Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

1) Nếu số hạng tổng quát cho dưới dạng thì:

Thu gọn u_n, dựa vào biểu thức thu gọn để chặn u_n.

Ta cũng có thể chặn tổng: bằng một tổng mà ta có thể biết được chặn trên, chặn dưới của nó.

2) Nếu dãy số (u_n) cho bởi một hệ thức truy hồi thì:

Dự đoán chặn trên, chặn dưới rồi chứng minh bằng phương pháp chứng minh quy nạp.

Ta cũng có thể xét tính đơn điệu (nếu có) sau đó giải bất phương trình u_n+1 − u_n dựa vào đó chặn (u_n).

3) Nếu số hạng tổng quát cho bởi công thức thì ta dựa vào phương pháp đánh giá (chú ý n ∈ N*)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính bị chặn của các dãy số (un) có

A. Bị chặn

B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

Bài giải:

* Với n∈ N* ta có: nên dãy số bị chặn dưới bởi 0

+ Lại có: với n ∈ N* => Dãy (u_n) bị chặn trên bởi 2.

=> Dãy số (u_n) bị chặn.

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 2: Xét tính bị chặn của các dãy số (u_n) biết u_n = (− 1)ⁿ

A. Bị chặn

B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

Bài giải:

Ta có:

=> − 1 ≤ u_n ≤ 1 với mọi n nên (un) là dãy số bị chặn.

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 3: Xét tính bị chặn của các dãy số (u_n) biết u_n = 4n − 2

A. Bị chặn

B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

Bài giải:

Ta có: n ≥ 1 nên 4n − 2 ≥ 2 => dãy số (u_n) bị chặn dưới bởi 2 và dãy (u_n) không bị chặn trên.

Đáp án đúng là: D.

Ví dụ 4: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số (u_n) bị chặn trên.

B. Dãy số (u_n) bị chặn dưới.

C. Dãy số tăng.

D. Dãy số không bị chặn.

Bài giải:

+ Xét hiệu:

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

+ Ta có:

=> ∀ n ∈ N*; u_n < 2 nên (u_n) bị chặn trên. (1)

Vì (u_n) là dãy số tăng nên

=> (u_n) bị chặn dưới. (2)

Từ (1) và (2) suy ra (u_n) bị chặn.

=> D sai.

Mệnh đề sai là: D.

Ví dụ 5: Cho dãy số (u_n) xác định bởi u_n = 1 + (n − 1). 2ⁿ. Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số tăng.

B. Công thức truy hồi của dãy số là:

C. 5 số hạng đầu tiên của dãy số là 1,5,17,49,129.

D. Dãy số bị chặn trên.

Bài giải:

+ Ta có:

=> C đúng

+ Xét hiệu:

Vậy công thức truy hồi:

+ Ta có: u_n+1 − u_n = (n+1). 2n > 0

Suy ra dãy số (u_n) là dãy số tăng.

Ta có: u_n = 1 + (n − 1).2ⁿ ≥ 1 với ∀ n ≥ 1

=> (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

=> D sai.

Mệnh đề sai là: D.

Ví dụ 6: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chọn mệnh đề đúng.

A. Dãy số (u_n) bị chặn trên; không bị chặn dưới.

B. Dãy số (u_n) bị chặn dưới; không bị chặn trên.

C. Dãy số (u_n) không bị chặn.

D. Dãy số (u_n) bị chặn.

Bài giải:

Công thức u_n được viết lại:

Với mọi n ∈ N* ta có: 2n² + 4 > 0

=> (u_n) bị chặn trên bởi

+ Lại có: với mọi n ∈ N* thì: n² + 1 > 0 và 2n² + 4 > 0

=> (u_n) bị chặn dưới bởi 0.

Vậy dãy số (u_n) là bị chặn

Mệnh đề đúng là: D.

Ví dụ 7: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số tăng.

B. Dãy số bị chặn trên.

C. Dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

D. Dãy số bị chặn.

Bài giải:

* Ta viết lại:

Xét hiệu số:

Vậy dãy số (u_n) là dãy số tăng.

* Ta có:

Suy ra (u_n) là một dãy số bị chặn.

Kết luận (u_n) là một dãy số tăng và bị chặn.

Mệnh đề sai là: C.

Ví dụ 8: Cho dãy số (u_n) được xác định bởi u_n = n² − 4n + 3. Tìm mệnh đề sai.

A. Công thức truy hồi của dãy số là:

B. Dãy số bị chặn dưới.

C. Tổng n số hạng đầu tiên của dãy số là

D. Dãy số bị chặn trên.

Bài giải:

* Ta có: u₁ = 1² − 4.1 + 3 = 0

Xét hiệu:

Vậy công thức truy hồi:

* Ta có: u_n = n² − 4n + 4 − 1 = (n − 2)² − 1 ≥ 1 với ∀ n ≥ 1

Vậy dãy số bị chặn dưới, nhưng không bị chặn trên.

*Ta có:

Mệnh đề sai là: D.

Ví dụ 9: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Tìm mệnh đề đúng nhất?

A. Dãy số bị chặn trên; không bị chặn dưới.

B. Dãy số bị chặn dưới; không bị chặn trên.

C. Dãy số không bị chặn.

D. Dãy số bị chặn.

Bài giải:

+ Rõ ràng u_n > 0 với mọi n nên (u_n) bị chặn dưới bởi 0.

+ Lại có:

Suy ra:

=> (u_n) bị chặn trên.

Kết luận (u_n) bị chặn.

Mệnh đề đúng là: D.

Ví dụ 10: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chọn mệnh đề đúng?

A. Dãy số bị chặn.

B. Dãy số bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.

C. Dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

D. Dãy số không bị chặn.

Bài giải:

* Rõ ràng u_n > 0 với ∀ n ∈ N* nên (u_n) bị chặn dưới bởi 0.

* Ta có: .

với mọi n.

=> (u_n) bị chặn trên bởi 2.

Kết luận (u_n) bị chặn.

Mệnh đề đúng là: A.

Ví dụ 11: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) biết

A. Dãy số tăng, bị chặn trên

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

C. Dãy số giảm, bị chặn trên

D. Cả A, B, C đều sai

Bài giải:

* Với mọi n ∈ N*; ta có u_n > 0. Xét tỉ số

=> u_n+1 < u_n nên dãy (u_n) là dãy số giảm.

* Vì dãy số (u_n) là dãy số giảm nên u_n ≤ u₁ = 2 ∀ n

Suy ra: 0 < u_n ≤ 2 ∀ n ∈ N*

=> dãy (u_n) là dãy bị chặn.

Đáp án đúng là: D.

Ví dụ 12: Cho dãy số . Xét dãy số y_n = x_n+1 − x_n. Khẳng định nào đúng về dãy (y_n)

A. Tăng, bị chặn

B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, chặn dưới

D. Giảm, chặn trên

Bài giải:

Ta có:

Do đó:

Ta chứng minh dãy (yn) tăng.

Ta có:

Ta chứng minh dãy (y_n) bị chặn.

Trước hết ta chứng minh: x_n ≤ 4 (n− 1) (1) với n ≥ 2

* Với n = 2, ta có: x₂ = 4x₁ = 4 nên (1) đúng với n = 2.

* Giả sử (1) đúng với n = k, tức là: x_k ≤ 4 (k− 1). Ta chứng minh đúng với n = k + 1

Nên (1) đúng với n = k + 1. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra (1) đúng

Ta có:

Vậy bài toán được chứng minh.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Xét tính bị chặn của dãy số (u_n): u_n = 4 − 3n − n²

A. Bị chặn

B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ta có

=> dãy số (u_n) bị chặn trên; dãy (u_n) không bị chặn dưới.

Câu 2: Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) biết:

A. Bị chặn

B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có:

+ Với mọi n ∈ N* ta có 2n > 0 và n² − n + 1 > 0

nên u_n > 1 (1)

+ Áp dụng bất đẳng thức Cô- si ta được: n² + 1 ≥ 2n

=> n² − n + 1 ≥ n nên

=> u_n ≤ 3 (2).

Từ (1) và (2) suy ra dãy số (u_n) là bị chặn.

Câu 3: Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) biết:

A. Bị chặn

B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên

D. Bị chặn dưới

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

* Với mọi n nguyên dương ta có:

* Lại có:

với mọi n ∈ N*

Vậy 0 < u_n ≤ 2 nên dãy số (u_n) là dãy số bị chặn.

Câu 4: Cho dãy số (u_n) xác đinh bởi: . Tìm mệnh đề đúng?

A. Dãy số bị chặn trên.

B. Dãy số bị chặn dưới.

C. Dãy số bị chặn.

D. Dãy số không bị chặn.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

* Với mọi n ∈ N* ta có: u_n > 0

=> (u_n) bị chặn dưới bởi 0.

Lại có:

Suy ra

=> (u_n) bị chặn trên bởi

Kết luận (u_n) bị chặn.

Câu 5: Cho dãy số (u_n) xác đinh bởi: . Tìm mệnh đề sai?

A. Dãy số bị chặn

B. Dãy số bị chặn trên; không bị chặn dưới.

C. Dãy số bị chặn dưới; không bị chặn trên.

D. Dãy số không bị chặn.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

+ Với mọi n ∈ N* ta có u_n > 0 nên dãy số bị chặn dưới bởi 0.

+ Lại có:

Suy ra:

Nên (u_n) bị chặn trên.

Kết luận (u_n) bị chặn.

Câu 5: Cho dãy số (u_n) xác đinh bởi: . Tìm mệnh đề sai?

A. Với mọi n ∈ N*; u_n < 15

B. Dãy số (u_n) là dãy số tăng.

C. Dãy số (u_n) bị chặn dưới.

D. Dãy số (u_n) bị chặn.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

* Ta dùng quy nạp chứng minh: với mọi n ∈ N*; u_n < 15

Ta có u₁ = 1 < 15 nên đúng với n= 1.

Giả sử đúng với n = k; k ∈ N* tức là có: u_k < 15.

khi đó

Vậy u_n < 15 với ∀ n ∈ N*. (1)

* Ta có

(do (1))

=> dãy số (u_n) tăng

=> u_n ≥ u₁ = 1 nên (u_n) bị chặn dưới bởi 1.

Câu 6: Cho dãy số (u_n) xác đinh bởi: . Tìm mệnh đề đúng?

A. Dãy số bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.

B. Dãy số bị chặm dưới nhưng không bị chặn trên.

C. Dãy số bị chặn.

D. Dãy số không bị chặn.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

*Với k = 2,3... n ta có

Do đó:

Vế cộng vế suy ra:

=> (u_n) bị chặn trên bởi 2.

* Mặt khác; với ∀ n ∈ N* ta có: u_n > 0

=> (u_n) bị chặn dưới bởi 0.

=> (u_n) bị chặn.

Câu 7: Cho dãy số (u_n) xác đinh bởi: . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. Dãy số (u_n) bị chặn.

B. Dãy số (u_n) không bị chặn.

C. Dãy số (u_n) bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.

D. Dãy số (u_n) bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

*Với mọi n∈ N* ta có:

nên (u_n) bị chặn dưới bởi 0.

* Lại có:

Mà:

Suy ra: u_n < 3 với mọi n nên dãy số (u_n) bị chặn trên bởi 3.

Kết luận: dãy số (u_n) bị chặn.

Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) biết:

A. Dãy số tăng, bị chặn

B. Dãy số giảm, bị chặn

C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn

D. Cả A, B, C đều sai

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

* Ta có:

với mọi n ≥ 1.

Suy ra u_n+1 > u_n ∀ n ≥ 1 ⇔ dãy (u_n) là dãy tăng.

* Mặt khác:

Với n ≥ 1; thì

Lại có với n ≥ 1 thì

Suy ra:

Vậy dãy (u_n) là dãy bị chặn.

Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) biết:

A. Dãy số tăng, bị chặn trên

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

C. Dãy số giảm, bị chặn trên

D. Cả A, B, C đều sai

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

* Ta có:

=> u_n+1 > u_n ∀ n > 1 => dãy (u_n) là dãy số tăng.

* Lại có:

dãy (u_n) bị chặn dưới.

Câu 10: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) biết:

A. Dãy số tăng, bị chặn trên

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

C. Dãy số giảm, bị chặn

D. Cả A, B, C đều sai

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

+ Với mọi n ∈ N* ta có: u_n > 0. Xét tỉ số:

=> u_n+1 < u_n với mọi n.

=> Dãy số (u_n) là dãy số giảm.

+ Mặt khác: √ (1 + n + n²) > 1 với ∀ n ∈ N*

Vậy 0 < u_n < 1 nên dãy (u_n) là dãy bị chặn.

Câu 11: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số:

A. Tăng, bị chặn

B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, chặn dưới

D. Giảm, chặn trên

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

*Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh: 1 < u_n ≤ 2

Điều này đúng với n = 1.

Giả sử đúng với n = k + 1 tức là: 1 < u_k ≤ 2. Ta chứng minh đúng với n = k+ 1.

Thật vậy ta có:

nên ta có đpcm.

Mà

Vậy dãy (u_n) là dãy giảm và bị chặn.

Câu 12: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số:

A. Tăng, bị chặn

B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, chặn dưới

D. Giảm, chặn trên

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

*Trước hết ta chứng minh 1 < u_n < 4

Điều này hiển nhiên đúng với n = 1.

Giả sử đúng với n = k tức là: 1 < u_k < 4. Ta chứng minh đúng với n = k + 1

Thật vậy: 1 < u_k+1 = u_k + √ (u_k-1) < √ 4 + √ 4 = 4

Vậy dãy (u_n) là bị chặn.

*Ta chứng minh (un) là dãy tăng

Ta có: u₁ < u₂, giả sử u_n+1 < u_n, ∀ n ≥ k.

Khi đó:

=> dãy (u_n) là dãy tăng.

Vậy dãy (u_n) là dãy tăng và bị chặn.

Bài trước: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11 Bài tiếp: Dạng 4: Phương pháp giải bài tập Cấp số cộng - Chuyên đề Toán 11