Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f (x) và điểm A (a; b).Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A.
- Gọi ∆ là đường thẳng qua A và có hệ số góc k.
Khi đó tiếp tuyến ∆ có dạng: y= k (x- a)+ b (*)
- Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số y = 2x4 - 4x2 - 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A (1; -3).
Bài giải:
Ta có y' = 8x3 - 8x
Gọi M (x0; 2x04- 4x02-1) là một điểm thuộc đồ thị hàm số (C).
Tiếp tuyến ∆ tại M có phương trình:
y = (8x03-8x0) (x-x0)+2x04-4x02-1 (*)
Vì tiếp tuyến ∆ đi qua A (1; -3) nên ta có:
+ Với x0 = 1 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến: y = -3.
+ Với x0 = -1 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến: y = -3.
+ Với x0= 1/3 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến:
Ví dụ 2. Cho (C) là đồ thị của hàm số: y = x3+ 3x2 – 6x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm N (0; 1).
Bài giải:
Gọi M (x0; y0 ) là tiếp điểm
Ta có đạo hàm của hàm số đã cho là: y'= 3x2+6x-6
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
Vì tiếp tuyến đi qua N (0; 1) nên ta có:
1 = (3x02+6x0-6)(-x0)+x03+3x02-6x0+1
⇔ 2x03+3x02=0 ⇔ x0=0, x0=-3/2
+ Nếu x0= 0 ⇒ y’ (x0)= - 6.
⇒ Phương trình tiếp tuyến: y= -6x+ 1.
+ Nếu x0=-3/2 thì y' (x0)= (- 33)/4; y0= 107/8
⇒ Phương trình tiếp tuyến: y'=-33/4 (x+3/2)+107/8=-33/4 x+1
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y=x4+x2+1 biết tiếp tuyến đi qua điểm M (-1; 3).
A. y= -6x - 2 B. y= -6x- 9 C. y= -6x- 3 D. y= - 6x- 4
Bài giải:
Đạo hàm của hàm số là: y’= 43 + 2x.
Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến có dạng: y= (4x03+2x0) (x-x0)+x04+x02+1
Vì tiếp tuyến đi qua M (-1; 3) nên ta có:
⇔ (x0+1)2 (3x02-2x0+2)=0
⇔ x0=-1 ⇒ y0=3, y' (x0)=-6
Phương trình tiếp tuyến có dạng: y – 3= - 6 (x+ 1) hay y= - 6x – 3
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 4. Cho hàm số y=2x+2/x-1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A (4; 3)
Bài giải:
Hàm số xác định với mọi x ≠ 0
Ta có đạo hàm:
Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng:
Ví dụ 5. Tìm trên (C): y = 2x3- 3x2 + 1 những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8.
A. M (1; 0) B. M (- 2; - 27) C. M (-1; - 4) D. M (2; 5)
Bài giải:
Giả sử M (x0;y0)∈ (C) ⇔ y0=2x03-3x02+1.
Ta có đạo hàm: y'=6x2-6x.
Phương trình tiếp tuyến tại M: y= (6x02-6x0) (x-x0)+2x03-3x02+1.
Gọi giao điểm của tiếp tuyến ∆ và trục tung là P ⇒ P (0; 8) đi qua P (0; 8) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình∆ ta được
8=-4x03+3x02+1 ⇔ x0=-1.
Vậy M (-1; - 4)
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 6: Cho hàm số (C): y = (x+2)/ (x-2). Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A (-6; 5) của đồ thị (C).
A: y=x+1 B: y=-x-1 C: y=-x+1 D: Đáp án khác
Bài giải:
Ví dụ 7.Cho hàm số y= (2x+1)/ (x-1) (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A (-7; 5).
Bài giải:
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số y=x3-3x2-9x+1có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A (-1; 6).
Ta có: y'=3 (x2-2x-3). Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M là:
y=3 (x02-2x0-3). (x- x0)+ x03-3x02-9x0+1 (*)
Do tiếp tuyến đi qua A nên ta có phương trình
6=3 (x02-2x0-3)(-1-x0)+x03-3x02-9x0+1
⇔ x03-3x0-2=0⇔ (x0+1)2 (x0-2)=0
⇔ x0=-1, x0=2
+ Với x0= -1thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến là: y= 6
+ Với x0= 2 thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến là y= -9x - 3
Chọn D.
Câu 2: Tiếp tuyến kẻ từ điểm (2; 3) tới đồ thị (C) của hàm số y = (3x+4)/ (x-1) là
A. y= -28x+ 59; y= x+ 1. B. y= -24x + 51; y= x+ 1.
C. y= -28x + 59. D. y= -28 x+ 59; y= -24 x+ 51
Câu 3: Cho hàm số y= (x2+x+1)/ (x+1) có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
A (-1; 0) là:
A. y= 3/4 x B. y= 3/4 (x+1) C. y= 3 (x+ 1) D. y= 3x+1
Gọi d là phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k.
Vì A (-1; 0) ∈d suy ra đường thẳng d có dạng: y= k (x+ 1)
Thay (2) vào (1) ta được x= 1 ⇒ k= y' (1)= 3/4.
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A (-1; 0) là: y= 3/4 (x+1)
Chọn B.
Câu 4: Qua điểm A (0; 2) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số
y= x4- 2x2+ 2
A. 2 B. 3 C. 0 D. 1
Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho.
Đường thẳng d đi qua A (0; 2) và có hệ số góc k nên phương trình của d có dạng: y= kx+ 2
Câu 5: Phương trình tiếp tuyến của (C): y= x3 biết nó đi qua điểm M (2; 0) là:
A. y= 27 x+ 54 và y= 27x- 54. B. y= 27 x- 9 và y= 27 x - 2.
C. y= 27 x+ 27 và y= 27 x- 27. D. y= 0 và y= 27x - 54.
+ Đạo hàm y’= 3x2
+ Gọi A (x0; y0) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là:
+ Với x0= 0 thay vào (d) ta có tiếp tuyến y= 0.
+ Với x0 = 3 thay vào (d) ta có tiếp tuyến y= 27x- 54.
Chọn D
Câu 6: Cho hàm số f (x) =x2/4-x+1, có đồ thị (C). Từ điểm M (2; -1) có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình:
A. y= -x+ 1và y= x+ 3. B. y= 2x- 5 và y= -2x + 3.
C. y= -x +1 và y = x - 3. D. y= x+ 1và y= -x- 3.
Câu 7: Cho đồ thị (C) của hàm số y= x2+ 2x+ 3. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số biết đường thẳng d đi qua điểm A (1; 6).
A. y= 2x- 3 B. y= 3x+ 3 C. y= 4x+ 2 D. y= -x+ 7
+ Đạo hàm: y’= 2x+ 2
+ Gọi M (x0;x02+2x0+3) là điểm thuộc đồ thị (C)
⇒ Phương trình tiếp tuyến tại M là:
y= (2x0+2)(x- x0)+ x02+2x0+3 (*)
+ Do tiếp tuyến d đi qua điểm A (1; 6) nên ta có:
6= (2x0+2)(1- x0)+ x02+2x0+3
⇔ 2x0-2x02+2-2x0+ x02+2x0+3=6
⇔ -x02+2x0-1= 0 ⇔ x0= 1
Thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm là;
y= 4x+ 2