Đạo hàm của hàm hợp - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Định lí: Nếu hàm số u = g (x) có đạo hàm tại x là u'xvà hàm số y = f (u) có đạo hàm tại u là y'u thì hàm hợp y = f (g (x)) có đạo hàm tại x là:
y'x = y'u.u'x
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số: y = (5x + 2)10.
A. 10 (5x + 2)9
B. 50 (5x + 2)9
C. 5 (5x + 2)9
D. (5x + 2)9
Bài giải:
Đạo hàm của hàm số đã cho là: y' = 10. (5x + 2)9. (5x + 2)' = 50 (5x + 2)9
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số: y = (3x2 + 5x - 10)7
A. 7. ( 3x2 + 5x - 10)6
B. ( 3x2 + 5x - 10)6. (6x + 5)
C. 7. ( 3x2 + 5x - 10)6. (6x + 5)
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đạo hàm của hàm số đã cho là:
y' = 7. ( 3x2 + 5x - 10)6. (3x2 + 5x - 10)'
y' = 7. ( 3x2 + 5x - 10)6. (6x + 5)
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 3. Đạo hàm của hàm số y = f (x) = (1 - 3x2)5 là:
A. -30x. (1 - 3x2)4
B. -10x. (1 - 3x2)4
C. 30 (1 - 3x2)4
D. -3x. (1 - 3x2)4
Bài giải:
Đặt u (x) = 1 - 3x2
=> u'(x) = (1 - 3x2)' = (1)' - 3 (x2)' = -6x
Với u = 1 - 3x2 thì y = u5 => y' (u) = 5. u4 = 5. (1 - 3x2)4
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:
y' (x)= 5. (1-3x2)4. (-6x)= -30x. (1-3x2)4
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 4. Tính đạo hàm của hàm số y = (2√x + 6x - 10)2
A. y' = (2√x + 6x - 10). (1/√x + 6)
B. y' = 2. ( 2√x + 6x - 10). (1/√x + 6)
C. y' = 2. ( 2√x + 6x - 10). (2/√x + 6)
D. Đáp án khác
Bài giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp; ta có:
y' = 2. ( 2√x + 6x - 10). (2√x + 6x - 10)'
Hay y' = 2. ( 2√x + 6x - 10). (1/√x + 6)
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm số: y= √ (x4+3x2+2x-1)
Bài giải:
Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp ta có:
Ví dụ 6. Tính đạo hàm của hàm số: y= √ ((2x-10)4+10)
Bài giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:
Ví dụ 7. Tính đạo hàm của hàm số: y= (-2)/ (x3+2x2 ) + (2x+1)2
Bài giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:
Ví dụ 8. Tính đạo hàm của hàm số: y=√ (x2+2x-10)+ (2x+1)4
Bài giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:
Ví dụ 9. Tính đạo hàm của hàm số: y= (x3+ x2 -1)2 (2x+1)2
A. y'= (x3+ x2-1)( 3x2+2x). (2x+1)2+ (x3+ x2-1)2. (8x+4)
B. y'= 2 (x3+ x2-1)( 3x2+2x). (2x+1)2+ (x3+ x2-1)2. (8x+4)
C. y'= (x3+ x2-1)( 3x2+2x). (2x+1)2+ (x3+ x2-1)2. (4x+4)
D. y'= 2 (x3+ x2-1)( 3x2+2x). (2x+1)2- (x3+ x2-1)2. (8x+4)
Bài giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của của hàm hợp và đạo hàm của một tích ta có:
y'= [( x3+ x2-1)]2'. (2x+1)2+ (x3+ x2-1)2. [(2x+1)2]'
Hay y' = 2 (x3+ x2-1)( x3+ x2-1)'. (2x+1)2+ (x3+ x2-1)2.2 (2x+1). (2x+1)'
⇔ y'= 2 (x3+ x2-1)( 3x2+2x). (2x+1)2+ (x3+ x2-1)2.2 (2x+1).2
⇔ y'= 2 (x3+ x2-1)( 3x2+2x). (2x+1)2+ (x3+ x2-1)2. (8x+4)
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 10. Tính đạo hàm của hàm số.
Bài giải:
Ví dụ 11. Tính đạo hàm của hàm số
Bài giải:
Ví dụ 12. Tính đạo hàm của hàm số
Bài giải:
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số: y= (-3x - 2)8.
A. - 24 (3x+2)7 B. - 24 (-3x-2)7 C. 12 (-3x-2)7 D. 12 (3x+2)7
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:
y'=8. (- 3x-2)7. (-3x-2)'=8 (-3x-2)7. (-3)= -24. ( -3x-2)7
Chọn B.
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số: y= (4x2 - 2x)3
A. 3. ( 4x2-2x)2
B. ( 4x2-2x)2. (8x-2)
C. 3 (4x2-2x)2. (8x-2)
D. Đáp án khác
Đạo hàm của hàm số đã cho là:
y'=3. ( 4x2-2x)2. (4x2-2x)'
y'= 3. ( 4x2-2x)2. (8x-2)
Chọn C.
Câu 3: Đạo hàm của hàm số y = f (x)= (6-x+2x2)3là:
A. 3. (6-x+2x2)2 (-1+4x) B. 3. (6-x+2x2)2
C. (6-x+2x2)2 (-1+4x) D. -3x. (1-3x2)4
Đặt u (x)= 6 - x+ 2x2 ⇒ u' (x)= (6-x+2x2)'= (6)'- (x)'+2 (x2)'= -1+4x
Với u= 6- x +2x2 thì y= u3 ⇒ y' (u)=3. u2=3. (6-x+2x2)2
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:
y' (x)= 3. (6-x+2x2)2. (-1+4x)
Chọn A.
Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số y= (√x+2x2+4x)4
A. 2 (√x+2x2+4x)3. (1/ (2√x)+4x+4) B. 4 (√x+2x2+4x)3. (1/ (2√x)+4x+4)
C. ( √x+2x2+4x)3. (1/ (2√x)+4x+4) D. Đáp án khác
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp; ta có:
y'=4. ( √x+2x2+4x)3. (√x+2x2+4x)'
Hay y'=4 (√x+2x2+4x)3. (1/ (2√x)+4x+4)
Chọn B.
Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số: y= √ (2x3-2x2+4x)
Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp ta có:
Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số: y= √ ((x+1)4-2x)
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:
Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:
Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số: y=√ ((2x-2)2+2x)+ (3x-2)3
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:
Câu 9: Tính đạo hàm của hàm số: y= (2x2-1)2.√ (2x+2)
Áp dụng công thức đạo hàm của của hàm hợp và đạo hàm của một tích ta có:
Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số
Áp dụng công thứcđạo hàm của một thương và đạo hàm của hàm hợp ta có;
Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số
Bài giải:
