> (un) bị chặn.
Câu 7: Cho dãy số (un) xác đinh bởi: . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Dãy số (un) bị chặn.
B. Dãy số (un) không bị chặn.
C. Dãy số (un) bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.
D. Dãy số (un) bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.
Đáp án: A
*Với mọi n∈ N* ta có:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 68](/images/sgk/2/67/a4p-2.jpg)
* Lại có:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 69](/images/sgk/2/68/a4p-2.jpg)
Mà:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 70](/images/sgk/2/69/a4p-2.jpg)
Suy ra: un < 3 với mọi n nên dãy số (un) bị chặn trên bởi 3.
Kết luận: dãy số (un) bị chặn.
Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) biết:
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số giảm, bị chặn
C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai
Đáp án: A
* Ta có:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 72](/images/sgk/2/71/a4p-2.jpg)
Suy ra un+1 > un ∀ n ≥ 1 ⇔ dãy (un) là dãy tăng.
* Mặt khác:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 73](/images/sgk/2/72/a4p-2.jpg)
Với n ≥ 1; thì
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 74](/images/sgk/2/73/a4p-2.jpg)
Lại có với n ≥ 1 thì
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 75](/images/sgk/2/74/a4p-2.jpg)
Suy ra:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 76](/images/sgk/2/75/a4p-2.jpg)
Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.
Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) biết:
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai
Đáp án: B
* Ta có:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 78](/images/sgk/2/77/a4p-2.jpg)
=> un+1 > un ∀ n > 1 => dãy (un) là dãy số tăng.
* Lại có:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 79](/images/sgk/2/78/a4p-2.jpg)
Câu 10: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) biết:
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai
Đáp án: C
+ Với mọi n ∈ N* ta có: un > 0. Xét tỉ số:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 81](/images/sgk/2/80/a4p-2.jpg)
=> un+1 < un với mọi n.
=> Dãy số (un) là dãy số giảm.
+ Mặt khác: √ (1 + n + n2) > 1 với ∀ n ∈ N*
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 82](/images/sgk/2/81/a4p-2.jpg)
Vậy 0 < un < 1 nên dãy (un) là dãy bị chặn.
Câu 11: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số:
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới
D. Giảm, chặn trên
Đáp án: B
*Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh: 1 < un ≤ 2
Điều này đúng với n = 1.
Giả sử đúng với n = k + 1 tức là: 1 < uk ≤ 2. Ta chứng minh đúng với n = k+ 1.
Thật vậy ta có:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 84](/images/sgk/2/83/a4p-2.jpg)
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 85](/images/sgk/2/84/a4p-2.jpg)
Mà
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 86](/images/sgk/2/85/a4p-2.jpg)
Vậy dãy (un) là dãy giảm và bị chặn.
Câu 12: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số:
A. Tăng, bị chặn
B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới
D. Giảm, chặn trên
Đáp án: A
*Trước hết ta chứng minh 1 < un < 4
Điều này hiển nhiên đúng với n = 1.
Giả sử đúng với n = k tức là: 1 < uk < 4. Ta chứng minh đúng với n = k + 1
Thật vậy: 1 < uk+1 = uk + √ (uk-1) < √ 4 + √ 4 = 4
Vậy dãy (un) là bị chặn.
*Ta chứng minh (un) là dãy tăng
Ta có: u1 < u2, giả sử un+1 < un, ∀ n ≥ k.
Khi đó:
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 88](/images/sgk/2/87/a4p-2.jpg)
![Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải ảnh 89](/images/sgk/2/88/a4p-2.jpg)
=> dãy (un) là dãy tăng.
Vậy dãy (un) là dãy tăng và bị chặn.