Dạng 2: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn: u1, u2, u3,.. un,.. có công bội q, với |q| < 1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng S của cấp số nhân đó là:
Ví dụ minh họa
Bài 1: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn sau: 
Bài giải:
Đây là tổng của cấp số nhân vô hạn có: 
nên tổng là:
Bài 2: Tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) biết un = 1/ (3n)
Bài giải:
Vì:
Bài 3: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn:
Bài giải:
Vì các số của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1, q = -1/2
Vậy: 
Bài 4: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 2/3
Bài giải:
Bài 5: Tìm tổng của dãy số sau:
Bài giải:
Vì các số của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = -1, q = -1/10
Suy ra:
Bài 6: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 5/3 tổng ba số hạng đầu tiên của nó là 39/25. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.
Bài giải:
Ta có:
Bài 7: Cho dãy số (un) với 
. Tính tổng của dãy un
Bài giải:
Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 1/2 và q = (-1)/2.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tổng của cấp số nhân vô hạn: 
là:
Đáp án: B
Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = (-1)/2 và q = (-1)/2.
Chọn đáp án B
Bài 2: Tổng của cấp số nhân vô hạn: 
là.... ?
Đáp án: A
Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 1/3 và q = (-1)/3.
Chọn đáp án A
Bài 3: Tổng của cấp số nhân vô hạn 
là... ?
Đáp án: A
Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 2 và q = (-1)/2.
Chọn đáp án A
Bài 4: Tổng của cấp số nhân vô hạn 
là... ?
Đáp án: C
Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 3 và q = (-1)/3.
Chọn đáp án C
Bài 5: Tổng của cấp số nhân vô hạn: 
là.... ?
Đáp án: A
Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = (-1)/4 và q = (-1)/4.
Chọn đáp án A
Bài 6: Kết quả nào sau đây là đúng:
A. Cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q thì tổng: 
B. Cấp số nhân lùi vô hạn (un) có 
C. Cấp số nhân lùi vô hạn (un) có 
D. Cấp số nhân lùi vô hạn (un) có: 
Đáp án: C
Vì q = (3/4) < 1 đây là cấp số nhân lùi vô hạn nên
Chọn C
Bài 7: Cấp số nhân lùi vô hạn (un) có u1 = -50, S = 100. Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy:
A. 50; 25; 12,5; 6,5; 3,25
B. 50; 25,5; 12,5; 6,25; 3,125
C. 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125
D. 50; 25; 12,25; 6,125; 3,0625
Đáp án: C
Áp dụng công thức:
Suy ra 5 số hạng đầu tiên của dãy số: 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125
Chọn C
Bài 8: Cấp số nhân lùi vô hạn (un) có u1 = -1, q = x. Tìm tổng S và 3 số hạng đầu của cấp số này:
A. 
và -1, x, -x2
B. 
và -1, x, x2
C. 
và -1, -x, -x2
D. và -1, x, -x2
Đáp án: C
Chọn C
Bài 9: Cấp số nhân lùi vô hạn (un) có u1 = -x, q = x2. Tìm tổng S và 3 số hạng đầu của cấp số này:
A. 
và -x, x3, x5
B. và -x, x3, x4
C. 
và -x, x3, x6
D. và -x, -x3, -x6
Đáp án: D
Chọn D
Bài 10: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn sau: 
Đáp án: D
Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 5 và q = 1/√ 5.
Chọn đáp án D
Bài 11: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn sau: -3; 0,3; -0,03; 0,003;...
Đáp án: A
Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = -3 và q = 0,1
Chọn đáp án A
Bài 12: Tìm tổng: 
A. 4 + 2√ 2
B. 4 - 2√ 2
C. -4 + 2√ 2
D. -4 + 2√ 2
Đáp án: B
Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 2 và q = 1/√ 2
Chọn đáp án B
Bài 13: Cho cấp số nhân lùi vô hạn sau: 
Tìm q
Đáp án: A
Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân nên q = (1/4)
Chọn đáp án A
Bài 14: Tìm tổng của dãy số sau: 
Đáp án: D
Vì vậy các số của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = -1, q = (-1)/10
Chọn đáp án D
Bài 15: Cho dãy số (un) với 
. Tính tổng của dãy un
Đáp án: C
Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 1/2 và q = (-1)/2.
Chọn đáp án C