Cách tìm vi phân của hàm số - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x ∈ (a; b).

Ta gọi tích f' (x).∆ x là vi phân của hàm số y= f (x) tại x ứng với số gia ∆ x.

Kí hiệu: dy=df (x)=f' (x).∆ x

⇒ Để tính vi phân của hàm số y= f (x) (trong trường hợp tại điểm đó hàm số có đạo hàm) ta làm như sau:

+ Bước 1. Tính đạo hàm f' (x) của hàm số.

+ Bước 2. Vi phân của hàm số là: dy=d (f (x))=f' (x).dx

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y= x³ +3x² + 10x+ 90. Tìm vi phân của hàm số

A. dy=3x² + 6x+ 10

B. dy= (3x² + 6x+ 10).dx

C. dy = (x² + 3x+ 10).dx

D. Đáp án khác

Bài giải:

+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm và y'= 3x² +6x+ 10

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy=d (x³+ 3x² + 10x+ 90)= (3² + 6x+ 10).dx

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 2. Cho hàm số y= √ (x²-4). Tìm dy?

IMG_0

Bài giải:

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x²- 4 > 0 hay x > 2 hoặc x < -2.

Tại các diểm đó hàm số có đạo hàm là:

Ví dụ 3. Cho hàm số y= cos2x+ sin (x- 3). Tìm vi phân của hàm số?

A. dy= [- 2sin2x+ cos (x- 3)] dx

B. dy= [2sin2x+ cos (x- 3)] ∆x

C. dy= [2sin2x+ cos (x- 3)] dx

D. dy= [2sin2x – cos (x- 3)] dx

Bài giải:

Hàm số đã cho xác định và có đạo hàm tại mọi điểm.

Đạo hàm của hám số là; y^'= -2sin2x+cos⁡ (x-3)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là;

dy= d [cos2x+ sin (x- 3)] = [- 2sin2x+ cos (x- 3)] dx

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 4. Tìm vi phân của hàm số: y= (x-1)/ (2x-4)?

Bài giải:

Điều kiện: x≠2

Tại các điểm x≠2 hàm số có đạo hàm là;

Ví dụ 5. Tìm vi phân của hàm số: y= (x²-2x+3)/ (x-2)?

Bài giải:

Điều kiện xác định: x≠2

Với x≠2 hàm số có đạo hàm là;

Ví dụ 6. Tìm vi phân của hàm số: y= (x³+2x-3)²

A. dy= (x³+2x-3). (x²+2x-3).dx

B. dy= (x³+2x-3).dx

C. dy= (x³+2x-3). (3x²+2).dx

D. Đáp án khác

Bài giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'= (x³+2x-3)(x³+2x-3) '

⇒ y'= (x³+2x-3). (3x²+2)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d ((x³+2x-3)²)= (x³+2x-3). (3x²+2).dx

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 7. Tìm vi phân của hàm số y= sin (x² + 3x+ 1).

A. dy=cos⁡ (x²+3x+1) dx

B. dy=cos⁡ (x²+3x+1). (2x+3) dx

C. dy= -cos⁡ (x²+3x+1). (2x+3) dx

D. Đáp án khác

Bài giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=cos⁡ (x²+3x+1). (x²+3x+1)'= cos⁡ (x²+3x+1). (2x+3)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d [sin (x2 + 3x+ 1)]= cos⁡ (x²+3x+1). (2x+3) dx

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 8. Tìm vi phân của hàm số y= (x² – 1). sin x.

A. dy= [2x. sinx+ (x²-1).cosx] dx

B. dy= [-2x. sinx+ (x²-1).cosx] dx

C. dy= [2x. sinx- (x²-1).cosx] dx

D. Đáp án khác

Bài giải:

Đạo hàm của hàm số:

y'= (x²-1)'. sinx+ (x²-1). (sinx)'

⇒ y'=2x. sinx+ (x²-1).cosx

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy=d (x² – 1). sin x= [2x. sinx+ (x²-1).cosx] dx

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 9. Tìm vi phân của hàm số: y= (√ (x²-1)-1)(x²-2x)

Bài giải:

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x> 1 hoặc x < - 1 (khi đó x²-1> 0)

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

Ví dụ 10. Tìm dy của hàm số: y= tan (x²+ 2x). cotx.

Bài giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là;

Ví dụ 11. Tìm dy của hàm số: y= sin2x/cos⁡ (3x+1)

Bài giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

Ví dụ 12. Tìm dy của hàm số: cos (√ (( x-1)⁴-1)+x+1)

Bài giải:

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'= -sin⁡ (√ (( x-1)⁴-1)+x+1). (√ (( x-1)⁴-1)+x+1)'

Ví dụ 13. Tìm vi phân của hàm số y= cos (sin (2x+ 1))

A. - sin⁡ (sin⁡ (2x+1)). cos⁡ (2x+1) dx

B. -2 sin⁡ (sin⁡ (2x+1)). cos⁡ (2x+1) dx

C. sin⁡ (sin⁡ (2x+1)). cos⁡ (2x+1) dx

D. 2 sin⁡ (sin⁡ (2x+1)). cos⁡ (2x+1) dx

Bài giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=-sin⁡ (sin⁡ (2x+1)). [sin⁡ (2x+1)]'

⇒ y'= -sin⁡ (sin⁡ (2x+1)). 2cos⁡ (2x+1)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d [cos (sin (2x+ 1))]= -2 sin⁡ (sin⁡ (2x+1)). cos⁡ (2x+1) dx

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 14. Tìm vi phân của hàm số: y= [x²+x+ sin⁡ (2x-3)]³

A. dy = 3. [x²+x+ sin⁡ (2x-3)]². (2x+1+2 cos⁡ (2x- 3)) dx

B. dy = [x²+x+ sin⁡ (2x-3)]². (2x+1+2 cos⁡ (2x- 3)) dx

C. dy = 3. [x²+x+ sin⁡ (2x-3)]². (2x+1+cos⁡ (2x- 3)) dx

D. Tất cả sai.

Bài giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=3. [x²+x+ sin⁡ (2x-3)]². [x²+x+ sin⁡ (2x-3)]'

⇔ y'=3. [x²+x+ sin⁡ (2x-3)]². (2x+1+2 cos⁡ (2x- 3))

Vi phân của hàm số đã cho là:

dy = 3. [x²+x+ sin⁡ (2x-3)]². (2x+1+2 cos⁡ (2x- 3)) dx

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 15. Tìm vi phân của hàm số: y= sin4 (x²+ 2x+ 2)

A. dy= 2sin³ (x²+2x+2)( 2x+2).dx

B. dy= 4sin³ (x²+2x+2)( x+1).dx

C. dy= 4sin³ (x²+2x+2)( 2x+2).dx

D. Đáp án khác

Bài giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'= 4sin³ (x²+2x+2). (x²+2x+2)'= 4sin³ (x²+2x+2)( 2x+2)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= 4sin³ (x²+2x+2)( 2x+2).dx

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 16. Vi phân của hàm số y= x⁴ – 3x² + 10 tại điểm x= 1, ứng với ∆ x= 0,1 là:

A. -0,2 B. 0,4 C. 0,1 D. -0,2

Bài giải:

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=4x³-6x

⇒ y' (1)= -2

⇒ Vi phân của hàm số đã cho tại điểm x= 1 và ∆ x= 0,1 là:

dy= y' (1).∆ x = - 2.0,1= - 0,2

Đáp án đúng là: A

Ví dụ 17. Cho hàm số; y= (x+2)/ (2x-4). Vi phân của hàm số tại x= 1 là?

A. dy= - dx B. dy= -2dx C. dy= 3dx D. dy= 4dx

Bài giải:

Tại các điểm x≠2; hàm số có đạo hàm:

Ví dụ 18. Cho hàm số y= sin (2x- π/3). Tính vi phân của hàm số tại x= π/2 và ∆ x= 0,2

A. – 0,4 B. -0,1 C. -0,2 D. 0,2

Bài giải:

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số y= 2x⁴ +x³+ x. Tìm vi phân của hàm số

A. dy = 8x³ + 3x²+ 1

B. dy = (8x⁴ + 3x+ 1).dx

C. dy = (8x³ + 3x²+ 1).dx

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm và y'= 8x³ + 3x² + 1

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy = d (2x⁴ +x³ + x)= (8x³ + 3x² + 1).dx

Chọn C.

Câu 2: Cho hàm số y= √ (x³- 2x²+1). Tìm dy?

Hiển thị lời giải

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x³ – 2x² + 1 > 0

Tại các diểm đó hàm số có đạo hàm là:

Câu 3: Cho hàm số y= cos (2x- x²)+ sin (3x- 5). Tìm vi phân của hàm số?

A. dy = [(2-2x) sin⁡ (2x- x²)+3cos⁡ (3x-5)] dx

B. dy = [- (2-2x) sin⁡ (2x- x²)+3cos⁡ (3x-5)] dx

C. dy = [- (2-2x) sin⁡ (2x- x²)-3cos⁡ (3x-5)] dx

D. dy= [- (2-2x) cos⁡ (2x- x²)+3cos⁡ (3x-5)] dx

Hiển thị lời giải

Hàm số đã cho xác định và có đạo hàm tại mọi điểm.

Đạo hàm của hám số là

y'= -sin⁡ (2x- x²) (2x- x²)'+cos⁡ (3x-5). (3x-5)'

⇔ y'= - (2-2x) sin⁡ (2x- x²)+3cos⁡ (3x-5)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là;

dy= d [cos (2x- x2)+ sin (3x- 5)] = [- (2-2x) sin⁡ (2x- x²)+3cos⁡ (3x-5)] dx

Chọn B.

Câu 4: Tìm vi phân của hàm số: y= (2x+1)/ (x²-2x+3)?

Hiển thị lời giải

Ta có: x² -2x+3= (x-1)² +2 > 0 với mọi x.

Do đó; hàm số có đạo hàm với mọi x và đạo hàm:

Câu 5: Tìm vi phân của hàm số: y= (x²+x-1)/ (x+1)?

Hiển thị lời giải

Điều kiện xác định: x≠-1

Với x≠-1 hàm số có đạo hàm là;

Câu 6: Tìm vi phân của hàm số: y= (x⁴-2x²+1)³

A. dy= 3. (x⁴-2x²+1)². (x³-2x).dx

B. dy= 3. (x⁴-2x²+1)². (4x³-4x).dx

C. dy=3. (x⁴-2x²+1)².dx

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'= 3 (x⁴-2x²+1)² (x⁴-2x²+1) '

⇔ y^'=3. (x⁴-2x²+1)². (4x³-4x)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d ((x⁴-2x²+1)³)=3. (x⁴-2x²+1)². (4x³-4x).dx

chọn B.

Câu 7: Tìm vi phân của hàm số y= sin (x³ + x+ √x).

Hiển thị lời giải

y'=cos⁡ (x³+x+√x). (x³+x+√x)'= cos⁡ (x³+x+√x). (3x²+1+1/ (2√x))

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d [sin (x³ + x+ √x)]= cos⁡ (x³+x+√x). (3x²+1+1/ (2√x)) dx

chọn A.

Câu 8: Tìm vi phân của hàm số y= (x +2). (3- sin x)

A. dy= [3- sinx – (x+2).cosx] dx B. dy= [-2sinx+ (x+2).cosx] dx

C. dy= [3- sinx + (x+2).cosx] dx D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

y'= (x+2)'. ( 3- sinx)+ (x+2). (3- sinx)'

⇔ y'=1. (3-sinx)+ (x+2). (-cosx) = 3- sinx – (x+2).cosx

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy=d (x+ 2). (3- sin x)= [3- sinx – (x+2).cosx] dx

Chọn A.

Câu 9: Tìm vi phân của hàm số: y=√ (x+2. ) (x²-2)

Hiển thị lời giải

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x > - 2

Đạo hàm của hàm số đã cho là;

y'= (√ (x+2))' (x²-2)+ (√ (x+2)). ( x²-2)'

Câu 10: Tìm dy của hàm số: y= tan (2+ 2x). cot3x.

Hiển thị lời giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là;

y'= [tan⁡ (2+2x)]'. cot3x+tan⁡ (2+2x). (cot3x)'

Câu 11: Tìm dy của hàm số: y= sin2x/cos⁡4x

Hiển thị lời giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

Câu 12: Tìm dy của hàm số: cos (√ (( x+2)³)+2x)?

Hiển thị lời giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

Câu 13: Tìm vi phân của hàm số y= sin (sin (x²+ 2x))

A. dy= -cos⁡ (sin⁡ (x²+2x)). cos⁡ (x²+2x). (2x+2)dx

B. dy= cos⁡ (sin⁡ (x²+2x)). cos⁡ (x²+2x). (x+2).dx

C. dy= 2cos⁡ (sin⁡ (x²+2x)). sin⁡ (x²+2x). (x+1).dx

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y^'=cos⁡ (sin⁡ (x²+ 2x)). [sin⁡ (x²+ 2x)]'

⇔ y'= cos⁡ (sin⁡ (x²+2x)). cos⁡ (x²+2x). (2x+2)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d [sin (sin (x²+ 2x))]=cos⁡ (sin⁡ (x²+2x)). cos⁡ (x²+2x). (2x+2)dx

chọn B.

Câu 14: Tìm vi phân của hàm số: y= [x²-1+ sin⁡ (x+1)]⁴

A. dy =4. [x²-1+ sin⁡ (x+1)]³. (2x-cos⁡ (x+1))dx

B. dy =- 2. [x²-1+ sin⁡ (x+1)]³. (2x+cos⁡ (x+1))dx

C. dy =4. [x²-1+ sin⁡ (x+1)]³. (2x+cos⁡ (x+1))dx

D. Tất cả sai

Hiển thị lời giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=4. [x²-1+ sin⁡ (x+1)]³. [x²-1+ sin⁡ (x+1)]'

⇔ y'=4. [x²-1+ sin⁡ (x+1)]³. (2x+cos⁡ (x+1))

Vi phân của hàm số đã cho là:

dy =4. [x²-1+ sin⁡ (x+1)]³. (2x+cos⁡ (x+1))dx

Chọn C.

Câu 15: Tìm vi phân của hàm số: y= sin³(x²+ 2√x)

Hiển thị lời giải

Câu 16: Vi phân của hàm số y= 2x³ +2x² + 6 tại điểm x= -2, ứng với ∆ x= 0,2 là:

A. 3,2 B. 3,4 C. 2,4 D. 1,2

Hiển thị lời giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=6x²+4x

⇒ y' (-2)= 16

⇒ Vi phân của hàm số đã cho tại điểm x= -2 và ∆ x= 0,2 là:

dy= y' (-2).∆ x = 16.0,2= 3,2

Chọn A

Câu 17: Cho hàm số; y= (2x-4)/ (x+1). Vi phân của hàm số tại x= 0 là?

A. dy= 6dx B. dy= -2dx C. dy= 3dx D. dy= 4dx

Hiển thị lời giải

Tại các điểm x≠-1; hàm số có đạo hàm:

IMG_33

⇒ y' (0)= 6

⇒ Vi phân của hàm số tại x = 0 là dy= 6dx

Chọn A.

Câu 18: Cho hàm số y= sin (4x- π/4). Tính vi phân của hàm số tại x= π/4 và ∆ x= -0,1

A. – 0,4. √2 B. -0,1.√2 C. 0,2. √2 D. 0,2

Hiển thị lời giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

Bài tiếp: Đạo hàm cấp cao của hàm số - Chuyên đề Toán 11