Trang chủ > Lớp 11 > Chuyên đề Toán 11 (có đáp án) > Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm - Chuyên đề Toán 11

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Đường cong (C): y = f (x) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là xo khi và chỉ khi hàm số y = f (x) khả vi tại xo. Trong trường hợp (C) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ xo thì tiếp tuyến đó có hệ số góc f ’ (xo)

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f (x) tại điểm M (xo; f (xo)) có dạng:

y = f’ (xo) (x - xo) + f (xo)

Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M (xo; f (xo))

Bài giải:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại M (xo;f (xo)) là:

y = f’ (xo) (x - xo) + f (xo) (1)

Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) biết hoành độ tiếp điểm x = xo

Bài giải:

Tính yo = f (xo) và f’ (xo). Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến:

y = f’ (xo) (x - xo) + yo

Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) biết tung độ tiếp điểm bằng yo

Bài giải:

Gọi M (xo, yo) là tiếp điểm

Giải phương trình f (x) = yo ta tìm được các nghiệm xo.

Tính y’ (xo) và thay vào phương trình (1)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

1. Tại điểm M (-1; 3)

2. Tại điểm có hoành độ bằng 2

Bài giải:

Hàm số đã cho xác định D = R

Ta có: y’ = 3x2 + 6x

1. Ta có: y’ (-1) = -3, khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là:

y = -3. (x + 1) + 3 = - 3x

2. Thay x = 2 vào đồ thị của (C) ta được y = 21

Tương tự câu 1, phương trình là:

y = y’ (2). (x – 2) + 21 = 24x – 27

Bài 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số: Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm ảnh 1. Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hoành độ bằng 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M.

Bài giải:

Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 5 ⇔ yM = ±5.

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm ảnh 2

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (-7/3, -5) là y = 9x + 16

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (- 4,5) là y = 4x + 21

Bài 3: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 6x + 1 (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hoành độ tiếp điểm bằng 1

Bài giải:

Gọi M (xo; yo) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có: xo = 1 ⇒ yo = - 1

y = x3 + 3x2 – 6x + 1 nên y’ = 3x2 + 6x – 6.

Từ đó suy ra y’ (1) = 3.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3 (x – 1) – 1 = 3x – 4

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = 2x4 – 4x2 + 1 biết tung độ tiếp điểm bằng 1

Bài giải:

Gọi M (xo; yo) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có yo = 1 ⇒ 2xo4 - 4xo2 + 1 = 1

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm ảnh 3

Ta có: y’ = 8x3 – 8x

Với M (0; 1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = 0

Với M (√ 2; 1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = 8√ 2 (x - √ 2) + 1 = 8√ 2x – 15

Với M (-√ 2; 1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = - 8√ 2 (x + √ 2) + 1 = - 8√ 2x – 15

Bài 5: Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp điểm là M (0,1).

Bài giải:

y’ = 3x2 – 3.

y’ (0) = - 3.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -3x – 3

Bài 6: Cho hàm số y = x4 + x2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình x2 = 1.

Bài giải:

Gọi M (xo; yo) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có: xo2 = 1 ⇔ xo = ±1

Ta có: y’ = 4x3 + 2x

Với M (1; 3) thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 6 (x – 1) + 3 = 6x – 3

Với M (-1; 3) thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -6 (x + 1) + 3 = - 6x – 3

Bài 7: Cho hàm số: Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm ảnh 4. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ xo = 0 đi qua A (4; 3)

Bài giải:

x = 0 ⇒ y = - m – 1

Ta có: Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm ảnh 5. Từ đó => y’ (0) = - m – 3

Phương trình tiếp tuyến tại (0; - m – 1) là: y = (- m – 3)x – m – 1.

Tiếp tuyến đi qua A (4; 3) nên ta có: 3 = 4 (- m – 3) – m – 1 ⇔ m = 16/5

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số y = f (x), có đồ thị (C) và điểm Mo(xo; f (xo)) ∈ (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại Mo là:

A. y = f' (x)(x-xo)+yo

B. y = f' (xo) (x-xo)

C. y - yo = f' (xo) (x-xo)

D. y - yo = f' (xo)x

Đáp án: C

Chọn C

Bài 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x + 1)2(x – 2) tại điểm có hoành độ x = 2 là:

A. y = - 8x + 4

B. y = 9x + 18

C. y = -4x + 4

D. y = 9x – 18

Đáp án: D

Chọn D.

Gọi M (xo; yo) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có xo = 2 ⇒ yo = 0.

y = (x + 1)2(x – 2) = x3 – 3x – 3 nên y’ = 3x2 – 3

Từ đó suy ra y’ (2) = 9

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9 (x – 2) = 9x – 18

Bài 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = x (3 – x)2 tại điểm có hoành độ x = 2 là

A. y = -3x + 8

B. y = -3x + 6

C. y = 3x – 8

D. y = 3x – 6

Đáp án: A

Chọn A.

Gọi M (xo; yo) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có xo = 2 ⇒ yo = 2

y = (3 – x)2x = x3 – 6x2 + 9x nên y’ = 3x2 – 12x + 9

Từ đó suy ra y’ (2) = - 3

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -3 (x – 2) + 2 = -3x + 8

Bài 4: Cho đường cong (C): y = x2. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (-1; 1) là

A. y = -2x + 1.

B. y = 2x + 1.

C. y = -2x - 1.

D. y = 2x – 1.

Đáp án: C

Chọn C.

Ta có y = x2 nên y’ = 2x

Từ đó suy ra y’ (-1) = -2

Vậy phương trình tiếp tuyết cần tìm là: y = -2 (x + 1) +1 = -2x – 1

Bài 5: Cho hàm số: Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm ảnh 6. Phương trình tiếp tuyến tại A (1; -2) là:

A. y = - 4 (x – 1) – 2

B. y = - 5 (x – 1) + 2

C. y = - 5 (x – 1) – 2

D. y = -3 (x – 1) – 2

Đáp án: C

Chọn C.

Ta có

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm ảnh 7

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = -5 (x – 1) – 2 = -5x + 3

Bài 6: Cho hàm số: Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm ảnh 8. Phương trình tiếp tuyến tại A (0; 2) là:

A. y = 7x + 2

B. y = 7x - 2

C. y = - 7x + 2

D. y = - 7x - 2

Đáp án: A

Chọn A.

Ta có: y’ = x2 – 6x + 7

Hệ số góc tiếp tuyến y’ (0) = 7

Phương trình tiếp tuyến tại A (0; 2): y = 7x + 2.

Bài 7: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = 2x2 – x + 3. Phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm mà (P) cắt trục tung là:

A. y = - x + 3

B. y = - x - 3

C. y = 4x – 1

D. y = 11x + 3

Đáp án: A

Chọn A.

Ta có: (P) cắt trục tung tại điểm M (0; 3)

y’ = 4x – 1

Hệ số góc tiếp tuyến: y’ (0) = - 1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (P) tại M (0; 3) là y = -x + 3

Bài 8: Đồ thị (C) của hàm số: Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm ảnh 9 cắt trục tung tại điểm A. Tiếp tuyến của (C) tại điểm A có phương trình là:

A. y = - 4x – 1.

B. y = 4x – 1.

C. y = 5x – 1.

D. y = - 5x – 1.

Đáp án: A

Chọn A.

Ta có: điểm A (0; -1)

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm ảnh 10
⇒ hệ số góc của tiếp tuyến y’ (0) = -4

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A (0; -1) là:

y = -4x – 1

Bài 9: Cho hàm số: Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm ảnh 11 có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục hoành là:

A. y = 2x – 4.

B. y = 3x + 1.

C. y = - 2x + 4.

D. y = 2x.

Đáp án: C

Chọn C

Giao điểm của (H) với trục hoành là A (2; 0). Ta có:

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm ảnh 12

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -2 (x – 2) = -2x + 4

Bài 10: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) = x3 – 2x2 + 3x tại điểm có hoành độ xo = -1 là:

A. y = 10x + 4

B. y = 10x – 5

C. y = 2x – 4

D. y = 2x – 5

Đáp án: A

Chọn A.

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = 3x2 – 4x + 3

y’ (-1) = 10, y (-1) = - 6

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = 10 (x + 1) – 6 = 10x + 4

Bài 11: Gọi (H) là đồ thị hàm số: Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm ảnh 13. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại các giao điểm của (H) với hai trục toạ độ là:

A. y = x – 1

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm ảnh 14

C. y = - x + 1

D. y = x + 1

Đáp án: A

Chọn A.

Tập xác định: D = R\ {0}

Đạo hàm: y’ = 1/x2

(H) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là x = 1 và không cắt trục tung

Ta có y’ (1) = 1

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d: y = x – 1

Bài 12: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H): Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm ảnh 15 tại giao điểm của (H) và trục hoành:

A. y = (1/3)(x-1)

B. y = 3x

C. y = x – 3

D. y = 3 (x – 1)

Đáp án: A

Chọn A

Tập xác định: D = R\ {-2}

Đạo hàm:

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm ảnh 16

(H) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ xo = 1 nên suy ra y’ (1) = 1/3 và y (1) = 0

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d: y = (1/3)(x-1)

Bài 13: Gọi (P) là đồ thị hàm số y = x2 – x + 3. Phương trình tiếp tuyến với (P) tại giao điểm của (P) và trục tung là

A. y = -x + 3

B. y = -x - 3

C. y = x - 3

D. y = -3x + 1

Đáp án: A

Chọn đáp án A

Tập xác định: D = R

Giao điểm của (P) và trục tung là M (0; 3)

Đạo hàm: y’ = 2x – 1 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 0 là – 1

Phương trình tiếp tuyến tại M (0; 3) là y = -x + 3.

Bài 14: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số: Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm ảnh 17 tại điểm có hoành độ xo = -1 có phương trình là:

A. y = - x + 2

B. y = x + 2

C. y = x – 1

D. y = - x – 3

Đáp án: D

Chọn đáp án D.

Tập xác định: D = R\ {1}

Đạo hàm:

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm ảnh 18

Tiếp tuyến tại M (-1; -2) có hệ số góc là k = -1

Phương trình của tiếp tuyến là y = -x – 3

Bài 15: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 + 2x2 – 1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là:

A. y = 8x – 6, y = -8x – 6

B. y = 8x – 6, y = -8x + 6

C. y = 8x – 8, y = -8x + 8

D. y = 40x – 57

Đáp án: A

Chọn đáp án A

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = 4x3 + 4x

Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên 2 = x4 + 2x2 – 1 ⇔

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm ảnh 19

Tại M (1; 2). Phương trình tiếp tuyến là y = 8x – 6

Tại N (-1; 2). Phương trình tiếp tuyến là y = -8x – 6