Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
TH1: Dựng đường thẳng AH // (α).
Lúc đó: d (A, (α)) = d (H, (α))
TH2: Dựng đường thẳng AH, AH ∩ (α) = {I}.
Lúc đó: 
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ (ABCD) đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ B đến (SCD) bằng:
Bài giải:
Ta có; AB // CD nên d (B, (SCD))= d (A; (SCD)).
Ta tính khoảng cách từ A đến (SCD):
SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD; AD ⊥ CD
=> (SAD) ⊥ CD
Trong (SAD) kẻ AH vuông góc SD tại H.
Khi đó AH ⊥ (SCD)
Đáp án đúng là: C
Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy bằng a√ 3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài giải:
Đáp án đúng là: C
+ Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC
Suy ra: OA = OB = OC (do tam giác ABC là tam giác đều).
Lại có: SA = SB = SC (vì S. ABC là hình chóp đều)
⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SO ⊥ (ABC) và SO = a√ 3
+ Gọi M là trung điểm của BC.
Kẻ OH ⊥ SM, ta có:
Xét tam giác vuông SOM đường cao OH có:
AO cắt (SBC) tại M và AM = 3OM nên d (A, (SBC))= 3. d (O; (SBC)) = 3OH.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, AB = AC = a, ∠ BAC = 120°. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc α sao cho tanα = 3/√ 7. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) tính theo a bằng
Bài giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có:
Gọi H là hình chiếu của J lên AB
Gọi Z là hình chiếu của G lên AB
Gọi I là hình chiếu của G lên SZ.
+ Áp dụng định lí cosin trong tam giác, ta có:
+ Áp dụng hệ quả định lí Ta-let cho tam giác BJH
+ Do G là trọng tâm tam giác ABC nên:
Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SMN) tính theo a bằng:
Bài giải:
Đáp án đúng là: C
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
DO hình chóp S. ABC là hình chóp tam giác đều nên SG ⊥ (ABC)
Theo giả thiết góc giữa cạnh bên và mp (ABC) là 60° nên ∠ SCG = 60°
Xét tam giác CAM có CM = CA. sin60° = (a√ 3)/2 và CG = 2/3. CM = (a√ 3)/3
Trong tam giác SGC vuông tại G suy ra SG = GC. tanC = GC√ 3 = ((a√ 3)/3).√ 3 = a
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G trên MN và SE.
Khi đó d (C, (SMN)) = 3 d (G; (SMN))= 3 GF
Ta có:
Trong tam giác SGE vuông tại H suy ra
Ví dụ 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB = a, BC = a√ 3, tam giác SAC vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn AI. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) tính theo a bằng:
Bài giải:
Đáp án đúng là: A
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O; hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm của AO góc giữa (SCD) và (ABCD) là 60°. Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SCD) tính theo a bằng
Chọn D
Ta có:
Câu 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; AD và DC. Gọi H là giao điểm của CN và DM biết SH vuông góc (ABCD), SH = a√ 3. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBP) tính theo a bằng
Ta chứng minh: NC ⊥ MD
Thật vậy: Δ ADM = Δ DCM vì ∠ A = ∠ D = 90°; AD = DC; AM = DN ⇒ ∠ ADM = ∠ DCN
Mà ∠ ADM + ∠ MDC = 90° ⇒ ∠ MDC + ∠ DCN = 90° ⇒ NC ⊥ MD
Chọn C
Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với AB = 2a√ 3; BC = 2a. Biết chân đường cao M hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn DI và SB hợp với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc 60°. Khoảng cách từ D đến (SBC) tính theo a bằng
+ Từ giả thiết suy ra: SM ⊥ (ABCD) và góc giữa SB tạo với mặt phẳng (ABCD) là
+ Ta có:
Chọn đáp án C
Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M; N lần lượt là trung điểm các cạnh AD; DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM) bằng
+ Do đáy ABCD là hình vuông nên AN ⊥ BM.
+ Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABCD) là góc ∠ AIS = 45°.
Vậy tam giác ASI vuông cân tại A nên AI = SA = a
+ Xác định khoảng cách: Vì M là trung điểm của AD nên d (D; (SBM))= d (A; (SBM)) = AH
Với H là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAI.
- Tính AH:
Chọn đáp án D
Câu 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABD. Cạnh bên SD tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60°. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC)?
Gọi E là trọng tâm của tam giác ABD.
Do hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABD nên SE ⊥ (ABCD)
Do đó, góc giữa SD tạo với mặt phẳng (ABCD) là ∠ SDE = 60°
Chọn đáp án B
Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 3a; AD = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AH = 2HB. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°. Khoảng từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) tính theo a bằng
Kẻ HK ⊥ CD
Do đó; góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là ∠ SKH = 60°
Có HK = AD = 2a, SH = HK. tan60° = 2a√ 3
Chọn C
Câu 7: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ M đến (SAB) nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
+ Ta có: DM // AB nên DM // mp (SAB)
⇒ d (M; (SAB)) = d (D; (SAB))
+ Ta có: SA ⊥ AD (vì SA vuông góc với (ABCD))
Và AB ⊥ AD (vì ABCD là hình vuông)
⇒ AD ⊥ (SAB)
Do đó d (M, (SAB)) = d (D, (SAB)) = a